0:04 자, 수업 시작합니다. 우리 유리
0:06 함수, 무리 함수 단언 할게요. 기본
0:08 문제 1번부터 봅니다. 다음 식을
0:10 계산하시오라고 되어 있는데 우리 유리
0:14 함수 덧셈 뺄셈은 통분이고 그리고
0:16 곱셈 나눗셈은 약분이라 그랬죠. 자,
0:19 통분합시다. 우리 왼쪽에 있는 x제
0:23 - 3x x + 1이 이제 분모가 x
0:27 x - 3으로 인수 분해가 되죠.
0:32 자, 오른쪽은 원래 x - 1인데
0:33 자, 분모를 똑같이 맞추기 위해서
0:38 분모 분자의 x를 곱할게요.
0:40 자, 그러면 통분이 끝났죠? 이제
0:44 분모가 똑같으니까 x - 3분의
0:48 자, 위에가 x에서 -x를 빼니까
0:52 사라져서 1이 되겠네요.
0:55 다음. 자, 이번은 우리 곱하기
0:57 나누기는 약분하세요라 그랬지? 그러기
0:59 때 인수 분해합시다. 자, 왼쪽 아래
1:03 분모는 x - 3x + 1로 인수
1:05 분해가 되고 x자
1:09 분자는 x + 2고 곱하기 자,
1:11 오른쪽에 있는 우리 x제곱 +
1:14 2x라는 분모는 x 묶으면 x +
1:16 2가 되고
1:19 분의 자 위에 분자는 또 인수분해
1:22 되죠. x자 하면은 1 - 4에서 x
1:26 + 1 x - 4가 될 거예요.
1:29 열심히 약분을 합시다. 약분을
1:31 합시다. 그 남은 걸 써 주면
1:32 됩니다. 자, 오른쪽 아래 이제
1:36 분모는 x 먼저 쓰면 x x - 3분의
1:37 3분의
1:43 x - 4 이것들이 답이 되겠네요.
1:45 자, 넘어갑니다. 2번. 자, 유리
1:47 함수의 그래프를 그리고 자, 그래프를
1:51 그리고 정의역 취역 정근선 방정식을
1:53 구하세요. 자, 유리 함수 그래프는
1:56 선생님이 세 개 기억하려. K, p,
1:58 q를 찾으라 그랬죠? 자, 여기
2:00 1번에서 보면은 아, 여기
2:04 마이너스까지 해서 1번은 자, k는
2:08 -1. 자, p는 이제 분모가 0이
2:12 되는 p는 -3. 그리고 오른쪽에
2:15 있는게 q라 그랬죠? q는 -2라 그랬습니다.
2:17 그랬습니다.
2:18 자,이 상태로이 세 개만 알면
2:21 그래프를 그릴 수 있어요라 그랬지.
2:25 그래서 우리가 x축, y축을 하고
2:27 점근선을 그는다 그랬어요. 점근선은
2:30 우리 점근선 하라 그랬으니까 x는
2:35 p, y는 q예요. 그래서 x는 -3
2:38 그리고 y는 -2
2:41 점근선이 됩니다.
2:43 자, 그럼 실제로 그려 보면은 x는
2:47 -3이고 왼쪽으로 세 칸. 여기 원점
2:51 x축 y축 그리고 y는 -2 아래로
2:54 두 칸.
2:56 그래서 이게 -3 -2. 자, 이제
2:59 k에 따라서 k가 양수면 오른쪽이
3:01 왼쪽 아래. 음수면 왼쪽이 오른쪽
3:04 아래인데 우리 k가 음수기 때문에 왼쪽이
3:06 왼쪽이
3:08 오른쪽 아래가 됩니다. 요렇게 흘러가겠죠?
3:11 흘러가겠죠?
3:12 y 절편 정도 생각해 줄까요? x에다
3:15 0을 왼쪽에 집어넣어 주면 -13
3:19 -2라서 여기 y 절편값은 -3이
3:21 되겠죠? 그럼 다 그렸네요. 자,
3:24 여기서 정의역과 치역까지 해 볼까요?
3:27 자, 정의역은 우리 식에서 넣을 수
3:29 없는 x값을 빼면 돼요라 그랬지?
3:31 유리 함수는 분모가 0이 되는 값을
3:34 제외해 줘야 돼요. -3을 제외하죠.
3:44 x바 x는 -3인 실수고.
3:47 자,이 그림에서 치역은 누구니?
3:49 치역은 나올 수 없는 y값을 빼 주는
3:51 거예요. 자, 근데 우리 치역은
3:53 점근선 y 좌표 빼고 나머지 전체라
3:57 그랬죠? 여기다 치역은
4:03 y바 y는 -2인 실수가 됩니다.
4:05 이게 1번에서 이제 원하는 걸 다
4:07 했죠. 자, 똑같은 방식으로 2번 할
4:11 건데 우리 2번은 우리 얘가
4:12 일반형으로 되어 있죠. 일반형을
4:14 표준형으로 바꿔 봅시다라고 얘기를
4:16 했죠. 그럼이 식을 먼저 바꿔 볼
4:18 거예요. 1번은 좀 이렇게 구역을
4:20 나눠 주고. 자, 이번도 같은
4:22 방식으로 할 건데.
4:25 자, 첫 번째 y는 변형할 거예요.
4:28 x - 2분의
4:30 자, 이게 쭉 어떻게 변형하냐? 4
4:32 가로 열고 x - 1을 쓰세요라
4:35 그랬지? 4는 여기서 나온 거예요.
4:37 자, 근데 뒤에 숫자를 찾아야 되는데
4:41 우리 전개했을 때 4x - 8인데
4:43 1이 되려면 9가 필요해요라고 했었죠.
4:45 했었죠.
4:48 자, 그리고 나서 우리 분수를 왼쪽
4:51 따로, 오른쪽 따로
4:53 분리해서 씁시다. 근데 오른쪽을 먼저
5:00 쓰면 그러면 y는 x - 9고. 자,
5:02 왼쪽은요 x - 약분하면 + 4가
5:04 되겠죠? 자, 그럼 똑같은 방식으로
5:06 아까처럼 kpq를 찾을 수 있습니다.
5:10 K는 분수 위에 있는 분자인 9.
5:14 자, p는 분모가 0이 되는 2.
5:16 자, q는 오른쪽 튀어나온 4가
5:18 되겠죠? 그럼 그대로 그리면 되겠죠?
5:23 똑같이 우리 x축, y축을 그리고
5:27 자, 점근선은 x는
5:30 x는 p, y는 q가 점근선이 아,
5:34 q래 4지. q가 4가 돼서 자 x는 2고
5:37 2고
5:39 y는 4가
5:43 4가 되면은 원점 x축 y축에서 k가
5:46 0보다 크기 때문에 오른쪽 위
5:48 그다음에 왼쪽 아래가 될 텐데 y
5:50 절편만 좀 볼까요? y 절편는 x에
5:53 0 넣으면 점인 위에 식에다가 -1이죠.
5:54 -1이죠.
6:00 그래서 y 절편이 - 1이 되도록
6:03 왼쪽 아래에 그려져요라고 얘기할 수
6:06 있습니다. 점근선 기준으로.
6:08 자, 그리고 나면 이제 마지막 정의역
6:16 분모가 0이 되는 2를 제외한
6:20 x는 2가 아닌 실수고.
6:22 자, 치역은
6:26 y는 q를 제외한 나머지가 됩니다. y는
6:27 y는
6:31 4가 아닌 실수가 될 거야. 차분히
6:32 여러분들이 하나씩 다 할 수 있어야
6:34 합니다. 수업 때 많이 반복해서
6:37 했죠. 자, 3번 넘어갈게요. 자,
6:38 이번엔 무리식이네요. 자, 무리식
6:40 간단히 하시면은 우리가 알던 대로 뭐
6:43 유리화를 하든지 전개를 하든지 하나씩
6:46 하면 됩니다. 우리 3번에 1번 보면
6:49 합차가 보이죠? 2 + 루트 3x + 2
6:51 2
6:54 - 루트 3x + 2 그건 합차죠.
6:58 그럼 얘는 2의 제곱에서 루트 3x
7:01 + 2의 제곱을 빼줍니다.
7:04 자, 그럼 얘는 바로 4에서 자,
7:06 루트를 제곱하면 사라지니까 3x +
7:11 2를 빼고 그러면 -3x 자, 4 -
7:18 자, 다음 2번은 우리 얘는 어떤 걸
7:20 물어보는 거냐면 유리화를 물어보는
7:22 거예요. 그래서 유리화 물어보기
7:25 위해서 루트 x - 루트 3분의 루트
7:28 x - 루트 3을 분모 분자에
7:30 곱할게요. 왜? 분모는 합차를 이용할
7:32 거니까. 자, 그럼 분모 보면은 앞에
7:35 거 제곱 하면 루트 x제곱이지 x에서
7:37 뒤에 거 제곱 루트 3의 제곱은 -
7:40 3. 자, 위에 분자는 똑같이 x -
7:43 3이 있는데 여기다가 루트 x -
7:46 루트 3을 곱하면 되겠죠? 자, 그럼
7:49 약분하고 나면 누가 남냐? 루트 x
7:56 무리식에 정리가 되겠죠? 자, 이제
7:57 무리 함수로 들어갈게요. 4번 보면
7:59 무리 함수 그래프 그리고 정의역
8:01 취역을 구하세요. 이것도 선생님이
8:02 기억을 하라 그랬지. 우리 유리 함수에서는
8:03 함수에서는
8:06 kpq를 구한다 그랬어. 이제 무리
8:09 함수는 어떤 걸 찾으라 그랬냐? 첫 번째
8:11 번째
8:21 두 번째. 그리고 x 앞에
8:27 부호를 찾고 세 번째 루트 앞에
8:29 부호를 찾으면 우리가 그릴 수 있다
8:31 그랬죠. 자, 그래서 1번 같은
8:35 경우는 출발점 p q인데 자, p는
8:38 누구냐? 루트 안이 0이 되는게 p고 그러면
8:39 그러면
8:46 자 p q는 첫 번째 p q는 -
8:49 루트 아는 x가 -2일 때 0이
8:51 되죠. 루트 밖에 있는게 q라
8:58 자, 그리고 나서 이제 두 번째 x
9:02 앞에 부호는 x의 부호는 x 앞에는
9:04 2가 달려 있죠. 양수네요.
9:05 양수네요.
9:09 그리고 세 번째 루트의 부호는 루트
9:10 앞에 아무것도 없으면 1이 있는
9:13 거죠. 양수가 됩니다. x 앞에
9:16 부호가 플러스면 오른쪽
9:19 루트 앞에 플러스면 위라고 얘기했죠.
9:21 그러면 최종적으로 그리려면 어떻게
9:26 그리냐? 우리 x축, y축에 있을 때
9:30 출발점인 -1을
9:34 찍고 자,이 점이 - 3, -1이 되겠죠.
9:36 되겠죠.
9:40 원점, x축, y축. 그리고
9:41 오른쪽이로 쭉 뻗어 나가면 돼요.
9:44 근데 하나만 좀 조심할까? 우리 y
9:47 절편이 x에 0을 넣으면 루트 3 -
9:49 1이라서 양수가 됩니다. 그러면 요쯤에
9:51 요쯤에
9:54 루트 3 - 1이 있고 오른쪽으로 쭉
9:57 뻗어 나가는 모양이네요.
9:58 자, 다 그렸습니다. 그럼 이제 또
10:00 그다음 뭐냐? 정의역과 치역을
10:03 구하세요. 자, 정의역은이 함수가
10:05 그려지는 왼쪽 오른쪽 중에서 -2
10:10 기준이 오른쪽이죠. 그래서 정의역을 x바
10:11 x바
10:16 x는 -2보다 크거나 같아요.
10:19 자, 치역은요. 치역은
10:22 자,이 그래프는 위아래를 보는데 -1
10:25 기준 -1보다 크거나 같죠. 그래서
10:29 y바 y는 -1보다 크거나 같다가 됩니다.
10:30 됩니다.
10:32 정의역 치역까지 다 그리게 됐습니다.
10:34 자, 한번 더 그려 볼까요? 이번에
10:38 왼쪽에 있는 아 2번에 있는 y는
10:41 루트 아 y는 - 루트 4x - 2
10:44 + 5를 해 볼게요. 똑같이 1번부터
10:49 볼게요. 자, p q를 찾자.
10:51 자, p q는 p는 루트 아닌 0이
10:54 되는 거예요. 그러면 1이죠.
10:58 1이고. 자, q는 오른쪽 + 5
11:00 튀어나온 애죠.
11:04 자, 두 번째 우리 x 앞에 부호가
11:06 x 앞에 4가 달렸기 때문에 플러스고.
11:07 플러스고.
11:11 자, 세 번째 루트의 부호가
11:14 루트 앞에 마이너스에 달려 있죠?
11:17 자, 그러면 x의 부호는 이제 오른쪽
11:20 의미하고 루트 앞에 마이너스면 아래를 의미하죠.
11:22 의미하죠.
11:23 y 절편만 또 찾아볼까? y 절편
11:26 여기 0 집어넣으면 어, 루트
11:28 -2인데요. 허수죠. y 좌표는 이제
11:31 만나지 않는 거예요. y축하고 허수는
11:33 우리 그리지 않죠. 자, 그러면
11:36 실제로 1 5를
11:41 여기 y가 5고 x는 1이고
11:53 1 5에서 오른쪽 아래로 가는 이런
11:56 함수가 무리 함수가 됩니다.
11:58 자, 그럼 정의역하고 치역을 써
12:03 루트 안이 플러스가 돼야 돼.이
12:06 그래프에서 보면은 그래프가 막 1보다
12:10 오른쪽이 그려지죠. 그래서 x바 x는
12:14 1보다 크거나 같아요. 자, 치역은
12:18 5 기준 아래를 얘기하죠. y바 y는
12:21 5보다 작거나 같아요가 됩니다.
12:23 이렇게 차례대로 여러분들이 무리
12:25 함수도 그릴 수 있어야 되고 아까
12:28 위에 2번에서 봤던 유리 함수도 그릴
12:30 수 있어야 합니다.
12:33 자, 다음 넘어갈게요.
12:36 자, 5번. 자, 다음 보기에서
12:39 그래프를 평행 이동했을 때 유리 함수
12:42 y는 x + 1의 그래프와 겹쳐질 수
12:44 있는 것이라고 얘기했습니다. 자,
12:46 평행 이동이죠.
12:48 자, 그러면 밑에 있는 걸 평행
12:50 이동해서 위로 된다는 얘기는 위에
12:53 있는 걸 평행 이동해서 아래쪽에
12:55 보기도 될 수 있다는 얘기죠. 그럼
12:58 실제로 가능한지 볼게요. 자, 그러면
13:00 얘를 평행 이동은 우리가 위에 있는
13:13 q만큼 평행 이동하면 어떻게 생기냐?
13:17 그럼이 식은 요렇게 바뀌어요. y는
13:21 x - p + 1 x 대신 x -
13:24 p죠. 그다음 y 대신 y - q인데
13:28 -q를 넘기면 더하기 q꼴이 됩니다.
13:31 여러분들이 집중해서 봐야 되는게 아
13:32 그러면 모양이 바뀌는게 뭐고 안
13:35 바뀌는게 뭔지 봐야 돼요. 자, y
13:38 바뀌지 않죠? 위에 있는 1도 바뀌지 않아요.
13:40 않아요.
13:42 우리가 유리 함수에서 kpq 세 개
13:43 찾으라 그랬잖아요. 그중에서 저 위에
13:45 있는 1은 바뀌지 않습니다. 바뀔
13:48 수가 없어요. 그 말은 오른쪽에 기역
13:51 니은 디귿 리을 보면은 애초에 디귿은
13:53 되지 않습니다. 왜? 위에 있는 값이
13:56 4가 되잖아요. 그 디귿은 바로 탈락이에요.
13:58 탈락이에요.
14:01 자, 그러면 어, 다음에 서로 이제
14:02 될 수 있는지 볼게요. 기억은 될 수
14:05 있나요? 아, 기억은 x - p +
14:07 2는이 오른쪽은 p에 따라서 어느
14:09 값도 될 수 있어요.
14:12 그럼 -3도 가능하겠죠? 그 q가
14:14 0이면은 기억이 나오죠. 그래서
14:19 이때는 어떤 얘기냐? 이때는 p가 5고
14:20 5고
14:28 그래서 p는 5, q는 0. 그래서
14:32 y는 x + 1/을 x축 방향으로
14:34 y축 방향만큼 옮기면 기억이 된다.
14:36 물론 이제 기억에서이 식은 반대로
14:38 평행 기동이 되겠죠. 그래서 기억은 됩니다.
14:40 됩니다.
14:42 자, 그다음 또 보면 니은을 볼게요.
14:43 자, 니은 될까 안 될까 보면은
14:46 니은은 이제이 왼쪽에 빨간 네모친
14:49 식이랑 비교해 보는 거야. 자, 근데
14:52 x 앞에 계수가 바뀌지 않았죠. 그
14:54 말은 오른쪽에 있는 니은도 x 앞에
14:57 계수가 존재하면 안 됩니다. 그래서
15:00 니은 땡이 될 거예요. 물론 위에가
15:01 만약 2 이렇게 되면 약분해서
15:03 되겠지. 하지만 그런 모양도 안 되기
15:05 때문에 니은도 이제 볼 필요 없이
15:07 탈락이죠. 자, 마지막 리을 좀
15:10 볼까요? 자, 리을은 지금 왼쪽에
15:12 빨간 네모하고 비교해 봤을 때 표준형과
15:14 표준형과 일반형이죠.
15:16 일반형이죠.
15:18 우리 서로 비교하려면 그 모양을
15:21 맞춰야겠죠? 그래서 리을 표준형으로
15:24 바꿔 볼게요. 그러면 y는
15:28 x + 2 괄로 열고 x + 2는
15:32 앞에 있죠. 그리고 우리 2x +
15:35 4인데 원래 5니까 + 1이 필요하죠.
15:36 필요하죠.
15:38 표준형 바꾸는 거예요. 수업때 열심히
15:41 했죠. 그러면 왼쪽 따로 오른쪽
15:45 따로인데 오른쪽 먼저 써 주면 y는
15:49 x + 1 + 자 왼쪽은 x +
15:52 약분하면 2가 되네요. 자 그러고
15:54 나서 이제 여기 빨간색하고 비교해
15:56 보면 아 서로 모양이 딱 맞네요.
16:02 그래서 p - p + 2랑 2랑 같고
16:05 그리고 q는 2가 되면 되겠죠.
16:09 그래서 실제로 p는 몇이냐? P는
16:11 0일 때
16:14 그리고 Q는 2일 때 되겠네요.
16:21 다음 넘어갑니다. 6번 볼게요. 자,
16:24 유리 함수 x + ax + b의
16:25 그래프가 오른쪽과 같다라고 되어
16:27 있습니다. 자, 오른쪽에서 우리
16:29 그래프가 주어지면 어느 정도 알 수
16:31 있는 걸 뽑아내면 됩니다. 자, 첫
16:35 번째이 점근선이 x는 2죠. 자, 얘
16:39 위쪽에 있는 건 y는 -3이죠.
16:42 그러면이 값이 곧 p고이 값이 곧
16:44 q가 될 거예요. 그 실제로 유리
16:48 함수 그래프는 y는 자, x - p
16:53 x - 2분의 k + q인 q가
16:57 -3이죠. 이게 됩니다. 그 x -
16:59 k - 3이 되는데 하나 더 여기
17:01 문제에서 봐야 되는게 있죠. y
17:03 절편이 -5래요.
17:07 y 절편은 언제야? x가 0일 때죠.
17:11 실제로 x의 0을 대입해 보면
17:14 자, y는 -5는
17:17 이제 0 넣으면 사라지니까 -2 k
17:20 - 3이고
17:25 자, -3 넘기면 +3 돼서음 그러면
17:27 그러면
17:32 -2는 -2 k 양변에 -2 곱하면
17:35 k는 4가 됩니다.
17:36 자, 그러면 실제로 식은 어떻게
17:39 되냐? 여기서
17:41 얘를 보라 아, 빨간색으로 끌고
17:44 올게요. 끌고 와서 집어넣으면
17:46 집어넣으면
17:51 y는 x - 4 - 3이고. 자,
17:52 근데 문제에서 우리 일반형으로 되어
17:54 있죠. 표준형을 일반형으로 바꿔
17:56 볼게요. 자, 표준형을 일반형으로
18:00 바뀌는 거는 통분이야. 통분.
18:04 자, 그러면이 식을 통분해 주면 곧
18:09 x - 4는 원래 있고 -3 * x
18:14 - 2의 x - 2가 되고
18:17 통분 과정이에요. 자,이 -3은 안에
18:19 하나씩 다 곱해 줘야 돼.
18:22 그러면 합쳐 줘서
18:27 x - 2분의 자 왼쪽은 4 -3x
18:30 + 6이 됩니다. 그러면
18:34 x - 2의 -3x + 10이 될
18:36 거예요. 자, 그러고 나서 원래 있는
18:38 a, b, c랑 비교해 볼까요? 자, A리에는
18:40 A리에는 -3이네요.
18:42 -3이네요.
18:44 B 자리에는 10이네요. C 자리에는
18:47 -2가 되겠네요.
18:50 A는 -3, b는 10, C는 -2가 됩니다.
18:51 됩니다.
18:55 다음 7번으로 넘어갈게요. 자, 무리
18:57 함수에서 최댓값, 최소값을
18:59 물어봅니다. 이거는 여러분들이 앞으로
19:02 어떤 함수를 봐도 그 함수 기본 꼴에
19:04 최댓값, 최솟값 항상 얘기를 할
19:06 거예요. 자, 근데 우리이 7번을
19:08 한번 그려 볼까요? 먼저 그릴 수
19:11 있으니까 우리 그림이 동반에 대한
19:13 최대수 얘기할 수 있죠. 자, 첫
19:17 번째 우리 p q를 찾자.
19:19 자, p는 루트 안이 0이 돼야
19:21 돼요. 근데 루트 안이 0이 되려면
19:23 x는 a죠? 어, 저 a 모르는데요.
19:27 상관없습니다. 그냥 a라고 둘게요.
19:30 자, q는 오른쪽에 있는 2죠? a
19:33 2가 곧 p q가 돼요. 자, 두
19:35 번째 x 앞에 부호 x의 부호를
19:37 볼까요? x 앞에 마이너스 달려
19:40 있죠? 세 번째 루트의 부호를
19:42 볼까요? 루트 앞에 마이너스 달려
19:46 있죠? 그러면 왼쪽 아래가 됩니다.
19:48 자, 그럼 어딘지 모르지만 여기 a
19:51 2라는게 있으면
19:53 왼쪽 아래로 뻗어 나가는 이런
19:57 그래프가 fx가 될 거예요.
20:04 자, 그때 우리 x의 범위가 -4부터
20:07 4라고 합니다. 근데 a가 지금 단
20:08 a가 4보다 크거나 나왔기 때문에
20:12 실제로 -4랑 4랑 표현을 해 보면
20:15 자, -4는 요쯤에 있을 거예요.
20:19 -4고 그리고 4는 요기 어딘가 있을
20:21 거예요. a가 4보다 크거나 나왔기
20:24 때문에 a는 더 오른쪽에 있어야겠죠?
20:26 자, 그 사이에서 무리 함수의
20:28 최댓값, 최소값을 물어봤습니다.
20:31 자,이 점선 사이에서 무리 함수만 딱
20:34 그려 주면이
20:37 빨간색에서의 최댓값, 최소값을
20:40 물어보는 거랑 똑같아요. 근데 무리
20:42 함수는 쭉 왼쪽으로 감소하든지이 한쪽
20:44 방향으로 쭉 올라가거나 감소하는
20:47 1일대일 대형의 형태죠. 그러면이
20:50 식은 언제 최대냐면 보라색을 보면
20:54 여기 x가 4일 때 최대가입니다.
20:58 그 x가 -4일 때 최소가 돼요.
20:59 그만은 곧 무리 함수의 최댓값
21:01 최소값은 그림을 그려야 된다는
21:12 x가 4일 때기 때문에 f4가 되고 최소값은
21:14 최소값은
21:17 우리 왼쪽 아래 x가 -4라서 f
21:20 -4가 됩니다.
21:22 자, 그러면 최댓값 실제로 넣어
21:24 볼까요? 우리 4를 넣은 값이죠.
21:27 왼쪽에 있는 위쪽에 있는 무리 함수에
21:30 자 f4는
21:35 - 루트 -4 + a + 2고 이게
21:38 1이라고 합니다.
21:39 계산을 조금 해야 되니까 얘를 조금
21:42 위치만 옮겨 볼게요. 최소값은 조금
21:46 밑으로 떼 떼 봅시다.
21:48 자, 그러면 여기 물결 친 거만
21:50 해결하기 위해서 자, 1은 왼쪽으로
21:53 넘기고 마이너스 루트는 오른쪽
21:55 넘길게요. 그러면 우리 2 -
22:02 1이라서 1은 루트 -4 + a고.
22:06 자, 양변 제곱하면 1은 -4 +
22:10 a고 그러면 마이너스 넘기면 a는
22:15 a는 5까지 나왔으면 다 끝났죠?
22:18 이제 5를 집어넣고 원래식에 집어넣고
22:21 최소값을 구하면 되겠죠?
22:23 자, 최솟값은 f -4인데 이제
22:27 -4를 물결친 식에 집어넣으면
22:31 - 루트 자, -x인데 x에 -4니까
22:35 마이너스 마 + 4 + a인데 a가
22:38 5라고 돼 있으니까 + 5 그리고
22:41 마지막 + 2가 되겠죠. 루트 밖에.
22:44 자, 왼쪽 보면 루트 9는 3이기
22:48 때문에 -3 + 2 그러면 -1이
22:58 자, 됐으면 8번으로 넘어갑니다.
23:00 자, 이번에 무리 함수 주어지고 어,
23:01 이제 그래프 주어지고 무리 함수
23:03 찾으세요랑 똑같이 자, 얘도 똑같이
23:04 우리가 찾는 과정을 생각을 하는
23:07 거야. 우리 무리 함수 그릴 때 p
23:09 q 찾으라 그랬죠. 출발점. 자,
23:11 출발점 p q는 x가 -2, y가
23:16 3이니까 -2, 3이 될 거예요.
23:18 자, 그리고 y 절편는 1이
23:20 되겠네요. 자, 그럼 p q에서
23:21 우리가 알 수 있는게 뭐냐면 자,
23:24 여기서 우리 식에서
23:27 자, 보면 첫 번째
23:30 p q인데 p가 의미하는게 루트 안이
23:32 0이 되는 거죠. 그래서 집어넣었을
23:37 때 -2a + b는 0이 됩니다.
23:39 그리고 c값은 q죠? 3이 될
23:41 거예요. c는 바로 나왔네요. 그 a
23:43 b에 관련된식이 하나 더 필요하지.
23:45 자, 그런데 오른쪽에서 보면은 눈에
23:48 띄는 애가 있죠? y 절편이에요. y
23:51 절편은 x에다가
23:54 0을 집어넣었을 때 y값이죠. 그럼
23:58 x의 0을 집어넣으면 y값이 지금
24:01 1이고 1은
24:05 - 루트 x에 0 넣으면 사라지고 b
24:08 + c인데 c가 3이라고 방금
24:10 왼쪽에서 했죠.
24:13 자,이 식 조금만 정리하면 마이너스
24:15 왼쪽 넘기면 루트 b는 3 -
24:18 1이라서 2고 제곱하면 b는 4가
24:22 됩니다. b는 4를 집어넣으면
24:26 -2a + 4는 0이고 그러면
24:30 a는 2가 되고 그리고 c는 3이라고 주어졌죠.
24:31 주어졌죠.
24:34 그래서 a는 2, c는 3, b는
24:36 4가 됩니다.
24:39 자, 9번으로 볼게요.
24:41 자, 발전 문제. 우리 유리 함수
24:44 f(x)는 x + 1 ax + b가
24:48 있네요. 점 -2, -3을 지나고
24:50 자, 0에서 3 사이에서 최솟값은
24:52 2이고 여러 가지 정보들이 있죠.
24:54 우리가 아는 대로 순서들을 하는
24:57 거예요. 첫 번째이 식을 보자마자 아
25:00 얘는 일반형이네. 표준형으로
25:02 바꾸자부터 얘기를 할게요. 그래서 fx는
25:11 x + 1분의 자 a 괄로 열고 x
25:13 + 1 하고 표준으로 바꾸는 거예요.
25:15 x 앞에 a가 있기 때문에 그냥 a로
25:18 묶어내면 됩니다. 자, 근데 이제
25:21 전개하면 ax + a거든요. 근데
25:25 b가 되려면 누가 필요하냐면 -a +
25:28 b가 필요해요. 그러면 전개했을 때
25:31 a는 사라지고 b가 남죠. 그럼 아까
25:33 계속 했던 것처럼 왼쪽 오른쪽
25:37 따로따로 하면은 자 오른쪽 먼저 쓰면 f(x)는
25:39 f(x)는
25:43 x + 1의 - a + b 그리고
25:47 왼쪽은 따로 하면 x + 1 약분돼서
25:50 + a가 됩니다.
25:52 자, 그럼 차례대로 하면 돼. 아,
25:55 k가 누구지? k는
25:58 -a + b예요. p가 누구지?
26:00 밑에가 0이 되는 분모가 0이 되는
26:03 x는 -1이에요.
26:05 자, q가 누구지? 아, q는
26:08 a예요라고 얘기할 수 있습니다.
26:11 그러면 k의 부호도 모르는데 우리
26:13 p하고 q는 우리 얼 그릴 수 있죠?
26:15 한번 그려 볼까요?
26:17 자, 위치가 확정이 안 되면 그냥
26:19 좌표 평면을 안 그리고 허공에 그리면
26:23 돼요. 자, 이렇게 점근선이 있을 때
26:25 자, p가 -1이지? 그럼 x는 -1이고
26:27 -1이고
26:32 a죠. y는 a인 점근선이 있습니다.
26:34 자, 그럼 이제부터 두 가지 형태를
26:36 얘기할게요. 빨간색일 수도 있고
26:40 빨간색이 1번.
26:42 자, 그다음은 보라색일 수도 있어요.
26:47 보라색이 2번이라고 합시다.
26:50 빨간색은 언제? K가 양수일 때,
26:52 보라색은 언제? K가 음수일 때를
26:55 얘기하고 있죠. 자, 양수일 때 먼저
26:56 얘기를 해 볼게요.
26:58 자, 그다음 이제 힌트를 볼게요.
27:01 그래프는 점 -2, -3을 지난다
27:04 그랬습니다. 자, -2는 누구일까?
27:07 -는 -1 기준으로 왼쪽을 의미합니다.
27:09 의미합니다.
27:12 그러면이 빨간색에서는 -2를 여기
27:14 지나간다 치면 x가
27:16 x가
27:21 -2라 치면 여기기이 만나는 점이음
27:30 자, 그다음에 이제 0부터 3까지
27:33 최솟값이 2다라고 얘기하는데 아,
27:35 그럼 0은 어디지? 0은 오른쪽으로
27:39 가네요. 이때가 x가 0이고
27:41 그리고 3은 더 오른쪽에 있겠죠?
27:45 이때 x가 3이에요. 자, 그때 우리
27:47 그래프, 빨간 그래프는이 검정색만
27:51 보면은 0부터 3까지에서의 최소값에
27:54 대한 얘기를 하지. 그러면 언제
27:56 최소냐면 오른쪽 아래가 제일 작죠?
27:58 제일 낮게 있지? 최소값이에요.
28:10 x의 3을 넣은 f3이 될 거예요.
28:11 근데 이게 몇이냐? 2라고 되어
28:22 자, 그러면 두 가지 정보를 볼
28:25 거야.이 -2, -3을 지나. 근데
28:27 여기서도 할 수 있는 말이 무엇이냐?
28:32 -2, -3은 우리 f -2가 x가
28:35 -2일 때 y값은 -3이다.이
28:37 얘기입니다. 그럼 두 식을 연립을 할 거예요.
28:39 거예요.
28:41 어떻게 연립해? 원래 있는 식에
28:45 집어넣어서 연립을 합니다.
28:47 자, 저 위에 있는 식에다가 x 3을
28:52 집어넣으면 3a + b네요. 그러면
28:56 3a + b가 2고.
28:59 자, 그리고 또 누가 있냐? -2,
29:02 -3을 집어넣으면 -1 집어넣으면 -1분의
29:04 -1분의
29:09 -2a + b네요. -1의 -2a +
29:13 b 이게 -3이 됩니다. 자, 두 개
29:15 연립하는 a를 찾으세요가 되겠지?
29:17 그러면 연립해 보자.
29:20 자, 양변에 4 곱하면 3a + b는
29:24 8이고 양변에 -1 곱하면 -2a +
29:27 b는 3이 됩니다. 그럼 빼주면
29:31 5a는 5가 되고 그래서 a는 1이
29:34 될 거예요. a가 1이면 자연스럽게
29:37 넘어주 여기 넣어 주면은 3 + b는
29:41 8 그래서 b는 5가 됩니다.
29:43 그래프에서 전혀 문제가 없죠. 그래서
29:45 실제로 이게 답이 될 거예요.
29:48 자, 그러면 저기 보라색으로 그린이
29:50 보라색 k가 음수인 경우는
29:52 어떻게해요? 그 음수인 경우를 실제로
29:54 한번 해 볼게요. 물론 이제 a는
29:56 1, b는 5도 실제로 넣어 봐야
29:59 돼요. 넣어봐서 k값이 양수가 되는지
30:01 확인해야 됩니다. 자, 두 번째
30:05 보면은 이제 자,이 -2, -3이
30:08 우리 여기 위쪽을 말하죠. 위쪽 왼쪽
30:12 위에 있는 점을 -2, -3이라고
30:14 얘기할 수 있습니다.
30:17 자, 그리고 0부터 3까지 최소값에
30:18 대한 얘기를 하는데 이것도 이제
30:21 오른쪽 보라색에서
30:23 0부터 3 사이 최소값은이 검정색
30:26 그림이 되고 자, 이때 제일 낮은
30:28 값은 f(0)이 되겠죠. 이게
30:31 최솟값이 됩니다. 그다 보라색일 때는
30:33 어떤 얘기를 할 수 있냐? 뭐라색일
30:37 때는 f 0이 최소값이 되는데 2가 되고
30:39 되고
30:42 이게 최소값이고
30:47 그리고 f - 2는 -3이 됩니다.
30:49 이거를 계산해야 돼. 자, 근데 이걸
30:51 막 계산하려고 봤더니 이제 그림상
30:54 이상한게 있죠. 왜? 이제 f(0)의
30:58 최소값은 2라고 되어 있죠.
31:00 근데 왼쪽 위에 있는 점이 y값이
31:03 -3이에요. 오른쪽에 있는 점이 더
31:06 작은데 2고 말이 안 되죠. 크기
31:09 자체가 말이 안 됩니다. 그래서 사실
31:12 이제 f0은 2, f -는 -3을
31:14 계산할 필요 자체가 없어요. 그림
31:18 자체가 그래프 자체가 성립하지 않습니다.
31:20 않습니다.
31:22 그래서 둘 중에 하나 누구지에서
31:23 계산하다 보면은 그래프를 그리다
31:26 보면은 하나가 제외돼서 빨간색만 답이
31:28 되겠죠. a는 1, b는 5가 됩니다.
31:34 자, 중단은 마무리 문제. 아,
31:37 마지막 문제 10번 볼게요. 무리
31:40 함수 f(x)는 루트 x + 3 +
31:42 k 그래프와 역함수의 그래프가 서로
31:44 다른 두 점에서 만나도록. 자,
31:46 이거는 선생님 수업 때 얘기를 했죠?
31:49 우리 원래 함수와 역함수의 교점은
31:51 다른 두 점에서 만나는 뭐 어쨌든 교점은
31:52 교점은
31:55 fx와 f 역함수의 교점은 누구랑 똑같냐?
31:56 똑같냐?
32:01 y는 x와의 교점과
32:03 교점과
32:08 똑같다 그랬어요. 언제? fx가
32:11 증각꼴일 때.
32:13 자, 근데 아닌 경우도 있다 그랬지?
32:22 y의 교점이
32:34 우리 이거 수업 때도 얘기했었죠?
32:36 자, 그러면 실제로이 함수를 그려
32:39 볼게요. 우리 fx가 p q부터 해서
32:42 그려보면은 우리 여기 쭉 그려보면
32:47 자, 첫 번째 p q는
32:49 루트가 0이 되려면 -3 그리 뒤에
32:54 튀어나오면 -3 k고 두 번째 x
32:56 앞에 부호는 플러스고 아무것도 없으면
33:00 1이죠. 세 번째 루트 앞에 부호는
33:03 루트 앞은 지금 플러스죠.
33:05 자, 그러면 실제로 그래프 그리면
33:07 이렇게 그릴 수 있어요. 아, -3
33:10 k가 있고 k가 누군지 모르니까
33:12 좌표축은 안 그릴게요. 자, 2번,
33:14 3번 봤을 때 x어플러스, 루트어
33:17 플러스면 오른쪽 위로 갑니다. 오른쪽 위로.
33:19 위로.
33:22 얘를 조금만 당겨 볼까? 가운데로.
33:24 자, k값 따라서 이제 위치가 정확히
33:27 고정이 되겠죠? 자, 그때이 그래프가
33:29 역함수와 서로 다른 두 점에서 만나야
33:31 된대요. 역함수를 그렸을 때 요런
33:32 식으로 생겨야겠지.
33:34 자, 근데 우리이 그래프는 증가꼴이죠.
33:41 곧 증가하는 꼴은이 함수와 역함수는
33:45 무조건 y는 x와의 교점에서 만나요.
33:49 y는 x가 요렇게 생기면
33:57 세 개가 무조건 직선에서 만나요.
33:59 아, 세
34:02 도형의 교점이
34:04 원래 함수와 역함수의 교점하고
34:06 똑같겠죠. 자, 이렇게 되는데 그럼
34:09 이거랑 똑같아요. 여기 빨간색을
34:21 그리고 어, 왜 넘어갔어?
34:24 파란색을 1번, 검정색을 2번이라고
34:26 할 때
34:30 여기 우리가 알 수 있는 건 뭐냐면
34:32 어, 다시 좀 왼쪽으로 갖고 와 볼까?
34:41 알 수 있는 건
34:50 곧 그림에서 1과
34:52 2의 교점이고
34:58 그건 곧 2와 3의 교점이에요.
35:00 내가 어떤 걸 갖다 이용할지 모른다는
35:01 얘기예요. 근데 문제에서 물어보는 건
35:04 뭐냐면 원래 함수와 역함수의 그래프의
35:07 교점이죠. 원래 함수는 1번,
35:09 역함수는 빨간색인 3점이에요. 그래서
35:12 1과 3의 교점이이 문제에서 물어보는
35:14 것이에요. 근데 1과 3의 교점을
35:16 바로 구하는 건 어렵기 때문에 우리는
35:20 어떤 걸로 돌려서 구하냐? 우리 1과
35:23 2의 교점으로 구해 볼 거예요.
35:25 어차피 같은 점이거든. 자, 1과
35:27 2의 교점은 누구냐? 그러면
35:31 결과적으로 y는 자이 1번 그래프는
35:35 원래 있던 그래프죠. 루트 x + 3
35:38 + k
35:43 얘와 자 검정색 2번은 y는 x의
35:46 교점하고 똑같아요. 이제 그게 몇
35:49 개냐? 두 개가 된다 얘기할 수 있습니다.
35:57 자 됐나요?
35:58 자, 그럼 이제 교점이 두 개인
36:00 경우가 어떤 경우인지 한번 그래프로
36:05 한번 볼게요. 자, 여기 왼쪽에서
36:08 자,이 왼쪽 아래에 좀 더 그려
36:16 자, 1번하고 2번 교점인데 1번을
36:18 다시 그리고
36:22 여기가 마이너스 3, k가 되고
36:25 그다음에 2번을 다시 그려 보면
36:28 2번을 다시 그려보면 교점이 두 개죠.
36:29 개죠.
36:33 어 그러면이 그림 같은 경우에는
36:37 파란과 검정이 교점이 두 개기 때문에
36:39 파란과 빨강 물어보는 거의 교점도 두
36:42 개가 될 거예요. 자 그러면이
36:45 검정색이 또 언제 가능하냐? 자
36:46 검정색이 이렇게 위로 올라오면 안 되죠.
36:48 되죠.
36:51 자 그리고 여기 접해도 안 돼요.
36:53 접해도 파랑하고는 하나밖에 안
36:57 만나죠. 자, 그러면 쭉 내려오다가요
36:59 끝에 출발점 지나는 것도 되죠.이
37:01 파랑은 더 오른쪽으로 쭉 뻗어 나가니까.
37:03 나가니까.
37:05 자, 그런데 그 밑으로 내려가는 것도
37:07 안 되죠.
37:10 자, 그럼 위에서 1번, 2번,
37:14 3번, 4번, 5번 중에서
37:17 검정색과 파란색이 서로 다른 두
37:21 점에서 만나는 경우는 언제냐면
37:24 여기서 3번, 4번이 되겠네요.
37:28 3번, 4번 경우
37:31 가이 됩니다. 그 3번은 언제냐면 3번은
37:34 3번은
37:37 우리 루트
37:39 두식이 있지. 두 식을 같다라 그랬을
37:42 때 만족하는 x가 두 개 있는
37:44 경우예요. 두 개 있는 경우.
37:46 그럼 실제로 두 개 있는 경우를
37:49 얘기를 해 볼게요. 3의 경우
37:50 우리 교점의 개수에 대한 얘기를
37:55 하니까 루트 x + 3 + k랑 y는
37:59 x인 x랑 같다라고 두었을 때
38:01 그때 우리이 식을 좀 계산해 보면 k
38:05 오른쪽 넘기면
38:10 루트 x + 3은 x - k고 양변을 제곱하면
38:11 제곱하면
38:13 x + 3은 자 완전식이 바로
38:18 할게요. x제 - 2kx + k² 다
38:23 오른쪽으로 넘겨서 먼저 쓰면 x제곱
38:27 - 2kx인데 x 넘기면 -1이라서
38:32 마이너스 묶으면 2k + 1x
38:36 k 있고 -3은 0이 됩니다. 3이 넘었으니까.
38:38 넘었으니까.
38:41 자, 이때이 교점의 x라는 얘기는이
38:44 2차 방정식의 x랑 똑같아서 2차
38:47 방정식의 근이랑 똑같아요.
38:50 자, 그만은 뭐냐? 자, 2차 방정식
38:52 근이 두 개가 돼야 돼. 판별식 d가
38:56 0보다 커야 돼라는 얘기입니다.
38:57 2차 방정식의 근이 두 개 해야지.
39:00 두 점에서 만나니까. 그러면
39:10 그게 0보다 커야 돼요. 정리 좀
39:15 할까요? 그러면 4k² + 4k +
39:19 1 - 4k² + 13이
39:21 아 12가
39:24 0보다 크고 사라져서
39:28 자 숫자끼리 더하면 13 넘기면
39:31 -13보다 크다. k 앞에 4 나누면 k는
39:33 k는 -4분의
39:34 -4분의
39:41 자, 그러면 이게 어느 경우냐면 3의
39:43 경우예요. 3의 경우. 자, 3의
39:44 경우는 이렇게 관통해서 만나는
39:47 경우인데 실제로이 3의 경우는 k가
39:50 -43보다 크면은 어느 경우도 되냐면
39:52 만약에이 무리 함수가 밑에도 이렇게
39:55 이어져 있다면 그러면 이런 경우도 다
39:58 3번이 될 거예요. 3번 경우, 3번
40:02 경우 다 가능합니다. 실제로.
40:04 그러면 이제 원래이 2차 함수 옆으로
40:06 눕힌 모양에서 두 점에서 만나기
40:09 때문에 그런데 우리는 파란색에서만
40:11 얘기하고 싶죠. 파랑만 얘기하기 싶기
40:15 때문에 자이 3번을 만족하면서 동시에
40:19 4번도 만족해야 돼요. 자 4 경우는 뭐냐?
40:20 뭐냐?
40:24 왼쪽에서 보면은이 그래프의 출발점을
40:27 지나는 경우예요. 그래서 -3 k를
40:29 k를
40:35 누가 검정색이 자 검정색이 y는
40:40 x죠? 대입해 주면 그러면 y는
40:43 - x니까 k는
40:50 자, 그러면 어 -3이 의미하는게
40:53 뭐예요? 자, k값에 따라서 자,이
40:56 초록색을 좀 집중하면 k값에 따라서
40:59 얘가 이제 위아래로 왔다 갔다
41:01 올라갔다 내려갔다 하겠죠. 그 y은
41:04 실제로 가만히 있고. 자, 그러면
41:07 실제로 우리가 k값이 여기서 더이
41:09 끝에 있을 때
41:12 우리 4번 직선과
41:14 4번 직선일 때 볼게요. k값이
41:17 지금은 여기일 땐데 올라가게 된다면
41:21 4번하고는 한 군데서밖에 안 만나죠.
41:24 그죠? 그래서 k는 -3보다 작아야
41:29 돼. 근데 너무 내려가다가이 2번처럼
41:31 파란색이 너무 내려와 버리면은 안
41:34 되죠. 2번 전에 멈춰야 돼요.
41:38 그래서 4의 경우는 언제냐?
41:41 우리 실제로는 k가 -3보다 작을
41:44 때예요. 그러면 3번, 4번을 동시에
41:47 만 -3보다 작거나 같을 때예요.
41:49 만나는 것도 되니까.
41:54 그래서 k값은 마스
41:57 4의 13보다 크고
42:00 -3보다 작거나 같다라고 얘기할 수
42:03 있습니다. 이제이 문제의 핵심은 두
42:05 가지를 고려하세요가 됩니다. 3의
42:09 경우 이때는 판별식을 갖다 쓴다.
42:11 자, 4의 경우 4의 경우는 끝점을
42:14 지나기 때문에 대입이에요. 대입한다.이
42:15 대입한다.이
42:17 이 두 가지를 기억해서 여러분들이
42:19 서로는 두 점에서 만나는 경우를
42:22 생각을 해야 됩니다.
42:24 물론 이제이 그림에서 만나지 않는
42:26 경우는 1번이죠.
42:28 음. 그리고 한 점에서 만나는 경우는
42:31 2번, 5번이죠. 이런 경우도 한번
42:34 생각을 해 보셔야 돼요.
42:36 자, 뒤에 이제 대단원 마무리로 넘어가겠습니다.
