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27차시 함수의 뜻 | 이대준 | YouTubeToText
YouTube Transcript: 27차시 함수의 뜻
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This content introduces the concept of functions as mappings (correspondences) between sets, defining key terms like domain, codomain, and range, and establishing the conditions for a mapping to be considered a function. It then extends this to the more familiar graphical representation of functions and discusses the conditions for two functions to be identical.
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자, 수업 시작합니다. 함수합
그래프인데 우리 함수를 이미 배웠는데
고등학교때 한번 더 배울 거예요.
우리 집합 명지를 배웠기 때문에 그걸
가지고 함수에 대한 얘기를 한번 해
볼게요. 함수의 정의와 정의역 공역
치역을 이해할 수 있다가 될 겁니다.
학습지 43페이지 방금 받은 거
있죠? 펼쳐 볼게요. 자, 우리
쉬워. 우리 오늘 앞부분은 수가
학생도 이해할 수 있어. 자, 여기
유네스코 여기 이게 얘네가 집합으로 보이니?
보이니?
얘네가 집합으로 보여.
>> X Y잖아.
>> 맞지? 집합이야. 집합 X 집합 Y고
X에 있는 원소가네 개 있고 Y의
원소가 세 개 있지. 자 그때 이거를
왼쪽이 오른쪽으로 연관 있는 걸
화살표로 이어보래. 자 조선 왕릉은
어디이어야 될까? >> 대한민국.
>> 대한민국.
>> 대한민국이지. 런던 탑은 >> 영국.
>> 영국.
>> 영국. 타지마은 인도. 종면은
대한민국. 이렇게 연결할 수 있겠죠.
연결지 않지. 근데 이렇게 화살표로
오늘 이렇게 많이 이어 볼 거야.
화달표를 많이 이어볼 건데이 화살표를
우리는 조금 더 유식한 용어로
대응이라고 얘기를 합니다. 대응. 대응시킨다.
대응시킨다.
x에서 출발해서 y로 대응시키는 거예요.
자, 이렇게 집합을이 대응시키는
거야. 집합 각 원소가 대응이 되는데
우리 이렇게이 대응을 우리는 특정
조건을 만족한다면 함수라고 부를
거예요. 어 우리가 알던 함수는 좌표
평면이 막 그리는 거 아니에요.
그것도 함수고 이렇게 집합에서
화살표하는 것도 함수예요. 오늘
함수가 두 개예요. 사실 정의를
하나밖에 없어. 그래서 이렇게
집합으로 정의를 하는데 그거를
그래프로 그리면 우리가 알던 원래
함수가 튀어나옵니다. 조금 더
엄밀하게 정의를 한다. 자, 공집합
집합 방금 x y가 있었죠? x y가
있는데 x의 원소에 y의 원소를
딱짓는 것 화살표를 보내는 것 우리
그거를 집합 x에서 집합 y로의
대응이라고 합니다. 화살표를 보내는게
대응이에요. 어 그럼 집합에서
집합으로 화살표들이 가는데 근데
원소도 하나하나 화살표가 가죠. 우리
그거를 x가 x에 y가 대응한다라고
얘기를 합니다.
대응은 화살표예요. 화살표. 이서
기억을 어떻게 쓰냐? x 화살표 y로
씁니다. 어 이거 명제에서 p이면
q이다죠. 아 근데 실제로
함수에서는이 화살표가 좀 길
화살표거든. 한글 표기 좀 없어서
조금 더 길다라고 생각하면 돼. 얘는
함수에서 얘기를 하는 겁니다.
대응이에요. 근데 많이 쓰이진
않았죠. 표기가.
자, 우리 중학교 때 함수를 처음에
어떻게 배웠냐면 x값이 변함에 따라
y값이 오직 하나씩 정해지면 함수라고
중학교 때 배웠습니다. 이렇게
끝내는데 우리 고등학교에서는 조금
조금 더 엄밀하게 집합이 들어가요.
집합 집합 x에서
x값이 정해질 때 집합 x의 각
원소에서 우리 y에 있는 대응되는
원소가 오직 하나씩 우리 대응될 때
대응할 때 그때이 대응 f를 x에서
우리 중학교 때는 x y가 누군지에
대해서 크게 관심을 안 가졌어. x의
숫자를 막 집어넣기 시작해. 근데
이제 고등학교는 x는 아, 여기 x
집합 안에서 출발하는 애들이에요.
y는이 y로 가는 애들이에요. y
안으로 가는 애들이에요. 그래서 좀
구역을 정해 주는 걸 뿐이에요. 자,
그리고 이것을 기억을 어떻게 쓰냐?
아, 함수 f지. f인데 x에서 y로 가는
가는
x 화살표 y f 땡땡는 아니야.
땡땡이야. x에서 y로 화살표를
보내는 대응. 이거를 함수라고
합니다. 자, 그런데 우리 함수의
정확한 정의 여기 있거든. 두집합
xy에 대하여 x의 각도가 각 원토의
y의 원소가 오직 하나씩 대응된다라고
되어 있는데 이걸 아무 생각 없이
읽으면 그냥 그런 거보다 넘어가.
우린 정확하게 알아야 돼요. 한
문장이지만 두 개의 정보가 숨어져
있습니다. 자, 다시 생각할게.
대응은 화살표예요.
그리고 함수는 그 화살표 여러 개
있지? 여러 개를 모아놓은 화살표
다발이에요. 다발은 이제 호다발처럼
여러 개를 모아 놓은 걸 다발이라
그래요. 대응은 화살표고 머릿속에
떠올려. 그리고 함수는 화살표
다발이에요. 근데 위에 조건을
만족하는 화살표 다발이야. 되게
쉬워. x의 각 원소에 우리 x는
화살표가 출발하는 애들이지. 각
원소란 얘기는 x의 모든 원소에 이런
얘기야. x의 모든 원소. 그만한
화살표가 x의 모든 원소에서 출발해야
돼라는 얘기입니다. 그리고 y의
원소가 오직 하나씩 대응된다. 그러면
x가 출발했으면 y도 하나만 가서
꽂혀야 돼. 두 개 이상 꽂히면 안
돼요. 그래서 밑에 적을게요. 우리
함수를 만족하려면 화살표 기준으로
보면은 화살표가 x에서 모두 출발해야 돼.
돼. 저거라.
저거라.
그리고 뭐 카스 대형이면은 두 번째
달라지면 안 돼요. 화살표가
1이 출발했으면 어딘가 하나에서만
갖다 꽂쳐야 돼요. 1이 출발해서 둘
다 가면 안 됩니다. 함수를
만족하려면 모두 출발하고 갈라지면 안 돼요.
돼요.
그러면 집합에서 집합으로 보내는
함수를 찾을 수 있습니다.이 밑에
밑에 보면 개념 확인하겠죠? 맨
밑에. 그래서 이거 적어면 맨 밑에
개념 확인하게 볼게요. 방금이 두
개를 만족하면서. 자, 함수인지
아닌지 볼게요. 셋다 대응이에요.
대응인데 첫 번째 볼게. 자, 얘는
첫 번째 이제 첫 번째 대응을 보면은
모두 출발했니?
화살표가 모두 출발했죠. 근데
갈라진게 있어? 없어?
>> 없지. 함수야.
두 번째 볼게요. 모두 출발했니?
누가 출발 안 했어?
>> 1이 출발 안 했지. 함수가 아니야.
그래서 1에 대응되는 Y의 원소가
없으므로 함수가 아니다라고 쓸 수 있어요.
있어요.
자, 세 번째 볼게. 세 번째는 모두
출발했니? 출발했어. 갈라진게 있어.
다른 쪽이 있지. 2가 갈라지잖아.
a랑 c로 갈라졌지. 그러면 두 번째
조건을 만족 안 해. 그래서 함수가
아니에. 그래서 2에 대응되는게 두
개가 나오면 안 돼. a랑 c.
그래서 함수가 아닙니다. 그래서
우리는이 셋 중에서는 제일 왼쪽이
함수다라고 얘기할 수 있어야 돼.
이래됐어? 초등학생도 이해할 수
있어. 이거 알려주고. 자, 이거
만족하면 돼. 우리 화살표 알잖아.
모두 출발해야 되고 달라지면 안 돼.
1번, 2번, 3번. 그러면
1번이야라고 얘기할 수 있겠지? 어,
찾을 수 있어야 돼요. 어려운 거
아니야. 자, 그러면 이제 우리는
함수인지 아닌지 구분할 수 있으면
함수 아닌 거 이제부터 관심이 없어.
함수만 가지고 얘기를 할 거야.
함수. 함수에서 이름을 좀 붙여
봅시다. 다시 위로 좀 올라가서.
어, 다시 위로 올라가서 여기 밑에
부분 얘기를 할게. 아, 이름 붙이는
거야. 에 자 x에서 y로 함수를
화살표를 보냈지. 그 x를 뭐라
그러냐면 아 여기서만 x가 출발해요.
우리는 함수를 여기서만 정의할 거야.
그래서 정의역이라 그 다시 그 집합
x를 정의학이라 그래요. 정의역은
집합입니다. 집합.
화살표 출발하는 걔네들이.
자, 그리고 화살표가 도착할 수 있는
그 y라는 구역이 있지? y 집합.
그걸 우린 공역이라 그래요. 정역과 공역.
근데 우리 중학교 때는 별 얘기
없으면 정의역 공역은 다 실수였어요.
음. 실수 전체야. 고등학교도
똑같아. 고등학교 가서도 별 얘기가
없어. 그러면은 정의역은 넣을 수
있는 모든 x값들 다 보통 실수고
공역은 실수 전체예요. 자, 그런데
우리 공역에서 화살표 막 가막 갔는데
자 공역 y가 있을 때 y의 모든
애들이 골고르다 화살표가 도착하는 건
아니지. 어디로 모일 수도 있잖아.
어, 갈라지 않으면 되는데 모이는 건
상관이 없거든. 이렇게 여러분들 수
모일 수 있지. 그러면 실제로 모인
애들 있잖아. 모이는 애들. 실제로
모인 애들. 걔네들도 이름을 붙일
거야. 걔네들. 공력 안에 당연히
존재하겠죠. 자, 그래서 우리 x의
원소문자 x가 y의 원소, 소문자 y
대응될 때요 기호로 뭐라 쓰냐면이
함수에서 함수 f라는 이름이 있어.이
화살표 답발. x를 집어넣으면 y가
나와요. 그래서 y는 fx라고 이제이
표기를 완성을 하는 거예요. 아,
얘는 x가 출발해서 y로 가는구나.
1이 출발하면 2로 가는 2가
출발하면 3으로 가는 화살표를 표기한
거야. 그리 이걸 뭐라 부르냐? 함수
f의 x에 치역이라고 해봐. 함숫값
다시 여기서. 어이 fx는
함수값이라고 할게요. 도착한 애들의
함수값이라 불러요. 도착한 애들은
함수의 값이다.
그리고 함수값의 집합을 우리는 f의
치역이라고 부릅니다. 치역. 정의역
공역 치역이에요. 정의역은 x. 그
집합 자체 공역도 집합 자체. 치역만
좀 유심해 보세요. 치역은 도착한
애들. 도착한 애들은 유식하게
함수값이라고 얘기를 합니다.
함숫값들. 그리고 기호로 fx라
그래요. y들인데 fx fx. 그래서
실제로 취역은 이렇게 표기를 써요.
중괄로 하고 집합이잖아. 치역도
집합이에요. fx들의 모임이에요.
조건제 집합이거든. 근데 그 x는
우리 정의역에 있는 애들을 다
집어넣었을 때 함수값들의
모임이에요.이 표기는 익숙해지도록
하세요. 가끔 나오는 표기야.
좀 낯설 보이지만 그냥이 바 기준으로
왼쪽 애들이 다 원소예요라는 얘기야.
조건 제시법이에요. 자, 그리고 우리
함수의 치역은 당연히 공역 안에
들어가 있겠죠. 당연히 공역 안으로만
들어가니까 무조건. 그래서
중요한 거는 얘들아 모두 출발해서
어딘가 갖다 꽂혀야 되지. y 밖으로
꽂히면 안 돼. Y 안으로 들어가야
돼. 그거는 당연한 거야.
자, 그럼 다시 밑에 거 봐서
개념하기 볼게요. 자, 아까 1번,
2번, 3번 중에서 두 번째, 세
번째는 함수가 아니라 그랬지. 제일
왼쪽이 함수예요. 자,이 함수에서
정의역은 뭘까? 정의역은 1 2 3.
X가 정의역이에요. 공역은
>> a b c가 공역이겠지. 정역 공역은
왼쪽 거실 거야. 정역 공역은 자,
치역은 뭐야? BC가 돼. 실제
도착하돼. 실제로 화살표가 배척한
BC가 됩니다. 정의역은 왼쪽 전체,
공역은 오른쪽 전체, 치역은 실제로
도착하려야 돼. 자, 이거 된 사람은
바로 뒷장 넘기면은네 개 예시가
있죠.네 네 개 예시해서 함수인 거
장에
1 2 3 4에서 함수인 거 아닌 걸
먼저 찾고 함수라면 정의역 공역
취역을 찾아 주세요. 함수인 걸
찾아보고 요게 조건만족하면 돼.
2분 정도 시간 드릴게요. 화살표가
모두 출발하고 갈라지지 않았으면 함수예요.
함수예요.
두 조건만 만족하면 그래서 함수인 걸
먼저 찾고
함수일 경우에 이거 함수야. 어
뭐가 문제? >> 네.
>> 네.
>> 모두 출발했어.
>> 네. 달라진게 있어. 돼. 안 돼.
걸 찾고
함수라면 정리역 등역 취역을
찾아봅시다. 화살이를 보는데 모두
어떻게 >> 경가
자, 볼까요?
>> 자, 1번부터 1번 한이 아니니? >> 예요.
>> 예요.
>> 왜? 1번 조건, 2번 조건 중에 뭘
만족 안 해?
>> 2번 만족 안 하지. 갈라지면 안
되는데 1번이 갈라져 버렸죠. 1이.
그래서 얘는 함수가 아닙니다. 자,
두 번째 2번은 함수야? 아니야? >> 함수.
>> 함수.
>> 함수지. 모두 다 화살표가 출발하고
갈라진 것도 없죠. 얘는 함수예요.
3번. 함수야, 아니야? 네.
>> 함수가 아니지. 여기에 어떤게 문제가 돼?
돼? >> 1번.
>> 1번.
>> 1번. 모두 출발이 안 됐지? 1번도
출발 안 했지. 그러면 함수가
아니에요. 마지막 4번은 함수
아니야. 얘는 함수가 맞습니다. 모두
출발하고 갈라지지 않았죠. 함수가
돼요. 자, 그럼 2번 4번에서
정의역 공역 취역을 찾아봅시다.
정의역은 왼쪽 공역은 오른쪽이에요.
그 쓰면 돼. 왼쪽 집합 X, 오른쪽
집합 Y 쓰면 되고. 자, 치역은 누구야?
누구야?
>> A, B, C. 도착한 애들을 적으면
치역이에요. 자, 그 밑에 볼게요.
자, 밑에 똑같이 정의역 공역 똑같고
왼쪽 오른쪽 정의역 공역이고 취역은 뭐야?
뭐야?
>> A랑 c겠죠? 실제 도착한 애들이
취역이 됩니다. 됐니?
할 수 있지? 어, 어려운 거
아니야, 얘들아. 지금 딱 이것만
했어. 여기다 이제 한 발마 나갈게.
우리 중학교 때 배웠던 함수랑 너무
다르지. 중학교 때 배운 건 막
그래프를 그리잖아. 근데 중학교 때
배운 거랑 지금 이렇게 개수가 몇 개
없는 것이랑은 접근 방법이 조금 문제
풀 때 다르지만 개념은 똑같이
생겼어. 그래서 여러분들이 함수
단어에서는 우리가 두 개를 나눠서
생각을 해야 돼. 머리를 좀
분할해서. 아, 이게 중학교 때 배는
함수일 때랑 지금 이게 집합으로
대응으로 표현할 때랑 어, 개념은
똑같지만 풀이 접근이 조금
다르구나라고 생각하면 됩니다. 그래서
정의역이 지금 개수가 몇 개 없지?
유합리일 때 유한 집합인 경우는
화살표에서 생각을 해야 돼. 정역이
유한 집합인 경우에 유한이 몇 개
없는 거지. 그때는 살표로 얘가
함수인지 아닌지 구분을 해야 됩니다.
자, 근데 우리 중학교 때 배웠던
정의역이 무한일 때 생각을 해
볼게요. 우리 보통 정의역은 아무
얘기 없으면 실수 전체지. 정의
무한이지. 자, 그런데이 화살표의
의미가 뭐였냐면 자, 화살표가 모두
출발해야 돼. 그러면 정의역에 있는
모든 x가 어딘가 y로 가야 돼 하는 얘기야.
얘기야.
그게 함수야. 그다음 뭐냐면 달라지면
안 돼. 아, x가 x값이 하나면은
y값 하나가 딱 정해져야 돼. 그럼
함수야. 그러면 얘가 무한 집합이어도
여기다 실수 전체어도 똑같아. 실수
전체어도 화살수가 하나씩 딱 하나에
가서 꽂히면 돼요. 그 실제로 우리가
우리가 알 함수 넘어갈게요. 함수
y는 x가 있대요. 아, 얘는 그럼
그 두 조건을 만족하는 거야. x값이
하나 출발해서 y값이 도착을 해.
내가 1 집어넣으면 1로 가고 10을
집어넣으면 10으로 가고 가지.
그리고 x값이 안 갈라죠. x가 1이
출발했으면 무조건 하나로 도착해야
돼. 1이 출발했는데 뭐 5나 10
두 개로 갈라지지 않죠. 무조건
하나로만 꺾시죠. 그래서 실제로
함수를 만족하는 거야. 그래프적으로
어떻게 해석해요? 그건 다음 시간에
얘기를 할 거고. 자, 어쨌든 얘가
함수래. 함수. 자, 얘 정의역이
실수 단체라고 합시다. 그러면 치역을
구해 보세요 하는 얘기입니다. 그러면
y값들을 다 모어 놓으면 두근이 자,
근데 x랑 y랑 똑같이 y는 x는
여기 실수 전체를 집어넣으면 똑같이
얘도 실수 전체가 나오겠지? 같은
애가 나오잖아. 그럼 그 y값들을 다
모아 놓으면 치역이거든요. 그 y를
그러면 치역도 실수 전체가 돼요.
y랑 x랑 같기 때문에 치역도 실수
단체가 돼.
x의 모든 실수를 넣을 때마다 y도
모든 실수가 튀어나오기 때문에
2번 살짝 하더로 y는 x제곱이죠.
자, 여기다 x에다 막 집어넣을
거야. 정의니까 아무거나 막
집어넣으면 배응되는 Y가 나오겠지.
화살표의 끝이 나오겠지. 자, 그런데
y는 그러면 아무거나 다 될 수
있니? 제곱이잖아. 제곱은 항상
0보다 크거나 같죠. 맞지? 음수는
나올 수 없지. 그럼 치역에서 음수는
불가능한 거야. 마이너스가 안 돼요.
그래서 우리 치역은 y는 0보다
자, 근데 공역은요? 1번, 2번
공역은 뭐야? 공격 얘기 나네. 아무
얘기 없으면
실수 전체예요. 아무 얘기 없으면
공약은 실수 전체가 됩니다.
정의역과 공약은 별액이 없으면 특히
자, 2번 볼게요. 자, 조금
헷갈리지? 위에 아, 위에 오케이.
뭔 말인다 알겠는데. 자, 1번하고
2번은 뭐냐면 1차 함수, 2차
함수야. 우리가 배웠던 것들이야.
생각을 해 볼게요. 자, 정의역과
취역을 구하셔도 되는데 정의역 공역은
아무 얘기 없으면 실수 전체예요.
실수 전체라고 생각하면 돼. 오른쪽도
똑같아. 정의역 공역은 아무 얘기
없으면 실수 전체예요. 아까처럼 뭐
집합 집합 주어지면 그게 정의역
공역이지만 실수 전체인데 치역을 구해
볼게. 치역 치역은 나올 수 있는
y값들을 다 놓은게 치역이다 그랬죠.
자 생각을 해 볼게.이 식에서 y가
0이 될 수 있니?
될 수 있지. 0 집어넣으면 x가
존재하잖아. y가 1이 될 수 있니?
될 수 있지. 1 집어넣으면 x가
존재하잖아. 실제 x는 하고
정리하면은 x는 얘는 다 넘기냐면 y
+ 4야. 그러면 내가 만약에 y가
1이 필요해. 치역에 1이 있는지
궁금해. 1 집어넣으면 아 x가 5
5 출발하면 1로 가겠네. 맞지?
그래서 모든 y에 대응되는 x가 항상
존재합니다. 모든 y로 도착하는
그니까 y를 어떤 걸 갖다 넣어도
x가 누군가 출발했어. 그 말은
우리는 치역은 실수 전체란 얘기예요.
조금 논리가 어렵지. 이제 노른쪽까지
하고 조금 더 간단하게 얘기 할게요.
될 수 있는 y값들이야. 될 수 있는 y값.
y값.
자, 두 번째 2차 함수를 볼게.
우리 2차 함수는 지금 여기서
표준형이거든. 꼭지점 좌표 나오니 몇
콤마 몇이야? 보여. 0 7이고
아래로 블록이야. 위로 블록이야?
위로 블록이지. x제 앞에
마이너스니까. 근데 얘네 꼭 시점이
0 7제곱 위로 볼록이 애들이. 자,
위로 블록이란 얘기는 우리 최댓값이
존재하지. 최댓값이 7이에요. 꼭점의
y 좌표. 그래서 y는 최댓값을
넘어갈 수가 없어요. 그래서 y는
7보다 작거나 같아요. 최댓값이 0
7점에 y 좌표니까. 그러면 치역은
y가 y는 7보다 작거나 같다가
됩니다. 자, 우리가 알던 함수로
넘어왔어. 근데 거기서 정의역 공역
취업을 하는 거야. 헷갈리더라.
그래서 우리는 이렇게 정의역이 무한
집합일 때는 어떻게 적는게 더
빠르냐? 그래프를 그려야 돼.
그래프를. 우리 y는 2x - 4
그래프 기울기가 2고 y 절제는
-4야. 그림이 요렇게 생겼어.
어. 그리고 y는 -1x + 7은 0
7에서 위로 불러. 이렇게 생겼어.
이렇게 생긴 다음에 그다음에 그래프를
보는 거야. 자, 우리 치역은 y값들이거든.이
y값들이거든.이
그래프에서 그래프가 될 수 있는
높이를 다 모아 놓으면 치역이에요.
자,이 그래프의 높이는 위로 계속
올라갈 수 있지. 다른 계속 내려갈
수 있지. 그러면 그 높이 전체를 다
모아 놓으면 실수 전체가 치역이 되는
거야. 자, 2차 함수 볼게요.이
2차 함수 위로 블록이지. 자,이
위로이 파란색은 7 이상이 올라갈 수
있어? 없어? 위로 못 올라가지.
7초과로. 근데이 아래는 다 되지.
높이가 다 가능하지. 그러면 가능한
높이를 다 모아 놓은게 취역 7보다
작거나 같다가 돼. 그래서 정의역이
무한 집합인 경우에는 그래프의 높이를
보면서 파악을 해야 되거 그래프를
그려야 돼. 근데 우리가 이제까지
그린 거 두 개밖에 없어. 1차
함수, 2차 함수야. 물론 원도
오늘이 함수가 아닌 건 다음 시간에
얘기를 할게요. 그래서 정의역이 유한
집합이면 화세도 생각하고 무한
집합이면은 우리가 그래프를 통해서 꼭
얘기를 해 줘야 된다. 그 기본적인
1차 함수, 2차 함수는 여러분들이
계속 해야 돼요.
자, 제일 밑으로 넘어갈게요. 밑으로.
밑으로.
자, 오케이. 그러면 난 이제 함수가
뭔지 알았고 우린 드디어 함수가 뭔지
안 거야. 더 심하게 안 나와.
함수는 그 결과적으로 집합의 대응으로
표현을 하는 거예요. 집합의
대응으로. 어, 그리고 그러면 좀
모양이 어색해도 화살표 같은게 나와도
유한 집합에서 유한 집합도 함수가 될
수 있습니다. 자, 근데 두 함수가
그러면 언제 똑같니에 대한 얘기를
한번 할게요. 딱 여기까지 할 거야.
자, 두 함수가 똑같다라는 말만
들으면 똑같이 생겼으면 똑같은
함수겠지. y는 x, y는 x 똑같은
거겠지. 그런데 이제는 좀 더
엄밀하게 얘기를 할게요. 그 두 함수
f랑 g가 정의역과 공명이 서로 같을
때 당연히 두 함수가 같다 다르다
얘기하려면 같은 팔에서 놀아야겠지.
어 구역 자체가 다르면 같아 다르다
얘기를 안 해요. 그래서 정의역과
동역 아까 화살적 출발하는 것과
도착하는 후보들이 같을 때 자
정의역에 있는 모든 원소 x에 대해서
fx랑 gx랑 같으면 그 함수가
같아요. fx랑 gx랑 같다는 얘기가
뭐냐면이 fx gx는 흠수값이거든.
아까 화살표에서 화살표의 끝이야.
끝. 화살표 끝. 도착 지점. 그러면
x가 똑같으면 도착 지점이 똑같아.
두함가 따로 두 개가 있는데 어 1이
출발해서 여기 2로 가고 여기도 1이
출발해서 2로 가. 근데 모든 애들이
같은 데로 간대. 그러면 두 함수는
같다라고 얘기하는 거예요. 같다.
두 함수와 g는 같고 기호로 f는
g라고 표현합니다. 약간 헷갈릴 수
있으니까 이렇게 생각을 해 볼게요.
자, 우리 집합에서
x가 있고 y가 있고요. 여기도 x가
있고 여기도 y가 있어. 자, 여기
함수가 얘는 f라고 하고 여기는
g라고 할게요. 두 개의 함수가
있어요. 근데 두 개가 같다 다르다를
얘기하려면 정의역 공역이 같아야 돼.
둘 다 정의역을 - 0을
0이라고 할게요. 그러면 함수가
되려면 -1이 출발해야 되고 0도
출발해야 되지. 갈라지지 않으면서
얘들로 fx가 이렇게 갔어. -1이
0으로 가고 0이 0으로 갔어. 자,
g가 -1 0으로 가고 0이 1로
가면 얘도 함수는 맞지? 같은 거야?
다르지. 딱 봐도 다르잖아. 그러면 0이
0이
0으로 가면은 같은 함수예요. 똑같이
생겼잖아. 화살표 똑같이. 근데
화살표가 요렇게 가도 돼. 이렇게
가도 도착 지점만 똑같으면 돼. 그
말은 이렇게 막 돌아간다는 얘기는식이
좀 다르게 생겨도 돼. 도착 지점만
같으면 돼요. 그러면 같은 함수예요.
얘기야. 그래서 여러분들이 개념
확인하기 보면은 fx랑 gx가 딱
봐도 다르게 생겼지. -x고 여기는
x제곱이야. 다르게 생겼지. 다른
함수야라고 얘기하면 안 돼. 다르게
생겼어도 출발과 끝만 같다면은 같은
함수가 될 수 있어요.이 정의형
내에서. 정의역이 -1라고 0이야.
그럼 -1 출발해서 자, f에서 한번
출발해 볼게. -1 집어넣으면
마이너스 집어넣으면 1이 되지.
그러면이 함수 f에서는 -1은 1로
꽂혀. 자, 뒤에서도 볼게. -1
집어넣으면 1로 가지. 뒤에서도
-1는 1로 꽂혀. 어. 자, 그리고
0 집어넣으면 0 집어넣으면 0, 0
집어넣으면 0이라서 f에서도 0으로
꽂치고 g에서도 0으로 꽂혀. 아,
얘는 출발가 끝이 다 똑같네. 둘 다
두 항수다. 그러면 얘들은 같은
함수가 돼. 그래서 여기는 둘 다
-1로 가고 0이 둘 다 1로 가면은
아, 0으로 가면은 똑같은 데로 갔기
때문에 두 함수는 같다라고 얘기하는 거야.
거야.
그 출발 도착만 보는 거야. 사이가
뭐 제곱이든 세제곱이든 네제곱이든
관심 없어. 출발과 도착이 같으면
같은 함수 반 모든 정의역이 되.
그럼 여기서 볼게요. 자, 정착이자.
눈두자. 자, 보면은 정역이 -1이래.
-1이래.
자, 두 함수를 볼게. 그럼 -1을
집어넣었을 때 f -1은 1이죠.
그리고 g -1도 -1 + 1이죠.
그 두 개가 같기 때문에 아,
오케이. 얘네들은 둘 다 하살표가
마이너스를 추가해서 1로 가네요. 그
1도 볼게요. 1도 집어넣으면 1
넣으면 1, 1 넣으면 -1 + 1서
1. 어 1 넣어도 똑같네. 그러면
1도 1로 가네요. 그러면 출발과
조착이 두 함수가 다 똑같아. 모든
정의역에서 여기 두 개밖에 없으니까
그러면 두 함수는 같아요. 그래서
정의역에 있는 모든 x에 대해서
출발과 끝이 똑같아. fx는 gx.
음. gx랑 fx는 도착 지점이야.
똑같으니까 우리는 f는 g라고 얘기할
수 있어야 돼.
출발과 끝이 똑같으면은 돼요.
정의역에 따라서. 어, 근데 만약에
이렇게 정의역이 유한 집합이 아니고
무한 집합이면요. 우리 무한 집합일
땐 똑같은 식이어야 돼. 똑같이.
그거 말고 안 돼요. 무한 집합일 때
반 똑같은식이 모양은 좀 다르게 쓸
수 있지. 모양은. 예를 들어서
fx는 모양을 x제 - 2x + 1로 쓰고
쓰고
근데 gx는 그냥 주면 되는 걸 굳이
x - 1의 제곱으로 쓰겠다. 같은
식이잖아. 그렇지? 그래서 정의역이
무한 집합일 때는 항등식이어야 돼.
그러면 돼요. 항등식이라 그러지.
어차피 같은 경우. 근데 유한 집합일
때는 모양이 달라도 된다. 모양이
달라도 같을 수도 있어. 체크를 해
봐야 돼. 이렇게. 자, 그래서 키즈
하나만 더 해 볼게. 키즈인데이
세 있는데 했는데 세 중에 두 명
맞췄어. 우리반이 마지막.
자, 지금은 정의역 주어지고 함수
당연히 물어봤지. 이번에는 정의역을
안 줄게. 함수를 주고 답대. 그럼
정의역이 누구니라고 물어보는 거야.
자, 퀘스. fx랑 gx를 줬어. 또
다른게 생겼겠지 뭐. 근데 같은
애래. 정의가 같을 수 있고 다를 수
있겠지. 그 정의역은 누구일까 하는 얘기야.
얘기야.
정의역은 하고 물어왔어.
응. 이거 한 1분 정도 시간
드릴테니까 풀 수 있는 사람은 한번
정의하고 한번 찾아봅시다. 한번
찾아보고 찾은 사람은 한번 손 들어 봐.
봐.
답은 마지막에 알려주고
보면서 어 정의역을 찾으라는 얘기네.
정의역을 어떻게 찾지? 두 개가
결과값이 똑같으려면 fx랑 gx랑
같다라고 둬야겠네.
까지가 힌트예요. 두 개가 같다라고 둬야지
찾아볼 수 있겠지.
또 하는 중이다. 아니면 했다.
없어. 바로 얘기를 할까요? 어
재정이만 맞춰서
이제 아마 이거는 너희들이 문제집
같은 거 풀다가 한번 이걸로 틀려
보면은 까먹기가 힘들어. 아마 다들
처음에 틀려봤을 거야. 무슨 얘기냐면
자 -1 0 나온 사람이 좀 있는데
너희들의 심리 상태를 들어가 볼게.
어 두 개가 같아야겠네. 맞지? fx
gx랑 같아야지 최소한 될 거
아니야. 두 개를 같다라고도 원래
이렇게 푸는게 맞아. 어 그래서
이거를 만족한 x를 찾을 거야. 딱
봐도 0 되지. 1도 되지. -1도
돼. 근데 우린 그렇게 풀진 않잖아.
넘긴 다음에 인수분해해서 3차
방정식을 풀어야 돼요. 넘겨서 x를
묶어. 그러면 합차가 돼서 요렇게
인수 분해가 돼. 그럼 x는 -1
또는 0 또는 1이 됩니다. 그래서
어 정역이 이거면 -1 0 1이면
같잖아. -1 넣으면 -1 0 넣으면
0 1 넣으면 1 같죠? 그러면 아
이때는 여기 같은 함수네. 여기서
끝내면 안 돼. 정역이 이게 아닐
수도 있어. 꼭 셋다 있을 필요
없지. 정역이 하나만 있을 수도
있어. -1 0 1 또는이 중에 두
개만 있어도 돼요. 두 개만 있어도
돼요. 그만은 이게 지금 -1은
정의역 중에서 제일 부피가 큰 거.
원소 개수가 제일 많은 거예요. 이제
그거의 부분 집합들 있지? 부분
집합들은 다 정의역이 될 수 있어요.
어떤 조건을 만족하는 f랑 g가
같다를 만족하는 모든 정의역들이
하나만 나오는게 아니고 얘는 총 몇
개 나올까?
공집합을 빼니까 부분 집합이 원래
2의 세제곱 여덟 개지. 2의 세제곱
- 1에서 일곱 개가 나옵니다.
그래서 얘네들이 다 돼요. 나오는 얘기야.
얘기야.
그래서 물론 이제 -1, 0, 1까지
찾은 사람도 훌륭하지만 어 이렇게
한번 틀려 보면이 뒤부터는 잘 틀려.
경력을 뭐라고 할 때 정역이 여러 개
나올 수 있다. 그 보통 이런 문제는
이걸 만족하는 정의역의 개수는 하고
많이 물어봐요. 개수를 많이 물어보.
이해됐니? 다 끝났어. 마지막 정리.
자, 오늘 함수 얘들 함수를 대응의
개념으로 배웠거든요. 우리
화살표예요. 화살표. 함수는 두 개로
갈라서 유한 집합일 때, 무한 집합일
때 생각을 하고 화살편대 모두
출발하고 갈라지지 않으면 함수가
됩니다. 계속 기억을 하세요. 그리고
정의역, 공역, 치역. x는 정의역,
y는 공역 도착한 애들은 치역이라
부르고 마지막 두 함수가 같으려면
정의역 공역이 같으면서 동시에
함숫값이 다 똑같아야지 같은 함수가
여기까지 기억을 하도록 합시다.
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