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함수 문제풀이 | 이대준 | YouTubeToText
YouTube Transcript: 함수 문제풀이
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This content is a comprehensive review and problem-solving session focused on functions, covering definitions, types of functions (one-to-one, identity, constant), composite functions, inverse functions, and function equality, with practical examples and explanations.
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자, 수업 시작합니다. 우리 함수
문제 풀게요. 연습 문제. 그 중단원
점검하기랑 맨뒤에 마무리 학습에서
함수 문제만 뽑아서 쭉 하겠습니다.
자, 1번. x가 있고 y가 있을 때
x에서 y로 함수인 것을 골라
주세요라고 되어 있는데 자 우리 x가
정의역이라서 대입했을 때
함숫값이 나와야 되고 근데 그
함숫값들이 공역 안의 원소가 돼야지
우리 모든 x에 있는 원소가 공역
안에 있는 y의 원소로 대응된다라고
얘기할 수 있죠. 우리 함수의
정의입니다. 실제로 다 넣어 봐서
우리 되는게 볼게요. 우리 쭉 하나씩
보겠습니다. 우리 자 기억 기억
보면은 여기
0일 2가 있고
x에서 y로 y가 1 2 3 4죠.
그러면 자, x에다 0을 집어넣으면
y는 x + 1이라 1로 가고 1을
집어넣으면 2로 가고 2를 집어넣으면
3으로 가죠. 자, 그러면은 아,
얘는 함수라고 할 수 있어요.
화살표가 갈라지지 않았고 모두
출발했죠. 그래서 기억은 함수입니다.
자, 다음 니은을 볼게요. 니은도
똑같이 우리 정의역 공역이 똑같이
여기 x하고
y가 있을 거예요. 0 1 2 1 2
3 4 우리 디귿 리얼도 할 거니까
그대로 한번 복사해서 넣어 볼까?
어차피 디귿도 해야 되고 리얼도 해야 되니까.
그래서 대응이 다 성립하는지 볼게요.
함수 조건을 만족하는지.
자, 첫 다음 니은을 보면은 니은
y는 x제곱이죠. 자, 0 집어넣으면
0으로 가야 되는데이 0이 갈 데가
없죠. 그래서 모두 출발 결체 못
하네. 1은 1로 가고 2는 4로
가고 그래서 니는 함수가 아닙니다.
모두 출발하지 않았죠. 자, 디귿.
y는 절댓값 2x + 1인데 자 0을
집어넣으면 0 +해서 1로 가고 1을
집어넣으면 2 + 1 3으로 가고
2을 집어넣으면 2 + 1하면 아 4
+ 1하면 5로 가죠.어도 2가 출발
안 하네. 그러면 안 되겠죠? 자
디귿도 안 됩니다. 모두 출발하지
않죠. 2에 대응되는 Y의 공약의
원소가 없습니다. 자, 리을 보면은
자, 리을은 y는 3이 돼요. 0도
3, 1도 3, 2도 3으로 가네.
걸 상수 함수라 그랬지 리을은 함수가
됩니다. 답은 기억 리을이 될
거예요. 그다음 2번. 다음 보기에서
1대 1 항등 상수 함수를 찾아
주세요라 그랬는데 자, 아무 얘기
없으면 정의역은
실수 전체라 그랬습니다. 음. 자,
그러면 다른 건 몰라도 항등 함수랑
상수 함수는 수업됐는데 정의역이 실수
전체일 때 항등 함수는 유일하게 y는
x만 존재하고
정의역이 실수 전체일 때 상수 함수는
유일하게 y는 c꼴만 존재한다
그랬어. c는 여기서 숫자예요.
그만은 곧 니은 있죠? 우리 니은
그리고 리을 있죠? 어, 리얼은 항등
기억하고 디귿은 상수 함수도 항등
함수도 될 수도 없어요. 자, 그다음
이제 1대 1 대응을 볼게요. 1대
1 대응. 자, 1대 1 대응. 우리
정의 기억을 해야 돼요. 1대 1
두 번째 우리 치역과
공역이 같아야 돼요. 이거 판정하는
법네 개했죠. 그래프 그렸을 때 가로선을
가로선을 그자
그자
그리고 오로질
한 번 만난다라고 얘기했었죠. 그
실제로 기억, 니은 디귿 리얼을 해
보면 어 항등 함수 상수 함수도
얘네가 1대 1 되인지 체크해 봐야
돼요. 자 기역은 우리 기울기가
양수고 y 절편이 -2라서 오른쪽
위로 가는 함수죠. 자는 가로선을
열심히 그었을 때 한 번씩 딱
만나죠. 한 번 한 번 한 번. 그
기억은 1대 1 대응이 됩니다.
자, 니은 같은 경우는 우리 x축,
y축이 있을 때 그냥 옆으로 높이가
5인 괄로 된 함수죠. 자, 얘는
옆으로 그었을 때 안 만나는 점도
있고 무슨이 많이 만날 수도 있고
니은는 1대 1 함수가 안 돼요.
자, 디귿은 보면 y는 x제곱은 우리
x축, y축 있을 때 위로 볼록이죠.
옆으로 그었을 때 두 번 이상
만나죠. 그래서 디귿은 1대 1대
0이 안 됩니다. 자, 마지막
리을은요. 리을은 항등 함수이기도
하지만 자, y는 x를 그리고 나면
옆으로 그었을 때 여기 원점에서
만나면 한 번씩 다 만나죠. 그래서
리을은 1대 1 대응도 됩니다.
그래서 리을 함수 y는 x는 항등
함수이면서 동시에 1대일 대응인
함수가 됩니다. 3번으로 넘어갈게요.
자, 3번 보면은 자, 합성 함수의
값을 구해 주세요라 그랬는데 1번하고
2번은 크기 어렵지 않을 거예요.
우리 합성 함수 기호 있으면 다
괄호로 바꿔 주세요라 그랬지. 1번은
g로 열고 f1하고 똑같아요. 그럼
2번은 f괄 가로 열고 f -2하고
똑같고 그래서 괄호로 바꿔 주면
됩니다. 근데 f1은 우리 위에
식에다가 집어넣으면 2 - 3이라서
우리 -1이 됩니다. 그러면 g -
1이 돼요.
자, 근데 g -1은 여기 오른쪽에
넣어 주면 마이너스 마이너스 플러스
그래서 1 + 2에서 3이 되겠죠?
다음 2번 볼까요? 자, f -2
괄호 안에부터 보면 -1을 집어넣어 주면
주면
2는 4 + 곱하기 2야 8 -
3에서 5가 되네요. 그래서 얘는
f5가 되고 또 5를 집어넣어 주면
52 * 2 - 3 하면은 47이
되네요. 50에서 3 빼서 47이
2번의 답이 됩니다. 차근차근 안에
거부터 집어넣으면 된다 그랬죠?
그래서 합성함수의 값은 안에부터
집어넣어 주면 돼. 이제 문제는 합성
함수를 구하는 3번, 4번 같은
문제죠. 자, 똑같아요. 3번도
자, 그리고 나서 우리 g(x)가
-x + 2니까 우리 f 안쪽에
g(x) 대신에 -x + 1을 집어넣읍시다.
집어넣읍시다.
수업때 많이 했죠? 자, 그다음에
원래 f(x)가 2x제 - 3인데
거기 x 자리에 -x + 1을 대입해
줘요. 그럼 2 괄호 열고 -x +
2의제곱 - 3이 되겠죠?이 식을
정리하면 합성 함수가 되죠. 자,
완전 제곱식이 괄로 열고 여기 x -
2의 제곱하고 똑같아서 x제 - 4x
+ 4 -3이 됩니다. 우리 2
하나씩 분배해서 뒤에 3을 빼 주면
자, 다음 4번도 볼게요. 4번도이
괄호로 바꿔 주라 그랬지. g려고
gx가 되고.
자, g(x)가 우리 -x + 2라고
오른쪽에 위에 주어졌기 때문에 얘는
g -x + 2고. 자, -x +
2를 우리 g(x) 자리에 또 넣으면
마이너스 가로 열고 -x + 2 +
2가 됩니다. 그럼 마이너스 하나씩
처리해 줘서 뒤에 2까지 더하면 우리
x 그리고 뒤에 더 처리가 안 되죠.
-2 + 2 사라졌어. 그래서 x가
답이 되겠네요.
그래서 합성 함수 구하는 방법도
여러분들 기억을 해야 됩니다. 4번
볼게요. 다음 함수의 역함수
구하세요. 역함수는 두 단계. 첫
번째 우리 x는 꼴로 정리.
두 번째 x y 자리 바꾸기. 자리 교환이라고
교환이라고
써서 얘기했죠. 자, 1번부터
볼게요. 자, 첫 번째 단계.
x는하고 정리하기 위해서 2를
왼쪽으로 넘기고 4를 나눌게요.
그러면 x는
자, 우리 2 넘기면 y - 2인데
나누기 4하면
-4인데 약분하면 -1이 돼요. 자,
x는 꼴로 정리했죠. 자, 두 번째
단계 두 개 자리 바꾸세요. 그러면 y는
y는
1 x - 1 그래서 x는하고
정리하고 xy 자리 바꾸면 역함수가
나왔죠. 자, 똑같아요. 2번도 첫
번째 단계 x는 꼴로 정리를 할게요.
그러면 4를 넘긴 다음에 -3을
양변에 곱해야 x가 남겠죠? 그럼 x는
x는
자, 4를 넘기고 -3을 곱하면
y에다 -3 곱하면 -3y.
4를 넘기면 -4인데 -3 곱하면 +
12가 됩니다.
자, 이제 두 번째 xy 자리
바꾸세요. 그럼 y는 -3x +
12가 되겠죠? 이게 역함수가
됩니다. 역함수 구하는 것도
여러분들이 충분히 할 수 있어야
됩니다. 5번으로 넘어갈게요.
자, 정의역과 어, 정의역이 있을 때
정의역이 -2, 6인 두 함수에서
fx, g(x)가 각각 절댓값 x
ax + b래요. 함수가 같다라
그러는 거는 그러면 정의역에 있는
모든 x를 갖고 왔을 때 그 얘기는
f에다가 -1을 집어넣은 값이랑
g에다 -1 넣은게 같아야 되고 또
f에다가 6을 넣은 값이랑 g에다
6을 넣은 값이 같아야지 함수가
같아요. 그래서 이걸 1번 2번
관계하자. 자, 1번부터 볼게요.
f에다가 -1을 넣으면 -2의
절댓값이라서 그냥 2가 돼요.
자, g에다가 -1을 넣으면 -2a
+ b죠. 여기 x 자리에 집어넣는 거예요.
거예요.
자, 2번 식은 자, 이번엔 6이랑
우리 f에다가 6을 집어넣고
g에다가도 6을 집어넣어 볼게요.
그러면 절댓값 6은 6이고 x에다 6
넣으면 6a + b가 됩니다.이 두
식을 연립하세요가 돼요. 동시에
만족하는 a, b를 찾자.
자, 위에 측에서 아래 식을 선생님
빼 볼게요. 빼면은 -4는
자, b는 사라지고 -8a가 되고
양변을 -8 나누면 a는 1이 될 거예요.
거예요.
자, 이걸 여기다 집어넣어 주면 자,
1 집어넣으면 우리는 2는 자, 2
약분되면 -1 + b라서
b는 3이 되겠네요.
그래서 a= 1/, b는 3을 찾을
수 있습니다. 그래서 두 함수가
같다는 얘기는 정의역에 있는 모든
x값을 집어넣어 주세요가 됩니다.
다음 6번 볼게요. 자, 또 합성
함수에 대한 얘기예요.이 합성 함수가
같아 hx 값을 구해 주세요라는
얘긴데 hx 1차 함수면 자, 누군지
몰라도 우리가 얘를 어떻게 처리할지
고민해 볼게요.
자, 이거를 뭐 ax + b라고 둘
수 있겠죠? 자, 1번은 우리 두
함수가 같다는 얘기는 f 합성 hx
곧 gx란 얘기예요.
자, 그러면 우리 합성 기호는 괄호로
바꿀 수 있다 그랬죠? 그러면 좀
오른쪽에 붙여 써 볼게요. f 가열고 hx
hx
이게 gx랑 똑같고
자, hx가 누군지 모르지만 우리 x
자리에 집어넣으면 되죠. 그럼
집어넣으면 어떻게 되냐? 곧 5 괄로
열고 hx가 되죠. 뭐 괄로 열 필요
없겠네. x 자리에 hx 넣고
+ 1 한 개의 좌변이 됩니다. 원래
fx는 5x + 1이니까 x 대신
hx를 넣은 거예요.
자, 그다음에 우리 g(x)는 -3x
+ 6이죠. 자, hx 그냥 하나의
함수야. 한 덩어리예요. 지금 네모
친 거 말고 다 넘길게요. 자,
오른쪽으로 1을 넘기면 ohx는
-3x + 5가 되고 1 빼니까 양변
5 나누면 hx는 -5x
-5x
자, 다음 2번을 볼게요. 자,
2번도 같은 방식으로 해 볼 거예요.
자, 2번은 보면은 자, hf가 g란
얘기는 결국에 무슨 얘기냐? 우리 h합성
h합성
f에다가 x를 넣으면 gx랑 똑같아요.
똑같아요.
그러면 자, 합성 기어는 괄호로
바꿔서 h괄호 fx는
그러면 gx랑 똑같고
자, fx가 h 가로 열고 5x +
1이죠. 그 g(x)는 -3x
+ 6이죠.
자, 그런데 우리 오른쪽에 ax +
b가 있죠? 그래서 이게 hx기
때문에 이걸 이용해서 x 자리에 5x
+ 1을 넣은 거죠. 그러면 자, a
가로 열고 5x + 1 + b가
좌변이 됩니다. 이게 -3x +
6이고. 자, 계수 비교할 거예요. 5ax
5ax
5a 이제 분배하면
+ a + b는 -3x + 6. 자,
그러면 자, 여기서 5a가 -3이고
계수 비교 a가 a + b가 6이 됩니다.
됩니다.
그러면 자, 5a가 -3이 되려면
a는 -5이고
5a는 -3이니까 3.
자, 이거 -5을 여기 집어넣어 주면 -5
-5
+ b가 6이 됩니다. 6은 3이라서
넘기면 b는 3이 돼요. 그 말은 곧 hx는
hx는
ax + b라서 -3x
+ 33이 됩니다.
이렇게 hx가 1차 함수라고 주어졌기
때문에 ax + b로 두고서 계산할
수 있습니다. 넘어갈게요. 7번 보겠습니다.
보겠습니다.
자, 7번은 뭐 합성함수랑 역함수랑
기호 여러 개 있는데 여러분들이
주목해야 되는게 가운데 합성함수의
역함수가 괄호가 걸려 있다 그랬지?
그러면이 -1제곱처럼 위에 있는 거를
안에 넣어 줄 수 있다 그랬어요. 단
넣어 주는데 자리가 바뀌어요. 그 얘
누구랑 똑같냐? 자, 우리 F 합성은
앞에 원래 있었고이 안에가 괄호가
사라지면서 자리가 바뀌고 -1이
안으로 들어가요. 그러면이 g
-1에다가 -1 넣으면 그냥 g가
됩니다. 먼저 쓰고 그다음 네모에다가
-1 집어넣어 주면 얘는 f -1이
돼요. 그리고 뒤에 f 원래 있었고
이렇게 3이 있죠.
자, 그리고 선생님이 수업 때 이런
얘기 했었죠. 합성 함수 할 때
역함수랑 그냥 있으면 이렇게 없애
버려도 된다고.
그러면 뭐랑 똑같냐? 얘는 곧 f g
합성한 것에 3 넣은 거고 그러면
괄호로 바꿔 주고
자 g3은 3 집어넣으면 -6 +
5라서 f -1이고
자 이건 또 -1 집어넣으면 f
자 차근차근 우리 합성 함수의
역함수도 기억을 해야 됩니다. 8번 넘어갈게요.
자, 다음 그래프와 역함수 이렇게
나오는데 이게 되게 자주 나오는
유형이거든요. 자, 차례대로 한번
따라가 볼게요. 자, 이거는 우리가
다 괄호로 바꿔 주면 f괄로 열고
자, 그러면 순서대로이 물결신
fd부터 볼게요. 자, d를 넣었을
때 함숫값인데 우리 여기 y는 x가
있으면 여기서 조금 이거 체크만 좀
해 볼게요. 자, 여기 a가 있으면
여기 a죠. y는 x랑 만났을 때이
높이 또한 a가 됩니다.
y랑 x랑 똑같기 때문에 그 말은이
b도 위로 올라갔을 때
b가 되겠죠.
다음 c도 올라갔을 때 y는 x랑
만나면 높이가 c가 됩니다. 자, d
만났을 때 올라가면 d가 되고 2도
올라간다면 쭉 간다면 여기가 2가
되겠죠.이 높이값이 안 주어졌지만
우리는 y는 x에서의
x값들을 알기 때문에 y값도 알아낼
수 있어요.
우리 2는 뭐 실제로 지금 보이진
않죠? 이렇게 점선하면 이렇게 나올 거예요.
거예요.
자, 하나씩 볼게요. 자, 그럼
fd는 누구냐? 우리 하나씩 넘어가
보면 fd는이 빨간색 따라가 볼게요.
d를 넣었을 때 함수값인데 자,
fx랑 만나는 점을 y값으로 쭉
보내면 c랑 똑같네요.이 점이 d마
c가 되는 거예요. 그 말한 곧
우리이 물결친 부분은
c가 돼서 얘는 f 가로 열고 FC랑
똑같이 됩니다.이
물결친게 같단 얘기야.
자, 그다음 볼게요. 이번엔 FC를
볼게요. 여기 동그라미 친 걸
볼게요. FC는 c를 넣었을 때
함수값이야. 그럼 빨간색을 보면 c를
넣었을 때 만나는 점이 y값이 b죠.
그 얘는 b가 됩니다. 여기는 c
b기 때문에
그 말은 자, 동그라미 친게 우리는
자, 똑같은 방법으로. 아, 그러면
FB는 누구지? 우리 b가 올라가서
여기 a 쪽으로 가서 만나죠. 여기
b a죠. b를 넣은 함숫값은 a가
됩니다. 그래서 fb는 곧 a가 될
거예요. 그래서 순서대로 차근차근
따라가면은 fd는
자, 그다음 f 역함수 b라고
할게요. 자, 얘는 뭐냐면 우리가
이거를 k라고 해 보면 그 말은 곧
무슨 말이냐? 자. 역함수에다 b를
넣으면 k야. 그럼 원래에다가 k를
넣으면 b가 돼요라는 얘기입니다.
자, 그러면 자, 이게 함수값이지.
함숫값이 b가 돼야 돼. 높이가 b가
돼야 돼. 언제? x가 c일 때
높이는 딱 b가 되겠죠? c b를
지나니까. 그래서 k값은
자, 다음.
네. 이것도 똑같이. 자, 우리
역함수가 있고 괄호가 있으면 안에
넣어 줄 수 있어요라 그랬지? 넣어
주면서 자리가 바뀌는데 f는 자리
바뀌어 봤자 상관없죠. 얘는 f
역함수 합성 f 역함수 c.
자, 그것은 곧 괄호로 바꿔 주고
f역 역함수 c고
차례대로 볼게요. 자,이 안에부터
물결친 거부터 보면 f 역함수 c는
자, 얘가 누군지 모르잖아요. 그래서
이거를 우리는 또 얘를 k라고 해
볼게요. k.
그래서이 물결친게 k를 만족하는게
누구지? 그러면 이거 무슨 얘기냐?
자, fk는
c를 만족하는 k가 누구예요 하는
얘기입니다. 높이가 언제 c가 되니란
얘기야. 아, x가 d일 때 높이가
c가 되죠. fx가 여기가 d마
c니까. 자, 그 말은 곧 우리는 k는
d라는 걸 알 수 있어요. k가
누구지?이 이 물결인 집어넣어 주면
곧 얘는 f 역함수 d를 구하세요랑
똑같은 얘기고.
자, 이것도 똑같아. 이제 이거는
m이라고 해 볼까요? 보라색으로.
자, f 역함수 d가 누군데?
m이라고 해 볼게요. 그 말은 곧 fm은
fm은
d예요. 그러면 언제 fx의 함숫값이
d가 되니란 얘기예요. d가 되니
언제? x가 2일 때네요. 여기 2 d네요.
d네요.
그만은 곧 여기 m 자리는 d 2가
들어가야겠네요. 그러면 m은 2네요. 최종적으로
최종적으로
2가 답이 됩니다.이 m값이 우리가
궁금한 거니까. 자, 사례대로 이런
그래프 해석을 순서대로 할 수 있어야
합니다. 넘어갈게요. 9번.
9번.
자, 두 집합 x가 있고 y가 있고
x에서 y의 함수 1차 함수가
있대요. 자, 1대 1 대응이다
그랬어. 1대 1대 아까 얘기했죠.
가로선을라고 얘기합니다. 자, 그럼
우리가 이렇게 얘기를 할게요. 여기
x축, y축이 있고.
자, 그리고 -2가 우리 y가 -2고.
-2고.
자, y가 6이고
자, x가 여기 1이고 3이라고
합시다. 조금 이렇게 벌려서 쓸게요.
x가 1. 그리고 여기 x가 3이라고
하면은 자, 우리는 여기 이제 네모친
구간 있죠?이
네모친 구간에서만 색깔을 좀 더 바꿔 볼까?
볼까?
여기 빨간색으로 바꿀게요. 빨간색으로
네모친 구간에서만 얘기를 할 거예요.
여기서 1부터 3까지 정의역이고
그리고 -2부터 6까지는 공역이에요.
자, 근데이 안에서 우리가 1대일
대응을 얘기해야 되는데 1대 1
대응은 기본적으로 함수죠. 그 두
가지 생각을 해야 돼요. 첫 번째
얘가 함수니
함수라고 했잖아. 그 함수 조건을
자, 두 번째. 자, 이번에는 얘는
자,이 빨간 네모 안에 1차 함수
fx ax + b가 이렇게 그려질
건데이 빨간색 직선이 1번 두 2번
둘 다 조건을 만족하려면 우리가 수업
시간에 이런 얘기했어. 함수 조건은 세로선이야.
세로선이야.
세로선을 1대 1대 0은 가로선을자.
자, 그렇게 되도록 1차 함수
직선을이 빨간 네모 안에 그을 내면
딱 두 개만 가능합니다. 어떻게
되냐면이 왼쪽 아래 끝점에서 오른쪽
위 끝점으로 갈 때이
직선이 직선은 세로선을 긋든 가로선을
긋든 한 번씩 만나죠. 그럼 1대일
대응인 함수가 됩니다. 또는 왼쪽
위에서 오른쪽 아래로는 직선일 때
일로 가는 직선일 때 이때도 세로선을
긋든 가로선을 긋든 무조건 한 번씩
만납니다. 그이 두 경우 말고는
1일대일 대응 함수가 나올 수가
없어요. 그래서 여기
첫 번째 두 번째 이렇게 얘기를
할게요. 그래서 자, 첫 번째 경우
첫 번째 경우는 자, 왼쪽 아래이
점이 좌표가 어떻게 되냐? x가
1이고 y가 -1에서 마스 아 1 -2고
-2고
자 오른쪽 위에 점은 x가 3이고
y가 6이라서 3, 6이 됩니다.
그래서 1의 경우는 - 아 1 -2랑
직선을 구하세요 하는 얘기입니다.
자, 근데 두 점을 지나는 직선의
기울기는 x값 증가량분의 y값
증가량의 기울기죠. 그러면 2분의
8이라서 기울기가 4고 기울기가
기울기가
4고 3 6 지나요?
그 말은 우리 y는 4 괄로 열고 x
- 3 + 6 이거 정리해 주면 좀
위쪽에다 정리할게요. 공간이 좁아서
y는 4x 자 4 분배하고 더하기
6하면 -6이 되겠네요. 이게 첫
자, 그다음 보면은
두 번째이 경우는
똑같이 자, 왼쪽 위에 점이 여기
1, 6이고 오른쪽 아래 점이 3
-2라서 1, 6과
3 -2 지나는 직선이에요. 그 말은
자 기울기 또 x값 증가하면 y값
증가하면 기울기가
2의 -8이라 -4고
이번에 왼쪽 1, 6 지난다.
그 말은 y는 -4가로 열고 x -
1 + 6 정리해 주면 y는 -4x
+ 10이 되네요. 그 직선의 방정식
이렇게 두 개가 나와요. 근데 이제
물어보는게 여기이
식들에서이 4하고 -6 -4하고
10이 각각 a하고 b죠. 얘네
순서쌍으로 써 주세요. 그럼 답으로
쓰면은 4하고 -6 4 -6하고
-4하고 10 그럼 -4 10 두
개를 써 주세요하는 얘기입니다. 이게 답이에요.
답이에요.
그래서 정해진 구간에서 1일대일
대응을 얘기할 때는 왼쪽이 오른쪽
아래 또는 왼쪽 아래 오른쪽이 1번
또는 2번 형태로 끝에서 끝까지 가는
자, 밑에 10번 볼게요. 10번
그림이 그래프가 좀 섞여서 요렇게
읽어야 돼요. 검정이지만 헷갈리지 말고.
말고.
자, 두 함수 fx gx가 있을 때
f 합성 gx는 0의 해를 구하세요란
얘기지. 자, 일단 괄로로 바꿔. f
괄로 열고 gx가
0의 해예요.
자, 근데 이거 합성함수 구하기 매우
어렵거든요. 그래서 이렇게 생각을
할게요. g(x)가 누군지 모르지만
얘를 t라고 생각해 볼게요.
그러면 어떻게 되냐? 그러면 얘는 ft는
ft는
0의 해랑 똑같아요.
근데 우리 fx를 알기 때문에 fx가
언제 0인지 알죠? 그때 그 x값이
t가 될 거야. 자, fx는 우리
-x + 3일 수도 있고 언제 x가
1보다 크거나 같을 때 x제 - 4일
수도 있고 언제 x가 1보다 작을 때
근데 둘 중에 하나가 0이 될 수
있잖아. 그래서 fx가 0이란 얘기는
우리 fx가
0이란 얘기는 곧 ft가 0이란
얘기는 다 t로 바꿀게. x 대신.
네. 여러분 헷갈리니까 여기는 얘기는
-t + 3이 0일 수도 있고 언제?
t가 1보다 크거나 같을 때 위에
있는 식에서 x는 다 t넣었어요.
또는 x 아 t제곱
- 4가 0일 수 있어요. 언제?
t가 1보다 작을 때는.
자, 그러면 우리 방정식을 풀면
돼요. 우리 위에 거 풀면은 위에서
자, - t 넘기면 t는 3이죠.
언제? t가 1보다 크거나 같을 때.
어, 상관없죠. 자, 밑에서 우리
밑에 거 보면은 합차 공식이라서 t가
2 또는 -2예요. 언제? t가
1보다 작을 때. 근데 1보다 작다
그랬으니까 2는 안 되죠.
그래서 만족하는 t는 3 또는
그 말은 다시 빨간색 동그라미로
넘어가서 우리 gx는 그건 넘어가서
gx는 t인데 얘는 3 또는 -2만
가능해요란 얘기입니다. gx는
이게 t값들이에요. 얘가 t고 얘도 t고.
t고.
자, 그러면 g(x)가 언제 3 또는
-2니? 이건 계산해 주면 돼요.
우리 g(x)는 절댓값 x -
3이죠. 이게 3 또는 -2예요.
자, 3은 오른쪽 넘기면 절댓값 x는
6일 수도 있고 자, -2에다 더하면
1일 수도 있어요.
그럼 절댓값 x가 언제 6이냐? x가
6 또는 -6일 때고 또 절댓값 x가
언제 1이냐? x가 1 또는 -1일
때예요. 그래서 해가 이렇게네 개가 나옵니다.
나옵니다.
-6 6 1 -1 그래서네 개가
나오니까 이렇게 찾을 수 있습니다.
차근차근이 안에를 t라고 생각하고
찾아낼 수 있어요.
자 뒤로 넘어가서 우리 대단원
평가하기로 넘어갈게요. 137페이지 여러분들은
여러분들은
여기서 이제 함수 부분만 좀 뽑아서
할게요. 이게 130 7페이지가 됩니다.
됩니다.
네. 동그라미 친게 함수 파트예요.
자, 여기서 1번부터 볼게요.
1번 보면은 똑같이 우리 집합이
주어지고 정의역이 주어지고 f랑 g가
같대요. 이거 아까 했었죠? 그러면
우리 FA랑
GA가 똑같고 그리고 FB랑
GB가 똑같고 아까 숫자 조졌는데 왜
문자예요? 그러면 어쨌든 얘네가
같아야 돼요. 그 말은 자 a b는
각각 뭐냐? fx랑 gx랑 같다.
그럴 때 그때 그 x값이 a가 되는
거예요. 그러면 같다라고 두자. x제
- 3이랑 2x + 5가 각각 같아야
돼요. 그러면 다 왼쪽 넘기면 x제
- 2x - 8이 0이고 인수분해하면
x + 4 x - 2가 0이고 그
x는 -4 또는 2. 그럼 -4일 때
두 함수가 같고 2일 때도 두 함수가
같아요. 그러면 왼쪽이 a, 오른쪽이
b일 수도 있고 왼쪽이 b 오른쪽이
a일 수도 있는데 상관없이 곱하는 걸
물어봤죠. 그러면 a, b는 -4랑
2 곱하면 -8이 답이 됩니다.
그다음 2번. 다음 주 1대 1
대응의 그래프 가로선 그으세요. 자,
1번 괄호선 그어봤자 한 번씩 만나는
거 아니죠? 2번은 두 번씩 만나면
안 되고 4번 원은 함수 자체가
아니고 5번은 한 번씩 만나는
척하더니 밑에는 안 만나고 3번은
옆으로 걷을 때 무조건 한 번씩
만나죠. 답은 3번이네요. 1대
1등은 가로 성에요.
다음 3번.
자, 두 함수 fg가 있을 때 우리
합성은 교환 법칙이 안 된다 그랬지?
그렇다고 항상 안 되는 건 아니야.
가끔 될 수도 있죠. 근데 늘 되는게
아니라서 교환 법칙이 안 된다
그랬죠. 근데 이때이 두 개는 서로
바꿔도 된대요. 그러면 합성해
보세요라는 얘기예요. f 합성 지랑
첫 번째 f 합성 gx를 먼저 구하고
자 그리고 두 번째 g합성 fx를
구했을 때 두 개가 같으면
성립하겠죠? 자 순서대로 얘는 f
가로열고 gx고
우리 합성 많이 했죠? 자 그러면
우리 f 가로 열고 ax + 4고
gx가 ax + 4죠? 이 집어넣어
주면은 f에 있는 x 대신 집어넣어
주면 ax + 4 + a가 돼서 x
자리에 넣었죠. 그럼 얘는 곧 ax
+ 4 + a가 f 합성 gx고.
자, 밑에 거는 g 가로열고 fx죠.
그러면 f 자리에 집어넣으면 우리 g
괄로 열고 x + a이고 fx 주어져 있으니까
있으니까
자 이거를 그대로 집어넣어 주면
a 괄로 열고 x + a + 4가 되네요.
그러면이 정리해 주면
ax + 여기 a 집어넣어 주면 a²
+ 4가 됩니다.
자, 그래서 물결친 두식이 서로
같아야 돼요. 자, 근데 계수 비교해
보니까 x 앞에 계수는 a로 똑같지?
그럼 어차피 같고 상수끼리 같아야
돼요. 뒤에가 상수 취급. 근데 4
+ a랑 4 + a제곱이 같다면
결국에 무슨 얘기냐? 우리 4는 서로
더한 거니까 빼면 a제곱이랑 a랑
같아야 돼요.
자, 그러면 우리 이거 a 왼쪽
넘겨서 인수 분해하면 a - 1이 0이라서
0이라서
우리 좀 밑에 쓸까? a는 0 또는
1이에요. 근데 양수라 그랬기 때문에
자, 집합 x가 있고
우리 x에서 x로 이게 정의역 공역이
되죠. 그때 fx가 x - 2 언제
x가 3보다 크거나 같을 때 근데
우리 정역이네 개밖에 안 되죠.
대입해 볼 거야. 대입
3보다 크거나 나기 때문에 3 넣으면
자 f3은
x - 2니까 3 넣으면 1이고 자
4 넣으면 f4는
4 - 2니까 2가 되네요.
자 근데 x가 3보다 작을 때는 -x
+ 5죠. 그러면 f1은 밑에다
집어넣으면 -1 + 4고 f2는
밑에 집어넣으면 3이 되겠죠.
자, 그러면 아, f(x)가 다
튀어나왔네요. 그럼 이렇게 얘기할 수
있어요. 아, g합성 f가 항등
함수다라고 얘기했습니다. 우리 g는
또 누구지? 아, g는 또 x에서
x로 가는 애네요. 자, 항등
함수라는 얘기는 자, 1 넣으면 1이
나오고 2 넣으면 2가 나오고 이런
걸 항등 함수라 그랬죠. 그 말은
g합성 f1을 넣으면
얘가 1이 돼야 돼. 이런
얘기입니다. 근데 g합성 f1이
누구지? 괄호로 바꿔 주면 GFE라고
똑같고 자 오른쪽이 네모 친 거를
보면은 4 집어넣으면 되죠. 그러면
g 4고 이게 1이 돼야겠지. 그러면
아 여기 합성 함수 1 넣으면 1이
튀어나오게 되죠.
자 한 번 더 2를 넣을게. G합성 F2는
F2는
GFE랑 똑같고 오른쪽 위에 FE가
3이라 그랬지. 그러면 g 3이고이
값은 2가 돼야 돼요. 왜? 합성
함수는 항등 함수라 그랬으니까 합성에
2 넣으면 2가 나와야 됩니다.
자, 다음도 g합성 f3은 얘도 근데
결론은 결국에 3이 나와야겠죠. 근데
가운데 우리 괄호로 바꾸고 F3이고
자 오른쪽이 네모 칸 친 거 보면은
F3은 1이고 G1이고 그럼 G1은
3이 되겠네요. 마지막 G F4는
하나씩 다 찾으세요 하는 얘기예요.
그럼 G 괄로 열고 F4고 얘는
결론은 무조건 4 나와야겠지. 근데
F4는 오른쪽에 보니까 G 2랑
똑같고 f4가 2니까.음 음. 그러면
아, 결국에 g1은 3, g2는 4,
g3= 2, g4는 1이 되겠네요.
근데 지금 물어보는게 g +
g3이죠. 그럼 여기 찾아보면은
g2는 4고 g3은 2니까 4 +
2에서 6이 되겠네. 차근차근
찾아내면 됩니다.
그래서 그냥 대입해서 해결한다.
자, 함수 f(x)가 있고 그
f(x)의 역함수가 있을 때 그 bx
+ 1에요. 그리고 역함수의 -7을
넣으면 3이다. 사실 이거는
자, f(3)은
-7이다랑 똑같습니다.
역함수에서 -7 넣으면 3이야. 그럼
반대로 3을 넣으면 애초에
-7이었네. 자, 그러면 이거
집어넣어 보자. f3은 누구냐면 3a
+ 2고 이게 -7이래요. 그러면 2
넘기고 3 나누면 a는 -3이 바로 나오네요.
자, 그 말은 곧 fx는
우리 -3x + 2가 됩니다.
그래서 이거를 우리 역함수를 구해
보자. 그 역함수가 bx + c다란는
얘기죠. 자, 그러면 첫 번째 단계
x는 하고 정리할게요. 우리 fx는
y라고 두고
여기 네모친 식을 우리 x는 하고
정리할게요. 그러면 2를 왼쪽 넘긴
다음에 -3 나누면 x는
자, -3 나누면 -13
y 자, 2 넘기면 -2고 -3
넣으면 + 23가 돼요. 자, xy
자리 바꾸면 y는 -13 x +가
역함수가 됩니다.
자, 그럼 이제 비교하면 돼요. 어,
-13은 b랑 똑같고 2는 c랑
똑같네요. 그래서 a는 -3, b는 -13,
-13,
c는 2가 됩니다.
그럼 물어보는게 우리 a + 3b +
6c죠. 자, a는 -3이고 3b는
-1이고 6c는 + 4가 되겠죠.
다음 6번. 자, 6번 보면은 두
함수가 또 있대요. 함수또 두 개가
있네. 자, 그때 차례대로 g합성 f
역함수 합성 g수 a를 한게 5다라고
되어 있습니다. 자, 이런 것들
합성이 여러 개 있으면 안쪽부터 풀어
나가는 방법도 있고 바깥쪽부터 풀어
나가는 방법도 있어요. 근데 이건
이제 바깥쪽부터 풀어 나가는 건데
어떻게 하는지 얘기를 다시 해
볼게요. 자, 일단 이거 다 괄호로
바꾸자. 항상
합성 기호는 괄호로 g 괄호 열고 f
괄로 역함수 괄로 열고 g 역함수 a
가로 닫고 가로 닫고 한 번 더
닫으면 5가 되겠죠. 안쪽부터
풀렸더니 a가 너무 거슬리지. 그래서
밖에부터 자이 네모침 부분을 통째로
얘를 우리 b라고 해 볼게요. 문자가
많이 나올 것 같으니까 b라고 해
GB는
5가 되네요. 그러면 GB는 우리
계산할 수 있죠. 우리 -b + 3이
5가 돼서 3을 넘기면 2인데
자, 그 말은 여기 이렇게 집어넣으면
b가 -2a 하는 얘기입니다. 그
말은 빨간 네모친 f 역함수 가려
열고 g 역함수 a는 b인데 이게
자, 또 그다음 단계 볼게요. 자,
이번엔 이제 파란색으로 내머친 부분이
누군지 모르지만
얘를 c라고 해 볼게요.
자, 그러면 차근차근 괄호 안에 있는
걸 치환하면서 보는 거예요. 그러면
f 역함수 c는 -2고. 자,
역함수의 c마 -2야. 그러면
뒤집어서 f에다가 -2을 넣으면
이번엔 c가 나오겠네요.
왼쪽 오른쪽이 바뀌죠. 자, -2를
우리 왼쪽 위에 fx에다가 집어넣으면
자, -2는 1보다 작기 때문에
아래쪽에 집어넣어야겠죠?
그럼 -1을 집어넣으면 -4 +
1이라서 -3은
c가 되겠네요.
그러면이 -3도 그대로 집어넣어 주면
c자 자리에 넣으면 자 이렇게
됩니다. 그러면
g 역함수 a는 -3이 돼요. 다
나왔네. 자, 그러면 이것도 자리
바꿔 쓸 수 있죠. g - 3은
a가 돼서 자, gx에다가 여기 3
-3 집어넣으면
6은 a가 되겠죠. 6은
A라는 걸 찾을 수 있습니다.
차례대로 우리 제일 바깥쪽부터 없애
나가는 방법이 있습니다.
자, 뒤로 넘어갈게요. 우리 7번부터
쭉 유리 함수 무리 함수고 좀
넘어가다가 15번는
이제 15번이 마지막 함수 문제가
되네요. 교과서에서.
자, 똑같이 집합 x가 1 3
57이고 x에서 x로 가는 정의역과
공역이 둘 다 1 3 57이래요.
정의역 공역.
자, 그때 fx랑 f 역함수 x가
똑같대요. 여기 f랑 f 역함수가
똑같고 f1 - f5가 4라고
합시다. 자, 무슨 얘기냐? 자,
여기서 지금 f랑 f 역함수가 같다는
얘기는 이런 얘기랑 똑같아. 이것도
뭔 얘기지 하면은 자 FA랑
만약에 B가 있어. fa가 B로 간다
치자. 그러면 역함수도
A를 넣으면 b가 나와야 돼요.
이해됐나요? 자, 근데 여기서 FA가
B란 얘기는 곧 무슨 얘기냐면 자,
a가 된다는 얘기고.
자, 그리고 역함수에서 a 넣으면
b가 된다는 얘기는 뒤집었을 때 fb는
fb는
a란 얘기예요. 이게 무슨 얘기냐?
우리 이거 함수 그렸을 때 위에 잠깐
그림을 살짝 생각해 보면 자, 여기
x고 여기 x가 있을 때 a하고 b가
있죠? 여기도 a하고 b가 있죠?
a는 b로 가고 b는 a로 가야 돼.
서로 크로스해서 서로 뒤집혀야지 이제
근데 이게 첫 번째 경거 또 아닌
경우가 있어요. 또 어느 경우가
있냐면 애초에 C랑 C가 있을 때
자기 자신으로 가는 경우도 있어요.
그러면 거꾸로 가도 C는 C로 가죠.
그죠? 그래서 둘 중 하나의 형태가 됩니다.
됩니다.
서로 A, B가 꼬여서 도착하던가
아니면 자기 자신한테 가던가 이런
형태 말고는 존재하지 않습니다.
자, 그때 또 여기서 뭐가 나왔죠?
오른쪽에 보면 F1하고 F5는 뺐을
때 4가 된다라고 얘기를 했습니다.
자, 그러면 하나씩 우리 그림을 그려
보면 생각을 해 볼게요.
여기 x가 있고 여기도 x예요.
정의역과 공역이 같죠? 1 3 5
7이죠? 1 3 5 7이죠.
자, 그래서 이로 가는게 함수 f라고
하자. 오른쪽 가는 게.
자, f1에서 f을 때 4가 돼야
돼라는 얘기는 f1하고 f의 크기
차이가 4란는 얘긴데 자, 오른쪽에서
뺐을 때 4가 되는 경우는 두 개밖에
없어요. 5에서 1 빼거나 7에서 3
빼거나 그래서 자 f1 - f5가
4가 되려면 첫 번째 f1이
f1이
5가 되고 f5가
1인 경우가 있습니다. 보이나요?
보이나요?
f1이 5로 가고
f5는 1로 가면 f1 - f5
하면은 5 - 1이라 4가 되죠.
자, 그러면 이제 함수의 개수인데요.
함수의 개수는 뭐예요? 얘는
정해졌잖아요. 우리는 f3하고
그리고 f7에 대해서 고민을 해 봐야
돼요. 얘네가 어디로 가는지. 이건
이제 빨간색으로 볼게요. 자, 만약에
f3이 3으로 간다면 f7은 1 7로
갑니다. 이거밖에 안 되죠.
그게 1대 1 대응이기 때문에 골고로
3이 7로 가면 7은 3으로 가야
돼요. 그래서 3하고 7끼리 꼬이는
거야. 그래서 얘는 총 두 가지의
형태가 나와요. 그래서 F3이
F3이
두 개가 F3이 누가 되냐면 3이거나
그리고 그때 F7은 7 또는 F3이
7일 때 F7은 3인 경우 그래서 두
자, 두 번째 경우 볼게요. 두 번째
경우는 그래프 좀 지울게요. 지우고
다시 얘기를 해 봅시다. 자, 이번에는
이번에는
자, f1이
우리 f1 - 옆에 4라는 걸 계속
이용하는 거예요. 7이고 그리고 f
3이 아, 5가 3일 때 얘기를 해 볼게요.
볼게요.
그러면 f1은 7로 가고 f5는
3으로 가야 되는데 아까 그 얘기했죠.
얘기했죠.
얘네가 f랑 f 역함수 같으려면 서로
크로스로 만나야 돼요. 그러면 f1이
7이기 때문에 f7은 자연스럽게
무조건 1로 가야 됩니다. 1하고
7은 서로 교차해야 돼.
그리고 f5는 3이기 때문에 f3은
또 5로 가요. 3하고 5도 서로
교차해야 돼요. 이거밖에 존재하지
않습니다. 그래서 f3
그리고 f7은
서로 교차해서 f3은
우리 5로 가고 f7은 1로 가는
경우밖에 없어요. 그래서 한
가지예요. 얘는 다 더하면 세 가지
형태가 됩니다.
그때마다 가능한 경우를 볼게요. 그럼
1번은 1 * 2에서 두 가지가 된
거고 밑에는 1 * 1에서 한 가지가
된 거겠죠?
더하면 세 가지 됩니다.
자, 그래서 함수의 개수도 조건
맞으면 나머지가 어디로 가냐에 따라서
개수를 정할 수 있습니다. 그러면
여기까지 하겠습니다. 함수는 끝났고
이제 다음 다음 문제 풀리는 유리
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