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26차시 절대부등식

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This content explains the concept of absolute inequalities, which are inequalities that hold true for all real numbers, similar to how identities hold true for all values in an equation. It details various properties and proof techniques for absolute inequalities, emphasizing the importance of identifying the conditions under which equality holds.

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우리 집합과 명대 마지막 시간 실수

성들에 이용하고 절대 부등식을 증명할

수 있다 들어갈 건데 절대 부등식은

우리가 1학기 때 배웠던 개념이랑

비슷한게 있어요. 혹시 뭔지 아는

사람 아무거나 찍어 봐. 맞추기 힘든

거야. 이름이 전혀 다르거든.

절대 부등식이라는게 1학기 때 비슷한

>> 비슷한 개념.

자, 절대 부등식은 절대적으로

성립하는 부등식이야.

>> 항등식이라는 거 1학기 때 배웠지.

항등식이 뭐야?

>> 항상 성립하는 등식. x y 어떤 걸

집어넣어도이 넣는 무조건 성립해.

그게 항등식이야. 절대 부등식은

뭐냐면 xy 어떤 걸 집어넣어도이

부등호가 항상 성립해. 그럼 절대

부등식이에요. 그래서 항등식과 비슷한

개념을 부등식 버전이라고 생각하면

됩니다. 근데 항등식 좀 어려워.

항등식은 그냥 우리 두 개 수치

대입법, 개수비교법으로 한면 다

풀린다. 절대 부등식은 그렇게

풀린다는 개념이 어렵기 때문에 증명의

단계로 들어가야 돼요. 그 실제로 왜

이게 더 크니 크거나 같니에 대한

얘기를 하는 겁니다. 그래서 우리가

좀 필요한 것들은 빨리빨리 적고

예,게 많습니다. 자, 부등식 x제곱

- 1이 0보다 작다. 이거는 우리가

아는 흔한 2차 부등식이야. 2차

부등식은 우리가 해를 구했지. 이거

인수분해에서 합차 공에서 풀만하면

x가 -1보다 크고 1보다 작은데이

조건 내에서만이 부등식이 참이에요.

자, 그런데 x제 + 1이 0보다

크다. 얘는 x에 어떤 걸 집어넣어도

항상 0보다 커요. 무조건 성립해요.

그래서 아,이 위에 있는 부등식은

특정 실수 범위에서만 참이고 아래

거는 항상 참이에요. 근데 우리 아래

것처럼 언제나 성립하는 부등식을 절대

부등식이라고 얘기를 합니다.

무조건 성립하는 부등식. 종류는 되게

되게 많이 있어요. 그래서 그것들을

몇 개 보여 줄 건데 그중에 되게

중요한게 하나 지나가요.

자, 예를 들어서 우리가 아는

기본적인 부정식 성질들 이런 거 다

이용할 건데. 자, 1번 보면 a가

b보다 크면이 넘기면은 a - b는

당연히 0보다 크죠. 어, 이제이

양쪽 화살표를 여러분들이 아무 생각

없이 보지 말고 P이면 Q, Q

2이면 P. 그 말은이 오른쪽이

성립하면 왼쪽도 돼요. 그래서 양쪽

화살표를 보면서 어, 명제 표기네.

이런 걸 좀 알아야 됩니다. 자,

그다음에 2번 볼게요. 자, 어떤

수를 제곱하면 실수를 제곱하면 항상

0보다 크거나 같죠. 당연한 얘기야.

그다음에 그러면 그 0보다 크거나

같은 걸 두 개 더해도 0보다 크거나

같죠. 그리고 이것도 당연히 되는

얘기예요. 1 2 3 4 5는

외우는게 아니고 어, 그렇지 하고

넘어가면 돼. 그 3번 볼게요. 제곱

+ 제곱이 0이래요. 근데 아까

각각이 제곱은 0보다 크거나 같다 그랬잖아.

그랬잖아.

>> 그러면 더했을 때 0이란 얘기는 둘

다 0이란 얘기죠. 그러면 a도 0,

b도 0이란 얘기예요.네 번째

볼게요. 자 절댓값을 제곱하면 그냥

제곱이랑 똑같아요. 절댓값의 제곱은

그냥 제곱이랑 똑같습니다. 그래

절댓값끼리 곱하면 절댓값을 합쳐 줄

수 있어요. 머릿속에 숫자를 막

집어넣어 봐. 자, 마지막 거. 여기

보면은 절댓값 a는 그냥 a보다

무조건 커요. 만약에 a가 양수라면

똑같지. 음수라면 여긴 양수고 여긴

음수가 되니까 더 크죠. 그래서

절댓값 a는 그냥 a보다 항상 커요.

크거나 같아요. 다음 거 볼게요.

5번. 자, 둘러 양수일 때

기준이야. 그럼 0도 뭐 포함되도

되긴 하지만 a가 b보다 크다면

제곱하면 당연히 a제곱이 더 크겠죠?

그 얘기입니다. 그래서 1 2 3 4

5를 여기 쭉 나와 있는데 이거는

여러분들이 외울게 아니라서 그냥

보고서 이해하고 얘를 이제 갖다가

증명할 때 많이 씁니다. 자, 그

밑으로 넘어갈 건데 문제 몇 번이야?

5번이 있죠? 근데 문제 5번하고

지금이 개념 밑에 타입 공간 있죠?

타입 공간에 예제를 좀 쓸게요.

예제가 지금 쭉 빠져 있어. 예제가

세 개가 다 빠져 있거든. 예제 3번

하고이 사이 공간에다 쓰레줄씩

쓸 거야. 공간에 따라

자 교과서는 얘데 a제곱 + b제곱은

a보다 크거나 같으면 증명하시오라고

되어 있는데 자 증명하시오니까 결국에

이게 왼쪽에 확실히 더 커야 돼라는

얘기를 해야 돼. 근데 우리가 뭐

3이 2보다 커요. 4가 3보다

커요. 그렇게 한쪽이 한쪽보다 크다는

걸 보여주면 되게 어려워. 근데

수학적으로 쉬운 것 중에 하나는

한쪽이 0일 때 양수인지 음수인지

보여 주는 건 쉽습니다. 그래서

어떻게 할 거냐면 왼쪽 식에서 오른쪽

식을 뺄 거예요.

빼고 나서 이게 만약에 0보다 크거나

같다면 왼쪽게 더 크거나 같다야

그거를 이용할 겁니다.

자, 어려워. 어려운 데는 쭉쭉쭉

따라오고 오늘 이해만 할 수 있어도

성공이에요. 그중에 필요한 건

정확하게 얘기를 할게요. 자,이

우리가 0보다 크거나 같다 내용할

건데 아까 0보다 크거나 같은 건

어떤 걸 제곱하면 0보다 크거나 같다

그랬지? a제 b제곱 0보다 크거나

같은데 -ab가 더 틀려. 그래서

-ab로 가져가면서 완전 제곱식을

만들게요. a제곱 - ab 그다음에

더하기 절반의 제곱이 1/4 b제곱이

필요하지. 근데 b제곱이 있지.

그래서 b제곱을 쪼갤 거야. 1/4

b제곱 + 34 b제곱으로

쪼개입니다. b제곱을 이렇게 쪼개 줘요.

줘요.

그리고 나서 앞에 세 개만 딱 보면은

이거는 완전 제곱식이 됩니다. 그래서

a - 1 b의 전체 제곱이 되고

뒤에 건 34 b제곱이 돼서

제곱이잖아 0보다 크거나 같아요.

34에도 0보다 크거나 같아요. 두

개 더하면은 0보다 크거나 같아요가 됩니다.

차리자. 음. 결국에 왼쪽 식에서

오른쪽 식을 뺐더니 0보다 크거나

같아요. 그렇기 때문에 우리는 넘겼을

때 a제곱 + b제곱은 항상 a보다

크거나 같다. 항상 만족하는

부등식이에요. 그래서 절대

부등식이라고 얘기할 수 있습니다.

열심히 적어. 적을게 많아요.

여기 이게 쭉 적고 이게 총 세

페이지 있어. 페이지 작업면 끝이야.

여러분들한테 이거 증명하세요라고 오늘

안 시킬 거야. 오늘 열심히 따라

적으면 돼. 왜 안 시키냐면

증명하세요. 그러면 너희를 맘대로

증명해서 어 결국에 다시 적어야 돼.

자, 근데 우리 절대 부동식 계속 할

건데 절대 부등식에서 중요한게

있어요. 중요한게 뭐냐면 이건 알아야

돼. 절대 부등식이 자, a제곱 +

b제곱이 a보다 크거나 같죠. 근데

어디에 관심을 좀 주냐면 오케이.

크거나 같은데 언제 그러면 같아.

언제 이게 등호가 성립해라는 걸 항상

꼭 물어봅니다. 마지막에 써 줘야

돼. 근데 이게 언제 는이야? 그럼

언제 이게 0이야? 오른쪽이도 언제

0이야를 물어보는 거예요. 자,이

제일 끝체가 0이 되려면 각각이

0보다 크거나 같으니까이 오른쪽이

0이 돼야겠지. 그럼 b가 뭐가 돼야 돼?

돼?

>> 0이 돼야겠지. 자, b가 0인데

여기가 0이 되려면 a가 뭐가 돼야 돼?

돼?

>> 0이 돼야겠지. 그래서 마지막에 꼭

뭘 써 줘야 되냐? 단 등호는 언제

능이냐면 등호가 능이잖아. 등호는

a도 0, b도 0. a는 b는 0일

때 성립한다까지 써 주면 절대

부등식을 다 써 준 거예요. 단호는

a는 b는 0일 때 성립한다.

앞으로 뒤에 나오는 모든 절대

부등식은 이거 꼭 써 줄 거야. 다른

등해도 쭉 써 줄 거예요. 자, 문제

5번도 볼게요. 똑같은 아이디어를 쓸

거야. 똑같은 아이디어. 그러면

빼야겠지? 아까도 뺐잖아. 왼쪽

식에서 오른쪽을 빼 볼게.

그래서 아 이것도 없자이 놓칠뻔했네.

우리 한 변을 0으로 만들면은 증명할

때 편한 경우가 되게 많아요. 절대

부동식에 되게 자주 나오는 거야.

한쪽을 0으로 만들기 위해서 넘겨서

그다음에 0보다 크거나 같다

이용합니다. 그 문제 5번은 1번도

그대로 해 볼게요. 왼쪽 식에서

오른쪽 식을 빼 볼게.이 뺀게 0보다

크거나 같은 건 참 좋겠어. 정리

한번 하자. 자, 우리 이거 중앙도

나왔던 거야. 완전 제곱식이잖아.

a제 + 2ab + b²곱에서

4ab를 빼면 a² - 2ab +

b제곱이 되고 얘도 완전 제곱식이네.

그러면 a - b의 제곱이 돼서

0보다 크거나 같아요.

왼쪽 식에서 오른쪽 식을 뺐더니

0보다 크거나 같네. 그 말은 왼쪽

식인 a + b의 제곱이 더 크거나

같아요. 증명 끝이야. 이건 쉽네.

따라서 a + b의 제곱은 4ab보다

크거나 같아요라고 얘기할 수 있죠.

그다음에 등호 얘기를 해야 돼.

여기서 등호는 언제 성립할 거? 언제

능일까? 등호를 고민하려면 요로

넘어가는 거야. 그 0 있는 쪽으로.

언제 0이야?

언제 0이야?이

안에가 0일 때지.이 안에가 0이려면

a랑 b랑 같아야겠지. 단증호는 a는

b일 때 성립한다라고 될 거.

그다음에이 초록색 밑줄 친 거는 증호

체크할 때 여길 봐야 돼요라는

얘기야. 아까 위에는 a도 0, b도

0 무조건 다 0일 때만 성립하지만이

밑에는 같기만 하면 성립해요. 같기만

자, 문제 5번은 2번도 같이

볼게요. 위에랑 아이 비슷하게 할

거야. 비슷해. 보면은 아 얘도 완전

제곱식을 만들고 싶은데 a제곱 +

2ab네. 그럼 뒤에 뭐가 필요해?

b제곱이 필요하지. 근데 2b제곱이

있지. 가를 거야. b제곱

b제곱으로. 그래서 아이 위에 식은

a제 + 2ab + 2b제곱은 얘를

갈라서 a² + 2ab + b² +

b제곱으로 갈라줬어요. 똑같은

논리야. 그건 아까처럼 앞에 세 개

갖고 와서 완전 제곱식을 만들어

줍니다. 그럼 a + b제곱 +

b제곱이 되고 똑같이 제곱 +

제곱이기 때문에 0보다 크거나

같아요라고 얘기할 수 있어요.

똑같은 논리를 위에 있는 걸 갖다

쓰는 거예요.

열심히 적자. 오늘은 적는 시간이야.

자, 등무 얘기를 해 볼까? 자,

이게 언제 0일까?

먼저 b가 몇일 때? 0

>> 0이 돼야겠지? 그러면 a는 따라서

>> 0이 돼야겠지. 단호는 따라서 이거

써 주고 단호는 a는 b는 0인데 항급한다.

더 접고 밑으로 이제 넘어갈 거예요.

오늘 거를 여러분들이 증명을 외워야

돼요. 외울 필요 없어요. 외우지

마세요. 근데 이제 등모 찾는 건 할

줄 알아야 돼. 계속 할 줄 알아야

되는 거 강조하고 있지. 그리고

여러분 나중에 이제 문제가 나오더라도

너희 모의고사 같은 거 보면은 증명

관련 문제가 하나 콩 나오는 거

알아? 어떤 형태로 나올까? 네모

박스가 있고 증명이 막 있는데 빈칸을

뚫어줘서 나오는 경우가 꽤 있어요.

빈칸이 그 여러분들이 그 증명을

읽으면서 아 만약에 여기가 빠져

있으면 여기는 내가 채울 수

있어야지. 근데 왼쪽 보면 채울 수

있잖아. 빼면 이거겠지. 채우는 연습

정도는 할 수 있어야 돼요. 그러면

기본적으로 이거 할 때 오늘 할 때는

아 이러면 이렇게 되고 이러면 이렇게

되지 하고 이해만 해도 성공이야. 어

스스로 증명은 좀 어렵습니다. 자

밑에 넘어갈게요. 자 예 4번을 또

추가로 쓸게요. 우리 사입 공간에

예제 4번은 a가 0보다 크고 b가

0보다 클 때 저 빨간 밑줄 친

이유는 저거 빼놓지 말라는 얘기야.

그때 2의 a + b는 루트 a보다

크거나 같아요를 증명하시오라고 되어

있는데 오늘 하는 거 이제 증명 세

페이지 중에 제일 중요한 페이지예요.

제일 중요한 거. 오늘 하는 거의 핵심.

핵심.

제일 중요하다는 얘기는 잊어버리면 안

돼. 여기는 외울 것도 있어요.

다 증명을 해 볼게요.

자, a가 양수고 b가 양수기 때문에

루트가 나왔잖아. 양수일 때 루트의

성질 중에 몇 개는 좀 쓰고 넘어가야

돼. 우리 a가 0보다 크면은 이런게

돼요. 루트는 루트 a * 루트

b라고 쓸 수 있어. 어, 이거 항상

되는 거 아니에요? 아니지. 만약에

a가 음수라면이 앞에 마이너스가

나온다고 1학기 때 배운 적이 있어.

근데 우리는 실수에서 얘기하기 때문에

a가 양수 조건에서 이걸 씁니다.

그리고 하나 더 있어. a가 있으면이

a는 루트 a * 루트 a지. b도

루트 b * 루트 b지. 여기까지도

한번 이제 쓸게. 그리고 다이도

고쳤을 거야. 갖다 쓸 거예요.

얘를 그냥 완전적으로 만드는 거야.

똑같은 과정이야.

자, 그러면 왼쪽식이 오른쪽 식보다

크거나 같다를 증명하기 위해서 아까

뺐죠. 똑같이 뺄게요.

+ b 왼쪽 식에서 루트 a를

뺍니다. 얘가 0보다 크거나 같으면

증명 끝인데.

자, 우리 일단 분수니까 통분을

할게요. 통분하면 2분의

a + b - 2루트ab인데

근데 a가 위에서 루트 a의 제곱이고

b가 루트 b의 제곱이고 그 2루트

a는 2루트 a * 루트 b지.

쭉 쓰면 돼요. 위에다가 쭉 통분해서

자, 이렇게 하고 나면은 루트 a

루트 b를 각각 문자로 보면 a제 -

2ab + b제곱 완전 제곱식이

돼요. 얘는 완전 분자가 이제 완전

제곱식이 되는 거야. 그래서 2분의

루트 a - 루트 b의 전체

제곱이다로 정리가 됩니다. 제곱이

됐네. 2를 나눠도 어쨌든 0보다

크거나 같 됩니다.

그래서 우리가 원래 있던 거를 제곱을

한 건 아니고 원래 a가 있는 걸

루트 a의 제곱으로 표현하면서 완전

제곱식을 만들어 냈습니다. 자, 항상

0보다 크거나 같죠? 그래서 따라서

왼쪽게 더 크거나 같아요가 최종

정리한게 돼요.

여기서 한 발 더 나가서 등호

얘기해야 되지? 등호 언제 성립할까?

등호는 0을 쳐다보세요. 그랬지. 등호는

등호는 언제

언제

>> 누가 같

>> 정확히는 루트 a 루트 b가 같을

때지. 루트 a 루트 b으려면 a랑

b랑 같을 때 단호는 a는 b일 때

그냥 얘도 똑같이 완전 제곱식

만들어서 0보다 크거나 같을 이용하는

거예요. 자, 그런데 선생님 이거

되게 중요하다 그랬지. 얘는 중요하다

그러는 건 나중에도 활용이 된다는

얘기야. 이런 걸 볼게요. 우리 두

개 숫자가 있으면 더해서 나누기

2하면 우리 옛날에 이걸 뭐라

불렀어? 두 숫자 평균이라 불렀지.

맞지? 평균은 평균이야. 근데

더하기해서 나름 기양을 우리

산술적으로 평균이라 그래서 산술

평균이라고 풀려. 자, 근데 두 개를

두 숫자를 곱해서 루트를 하면

이학적으로 평균이 됩니다. 그 이거는

기하 평균이라고 불러요. 그래서

우리는 왼쪽을 산술 평균, 오른쪽을

기하 평균이라고 이름으로 붙일 거예요.

거예요.

근데 항상 산수 평균은 기평균보다

크거나 같아요. 성립합니다. 항상.

항상.

그래서 이거를 좀 밑에 적을게요.

여기는 한 줄 딱 적을게. 여러분,

이거 되게 중요한 거야. 얘를 우리

한꺼번에서 탄수기와 평균이라고 이름을

붙이고 a b가 둘 다 0보다 클 때

여기다 2를 곱해서 또 표현합니다.

분수가 기분 나빠서 2 양변 곱하면

a + b는 2루트ab보다 항상

크거나 같아요. 분수까지 없애 줘서

이걸 적은 다음에 얘는 별표 세 개를 할게요.

2학년, 3학년 때도 언제든지 이용될

수 있는게 언제든지 나오는게 한술기아

평균입니다. 갑자기 튀어나와. 그러면

선생님이 1학 때 이런 얘기를 한

적이 있어. 너희도 고등학교 때

최댓값 최소값 구하는 문제들이 막

나올 거야. 고등학교에서 세 개가

있다. 그래. 세 개. 우리 이미

하나 배웠어. 뭐 배웠니? 2차 함수

최댓식 기억나? 2차 함수 모양이면

완전적으로씩 만들어서 꼭 찾았잖아.

그거를 여러분들이 기억을 하고 있어야

되고 이제 두 번째가 나온 거예 한술

기아 여기서도 최소 얘기를 많이 해요.

해요.

>> 어 그리고 마지막 세 번째는 내년에

배를 미분해서 얘기가 나옵니다. 그

머릿속에서 최댓값 최소값이 나오면

왜냐면 처음에 2차 함수만 배우고

최대 최소 나오면은 다 해. 왜냐면

2차 함수밖에 배운게 없거든. 이것만

쓰면 돼. 나중에 최대 물어봤을 때

내가 알고 있는게 여러 개 있는데 그

중에서 뭘 써야 돼? 이전에 배웠던

것 중에 뭘 꺼냈어야 되는데 그럼

머릿속에서 몇 개는 의식적으로 알고

있어야 돼요. 최댓값 최소값은 2차

함수 한수기와 내려내면은 미분이다.

그 나머지 기타 등등은 그냥 그래프의

특정 뭐 특징 가지고 좀 이용하는

것들 있지만 그런 거는 이제 그래프가

워낙 특수한 경우라서 헷갈릴리 크게

많지 않을 거예요. 자 그러면 여기

왼쪽 먼저 하고 자 밑에를 반

가을게요. 밑에 반 가아서 왼쪽

오른쪽에 얘기를 할게요. 왼쪽은

자산기를 한번 똑같이 써 볼게. 자,

원래 그러면 이거 증명하려 그러면

이게 루트 루트 루트 해야 돼.

원래는. 근데 우리는이 빨간색을

안다는 가정하에서 할 거예요. 자,

한기하는 둘 다 0보다 클 때 그 두

개의 합은

2 루트 두 개의 곱보다 크거나

같아요. 옵니다. 자, 두 개의 합은

둘 다 0보다 일단 크면은 근데

0보다 크죠. 왜? a도 0보다 크고

b도 0보다 크기 때문에이 두 개의

합은 여기 a b 자리에

a a b가 들어가서 2 루트 두

개의 곱보다 크거나 같아요를

만족합니다. a 자리에 a b 자리에

a b가 들어간 거예요. 근데 우리

두 개 곱한 거는 약분돼서 2가

되거든요. 2루트 1이라서 아 약분

1이 돼서 2루트 1이라서 2가

돼요. 그래서 b + a는 항상

2보다 크거나 같아요라고 얘기할 수

이게 항상 성립해요.

근데 이걸 모르고 있으면 위의

방법대로 다 루트로 바꿔서 계산을

해야 돼 아는 사람은 요대로 하면 됩니다.

자 그래서 증후 얘기를 또 할게요.

자 증호는 우리 산수기가 평균에서

a는 b일 때 성립한다 그랬죠.

여기서 자 근데 우리가이 a하고 b

가지고 산술기를 때렸으면은 a b가

같아야 돼. 근데 지금은 b랑 a

b로 산수기하듯이이 동그라미 친 두

개가 같아야 되. 그래서

같을 때 성립해요. 그런데 이거 좀

정리하면 a제곱은 b제곱이야. a b

곱하면 제곱해서 같으면 a는 b거나

- b거든요. 둘 다 양수라서 a는

자, 근데 아까 절반 가르라 그랬지.

왜 절반 가르냐면 산수일은 요대로

끝내 버리면 이게 왜 중요한지

모르겠어요 하고 끝나 버려. 그래서

실제 문제에서 어떤 식으로 활용이

되는지를 한번 갖고 와 볼게요. 원래

교과서 막 찾아봤는데 우리 교과서는

없더라고. 이게 없으면 안 되는데

그래서 안 하려다가 내년에 갑자기

튀어나와 버리면 여러분들이 당황한단

말이야. 뭐 이거 써 본 적은 없는데

그래 한 번쯤 쓰는 예를 한번 갖고

와 볼게요. 자 예를 들어서 x가

0보다 클 때 어 반 갈랐지 0보다

클 때 x +의 최소값을 구해

주세요. 그리고 그 최소값일 때 x는

몇인지 구해 주세요라는 문제가 나올

수 있습니다.

물론 3학년 되면은 3학년 때 이제

배운 사람들은 이거 미분으로 풀 수

있어. 근데 2학년까지만 배운 사람은

미분으로 목어. 3만 원 때 이제

미적분 제대로 공부 안 하면 그

사람들은 산술기하로 풀어야 돼.

볼게요. 자, 두 개의 합이고 어

최솟값을 물어봤어. 아, 내가 하는

건 함수 현술기야. 미분인데 내년에

딱 갔더니 미분을 다 배웠는데 얘

미분할 줄 몰라. 어 그럼 미분은

아니고 2차 함수도 아니야. 그럼

남은게 뭐지? 탄수기어야라고 생각해야

돼. 또 탄수기라는 걸 의심하는 것

중에 하나가 탄수기는 양수 조건이

들어갑니다. 양수 조건이 나왔지. 자

x는 양수죠. 3x 3은 양수니

양수지. 양수분의 양수잖아. 그래서

x도 0보다 크고 3x도 0보다

크니까이 두 개로 산수기화를 할 수

있어요. 얘네가 각각 a b인 거야.

그러면 여기다 집어 넣으면 돼. x

넣으면 x + 3은 2루트 두 개의

곱보다 크거나 같아요.

자, 그러면 약분 x가 되면 얘는

2루트 3이 되지.

자, 그 말은 x + 3x은 항상

2루트 3보다 크거나 같아요. 그리고

반대로 얘기하면 3은 제일 작아왔죠.

제일 작은게 1루트 3이에요. 이게

최소값이에요. 얘기입니다.

그리고 x도 구해야 되지. 그러면

언제 2루트 3이야? 반 등호는 x랑이

x랑이

같을 때 성립한다라고 얘기를 했지.

그때 양변에 x를 곱하면 x제곱은

3이라서 x는 풀마 루트 3인데

그중에 양수니까 루트 3이 돼요라는

얘기입니다. 그러면이 더한 거의

최솟값은 2루트 3이고 그때의 x값은

루트 3이 돼요. 이런 식으로 x값을

어렵지? 다행히 여러분 교과서는이

예제가 없어지

문제 없네. 근데 그래도 여러분들이

이렇게 나오는 사병을 알고 있습니다.

이렇게 활용이 되는 거야. 그래서

얘를 꼭 알고 있어야 돼요. 중요해요.

중요해요.

뭐 이번 시험에 나와요, 안 나와요?

그게 중요한게 아니야. 이걸 알아야

내년에 나오면 나온다면 쓸 수

있습니다. 자, 그 밑으로

넘어갈게요. 자, 제일 중요한게 사실

2 페이지야. 여기야. 이제 그 밑에

페이지도 이제 쭉 적을 건데 밑에는

그냥 열심히 적고 그냥 이해가 되면

좋고 안 되면 어쩔 수 없지. 그래도

좀 적을게 있으니까 그 사이에 예제

5번도 적겠습니다. 마지막 페이지야

좀만 힘내자.

어, 증명은 원래 어려워. 어, 여기

중에 갑자기 어, 수학의 뜻이 생겨서

대학교에서 수학가를 간다. 그 수학

교육가를 간다. 그러면 4년 내내

졸업하는 순간까지 증명만해. 어,이

너희들 지나가면서 본 수학 선생님들은

다 증명화 하다가 이제 선생님이 된

사람들이고. 응.

뭐 증명하고 다른 것도 많이 하지.

자, 볼게요. 자, 다음은

증명하시오라고 되어 있는데 자, 우리

아까 여러 가지 막 확실한 성질

중에서 이런게 있었어.

하나가 양수. 다른 하나도 양수면 둘

다 0보다 크면 어, a가 b보다

크다면 제곱한 것도 더 커요라고

얘기를 했지. 어, 물론 이제 둘 다

양수뿐만 0보다 크거나 같으면도

상관이 없어요. 자, 절댓값 a +

절댓값 b는 0보다 크거나 같죠.

그리고 절댓값 a + b도 0보다

크거나 같죠. 그러면 제곱해서 해결할

거야. 왜 굳이 제곱을 해야 돼요?

절댓값을 없애는 방법 중에 제일

효율적인게 제곱이에요. 그래서

왼쪽에서 오른쪽 식을 바로 안 빼고

왼쪽을 제곱한 거에서 오른쪽을 제곱한

거를 빼 볼게.

왼쪽 식을 제곱한 거에서 오른쪽 식을

제곱한 거 뺄게. 둘 다 양수라

가능한 얘기야.

자, 왼쪽을 제곱하면은 아, 이거

절댓값 a의 절댓값 b를 각각

문자라고 생각하면 돼. 여기 xy라고

생각하면 돼. 그럼 완전 제곱식이죠.

x제 + y² + 2xy인데 왼쪽 걸

제곱하면 절댓값 a제곱이라 그냥

a제곱이야. 오른쪽 제곱하면 절댓값

b제곱이랑 그냥 b제곱이야. 그리고

2 곱하기 두 개의 곱이죠. 절댓값의

곱은 한꺼번에 합차 쓸 수 있어요라고

얘기를 했지.

자, 오른쪽 절댓값 전체의 제곱은요.

절댓값 전체 제곱은 그냥 제곱이랑

똑같아요. 완전 제곱식이야. a +

b의 제곱이랑 똑같아요. 그러면

a제곱 + 2ab + b제곱인데

뺀다면 마이너스가 각각 들어가겠죠?

이제 이거 정리만 하면 돼. a제곱

사라지고 b제곱 사라져서 2 절댓값

ab - 2ab 여기서 2를 묶어내면

2 가로 열고 절댓값 ab에서 ab를

네. 아까 또 그런 얘기도 했지.

어떤 수의 절댓값은 그 어떤 수보다

항상 크거나 같아요. 그러면

절댓값에서 어떤 수를 빼주면 얘네가

똑같지. 얘는 항상 0보다 크거나 같아요.

같아요.

>> 항상 0보다 크거나 같아요.

절댓값에서 절댓값 아닌 걸 빼면

무조건 0보다 크거나 같다. 그래서

아, 제곱한 거를 비교해 봤더니

왼쪽게 더 크네요. 어, 제곱한게

왼쪽게 더 커. 그러면 원래게 더

커요라고 얘기하는 거야.

제곱한게 0 왼쪽에서 큰으로 절댓값

a의 절댓값 b는 절댓값 a + b다

좀만 참아. 다 왔어, 얘들아. 음.

자, 등호 얘기를 해 볼까? 간증호는

한번 따져 볼까요?서 0을 찾아보면은

여기에 있네. 등호는 언제 성립할까?

등호는 반. 등호는 언제?

언제?

이게 0이 이게 언제 0이야? 뭐일 때

때

절댓값 a가

>> ab랑 같을 때지. 언제 같아?

절댓값 a랑 ab는 언제 같아?

>> 절댓값이 언제 그냥 사라져? 그

아니게 0보다 크거나 같을 때 성립한다까지

성립한다까지

등호 찾을 수 있어야 돼. 그 등호는

언제 성립하는지 계속 강조하지.

여러분들이 제일 많이 놓치는 부분이라

그래요. 제일 많이 놓치는 부분.

이 안에가 0이잖 절댓값이 그냥 A랑

같아야 돼. 이거는이 안에가 0보다

크거나 같을 때네요. 자, 이걸

바탕으로 이제 문제 7번도 할게요.

근데 7번만 적으면 끝나. 자, 7번

하려고 봤는데 아, 오케이. 위에서

이렇게 풀었으면 밑에서 이렇게

풀겠지. 제곱해서 빼고 싶어.

제곱해서 빼려고 했더니 약간의 문제가

생겼어. 혹시 문제가 보이는 사람.

제곱해서 그냥 바로 빼려고 했더니

문제가 생겼어.이

이 위에 거에서는 상관없었는데 밑에

거에는 상관 있는 순간이 생겨.

빼기 하면은 어떤 수가 나올 수

있어? 음수.

>> 음수가 나올 수 있지. 아까 위에서는

다 양수잖아. 양수는 왼쪽에서 크다면

제곱해도 왼쪽게 커. 근데 음수는

이게 제곱했을 때 바뀔 수도 있어요.

뒤집힐 수도 있어. 그래서 이런

생각을 해 볼게. 아 그러면이

오른쪽이 왼쪽은 절댓값이라 무조건이

0보다 크거나 같아. 생각할 필요

없어. 오른쪽이 양수일 수도 있고

음수일 수도 있지. 경우를 나눌

거예요. 첫 번째 절댓값 a -

절댓값 b가 0보다 크거나 같을 때

그때는 위의 방식 그대로 이용할

거예요. 상관없어. 이제 0보다

크거나 같다면 그러면 제곱에서 제곱을

빼 보겠습니다. 같은 방식으로 왼쪽

제곱에서 오른쪽 제곱을 빼 볼게요. 현재야

현재야

자, 제곱해 볼게. 자, 절댓값 전체

제곱은 그냥 제곱이야. 완전

제곱식이야. a제곱 - 2ab +

b². 딱 오른쪽은요. 오른쪽은 왼쪽

제곱하면 a제곱, 오른쪽 제곱하면

b제곱 - 2 * 두 개의 곱은

자, 똑같아. 위에처럼 다

사라집니다. 사라져서 a제곱이

사라지고 - 하나씩 넣어 주면 b제곱

사라지고 여기는이

절댓값 ab에서 2ab를 뺀게 돼요.

그러면 2를 묶어 주면 위에랑

똑같은식이 나와. 그래서 2 바로

열고 절댓값 ab - ab 이것도

똑같이 0보다 크거나 같겠죠? 음.

자, 그러면 같은 거 반복하는 거야.

아, 제곱에서 뺀게 0보다 크거나

같네. 그러면 제곱이

왼쪽에 더 크네. 크거나 같네.

그러면 원래 식도 왼쪽이 더 크거나

같네. 하고 간호는 아까랑 똑같이

절댓값 a는 즉 ab가 0보다 크거나

같은 성립한다. 하지하면은 왼쪽

증명은 위에랑 똑같은 과정으로 끝난

거예요. 쭉 적자.

한초 정도 적고 이제 오른쪽에 조금만

더 적고 끝낼게요. 위에 오른쪽에 한

그냥 적는 것도 이렇게 어려운데

물론 본인이 이제 증명을 좀 더

잘하고 싶어. 그런 사람들은 빈종이

한번 증명을 연습을 해 보세요. 근데

되게 수학적으로 여러분들이 상당하게

도움이 많이 돼. 증명을 스스로

연습해 본다는 거는 논리들이 안

맞으면은 증명이라는 거 할 수가

없거든요. 자, 볼게요. 자, 절댓값

a - 절댓값 b 오른쪽이 우변이

0보다 크거나 같을 때 이렇게 하면

돼. 0보다 작을 때는요. 작을 때로

처리해야겠지. 0보다 작을 때는 너무

당연한 얘기야. 생각해 봐. 왼쪽은

항상 0보다 크거나 같지. 근데

오른쪽이 0보다 작을 때면 그건

당연히 왼쪽이 큰 거 아니야?라고

얘기할 수 있지. 그걸 쓰면 돼.

그래서 절댓값 a - b는 0보다

크거나 같고 그 0보다 절댓값 a -

절댓값 b가 작음으로 최종적으로

절댓값 a - b는이 우변에 있는

절댓값 a 절댓값 마 아 절댓값 a

- 절댓값 b보다 크다를 만족한다라고

쓸 수 있습니다.이

명백하죠 이거는 그냥 이거 써 주면

이게 증명이에요.

한 등호는 등호가 없는데요. 등호가

없는데요. 등호가 있으면 안 되지.

등호가 있을 수가 없어. 음수고 얘는

0보다 크가 나왔는데 근데 같을 수

없지. 등호는 왼쪽에서만 가능한

경우라서 왼쪽에서 체크했으면 끝났어.

오른쪽은 더 쓸게 없습니다. 그래서이

우변이 0보다 크거나 같을 때 0보다

작을 때 두 가지를 나누어서 여러분들이

여러분들이

증명을 해 봐야 돼. 어렵죠? 어 다

적은 거 다 적었어. 마지막 복습만

하면 돼. 얘들아 증명은 외우라

그랬어. 외우지 마세요. 대신 빈칸이

뚫어져 있을 수도 있어. 그래서

여러분들이 기본적인 이해는 하고

있어야 돼요. 뚫렸을 때 내가 여기를

어떻게 채울지에 대한 고민을 좀 해야

되죠. 등호는 찾을 수 있어야 돼.

아까 말했듯이.

자, 그러면 방금 했던 거는 복습할

건데 얘들 3 4 5 복습하지 않고

이게 기본 부등식 성질이야. 또는

이제 등식의 성질이야.이 정도

여러분들이 알고 있어야 돼요. 그리고

꼭 외워야 되는 거. 아까 얘기했지.

환술기와 평균은 의식적으로 외워야

돼. 오늘 다 까먹잖아. 다 까먹어도

아까 말한 산술 기하 평균 항상 산술

평균은 기약 평균보다 크거나 같다.

A는 B를 성립한다. 얘는 기억을

해야 돼요. 2학년 3학년까지 3년

동안 갖다 쓰는 음식입니다. 오케이.

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