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명제 문제풀이 | 이대준 | YouTubeToText
YouTube Transcript: 명제 문제풀이
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This content is a comprehensive review of fundamental concepts in mathematical logic, focusing on propositions, truth sets, logical operations (negation, converse, contrapositive), conditional statements (sufficient, necessary, and necessary and sufficient conditions), and proof techniques like proof by contrapositive and proof by contradiction.
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자, 수업 시작합니다. 우리 명제부터
풀어 보도록 할게요. 다음 주 명제인
것을 모두 찾으시오. 우리 참 거짓이
명확한 문제이나 식을 명제라고 하죠.
자, 1번에 서울에 많은 사람이
많타의 기준은 명확하지 않기 때문에
명제가 아닙니다. 여기는 X. 자,
2번. 루트 5는 유리수가 아니다.
루트 5는 명확하게 무리수죠. 그래서
명제가 맞습니다. 그래서 2번은 명제.
명제.
3번 평행사변형은 마른모이다. 평행사
변형 중에는 이렇게 마른모가 아닌
것도 존재하죠. 누가 봐도 거짓이죠.
거짓인 것도 우리는 참거진 얘기할 수
있으니까 명제가 됩니다. 자, 4번.
x가 -1이면 x제곱은 1이다.
x에다 -1을 집어넣으면 제곱하면
1이죠. 근데도 명제예요. 그중에서부터
그중에서부터
참인 명제, 거짓인 명제, 그리고
참인 명제가 되겠죠.
자, 전체 집합 U 6가 1 2 3
4 5고 조건 P랑 Q가 있대요.
우리 조건이 나오면 진리 집합을
구하라고 했어요. 그래서 우리 P를
조금만 계산해 볼까요? 우리 인수
분해하면 x자하면 x - 2, x -
3이 0보다 작거나 같아서 x가
2보다 크거나 같고 3보다 작거나
같다가 됩니다. 그럼 이걸 만족하는
x는 2 또는 3이 될 거예요.
자, 그리고 q는 x는 4의 약수라고
되어 있으니까 이걸 만족하는 건 1
2 4죠. 자, 그러면 우리 2 3을
집합으로 하면 이건 진리 집합 P가
됩니다. 대문자.
그리고 1, 2, 4를 집합으로 하면
우리는 얘는 진리집합 Q가 될
거예요. 자, PQ가 주어져 있고.
자, 문제를 볼까요? 문제 소괄로
1번 보면 자, 조건 P에 대한 진리
집합은 우리는 대문자 P고
자, 이번에서 조건 Q에 대한
진리집합은 대분자 Q고 우리 방금 1
2 4라 그랬죠. 자, 3번 P에
대한 진리집합은 P의 여집합이에요.
자, 근데 U가 1 2 3 4 5라
그랬으니까 2 3 뺀 나머지 1 4
5가 됩니다. 자, 4번 not Q에
대한 진리집합은 Q의 여집합이고 바로
위에 1, 2, 4를 제외한 3하고
5가 되겠죠.
진리 집합이 정확히 누군지 파악하고
있어야 됩니다. 3번으로 넘어갈게요.
자, 3번. 다음 명제 역과 대우를
말하세요. 그러면 P이면 Q다에서
역은 자, 명제가 이제 P이면
Q이다가 있으면 역은
Q이면 P이다이고 대우는 그 역에서
각각 부정한 not Q이면 not
P다가 되죠. 그냥 쓰면 됩니다.
그래서 1번 보면 자, 역은 순서
바꿔 쓰세요. 그러면 x제곱이 아,
x가 1보다 크거나 같으면 2면
x제곱은 1보다 크거나 같다. 2다.
자, 대우는
방금 위에 했던 거를 다 부정
부정하면 되겠죠? x가 1보다 크거나
같다의 부정은 x가 1보다 작으면이면
x제곱도 1보다 작다이다.
자, 밑에 역은 순서 바꿔 쓰면은
자, x제곱이 유리수이면
그러면 x가 유리수이다.이고
이고 자 대우는
x제곱이 방금 위에 있던 거
부정부정하면 돼요. 유리수가 아니면
아니다가
됩니다. 이제 좀 있으면이 참 거짓에
대한 얘기를 하겠죠. 자, 4번으로 넘어갈게요.
넘어갈게요.
자, 조건 PQ에 대해서 P는
Q계에서 무슨 조건인지 말으세요라고
되어 있는데 자, 우리 쪽지 시험도
봤죠? p는 Q에기한 무슨 조건일까에
대한 얘긴데 이걸 기억하라 그랬어.
p면 Q다가 참이면
그러면 P는 Q이기 위한 충분
조건이라 그랬습니다. 참이면은 충분 조건.
그럼 한번 볼까요?
자, 반대로 Q면 P다가 참이라면
그때는 필요 조건이라 그랬죠.
둘 다 참이라면 필요 충분이라
그랬습니다. 자, 1번 보면 자,
p가 x는 3의 배수라 그랬어요.
그러면 우리는 아, 진리집합 p가
밑에다 쓸게요. 지리집합 p는 자,
3의 배수는 3, 6, 9 양수
범위에서만 볼게요. 이렇게 되고
점점점. 자, 그다음에 q는 진리집합 Q는
Q는
6의 배수니까 6, 12, 18
이렇게 가죠.
자, 그러면 이런 생각이 들 거야.
어, PQ가 나왔는데 P이면 Q에다가
언제 참이에요? 우리 기억을 되살려서
P이면 Q에다가 참이면은
참이 되려면 P가 Q의 부분
집합이어야 돼라고 얘기를 했습니다.
그럼 지금 1번에서 3의 배수와 우리
6의 배수가 있을 때 어떻게 되는지
볼게요. 자, Q가 P의 부분 집합이
되죠. Q에 있는 6, 12, 18은
다 P 안에 들어가고 반대로 들어가지
않으니까. 그러면 여기선 알 수
있는게 q가 p의 부분 집합이면
그러면 q이면 p에다가 참이고
그렇게 되면 p는 q이기 위한 필요
정확하게 구분할 수 있어야 됩니다.
자, 2번도 볼게요. 자, 2번도.
자, p가 x는 1이고 y는
1이에요. 그러면 p가 누구냐면 우리
1, x도 1, y도 1. 그래서
우리 1을
원소로 가지는 집합이라고 얘기할 수
있습니다. 1을 원소로 가지는 집합.
자, q는 우리 원소가 되게 많은데
xy 곱해서 1이면 자,이 안에 1도
있고 xy면
2 1도 있고 또는 5 1도 있고
무수히 많이 존재할 거예요.
자, 그 말은 우리 지금 p는 Q의
부분 집합은 되죠. 그래서 p가 q의
부분 집합이기 때문에 우리는 p면
그러면 p면 q에다가 참이면 충분
다음 왼쪽 보겠습니다. 자, 3번
보면은 자, p가 절댓값 x가 2보다
크다. 그럼 우리는 이거
부등식을 풀면 x바 우리 x는
절댓값이 2보다 클려면 x는 2보다
크다 또는
x는 -2보다 작다가 돼요.
근데 보니까이 q랑 똑같이 생겼죠.
그래서 아 얘는
p랑 q랑 똑같네.
그러면 p랑 q랑 똑같으면은 p이면
q이다도 참이고
q이면 p이다도 서로 참이 됩니다.
그럼 우리는 필요 충분 조건이라
음. 진리 집합의 포함 관계를 통해서 우리가
우리가
충분 조건, 필요 조건, 필요 충분
조건을 알아낼 수 있어야 합니다.
됐으면 5번으로 넘어가겠습니다.
다음 명제의 부정을 말하고 그것의 참
거짓을 판별하시오라 그랬습니다. 자,
명제의 부정이 있으면 자, 우리 명제가
명제가 참이면
참이면 부정은
부정은
거짓이에요. 그리고 명제가 거짓이면
그 부정은 참이 됩니다. 명제와
부정은 참 거짓이 서로 뒤바뀌게
됩니다. 자, 이걸 생각하면서 밑에
볼게요. 자, 1번. 모든 실수 x에
대해서 절댓값 x는 2보다 크거나
같다는 순서대로 써 볼 거예요.
1번의 부정은
실수
절댓값 x는 2보다 작다이다.
오른쪽을 반대로 써야겠죠.
자, 이런 경우에 우리가 아,
오른쪽에 진리 집합을 보라 그랬어요.
진리 집합. 여기서 진리 집합이 우리
P라 그럴 때이지 P가 공집합이
P가 공집합이라면 어떤 실수 X에
대해서 성립해야 되는데 아무것도
없죠. 그러면 거짓이 된다 그랬어요.
자, 그런데 우리 여기서 보면은
절댓값 x가 2보다 작다는 이걸
만족하는 x가 존재를 하죠. 그
x들이 p의 원소이기 때문에 공집합이 아니죠.
아니죠.
그렇기 때문에 참이 됩니다.
자, 어떤이 들어간 명제에서는
진리집합이 공집합이 아니어야지 참이 됩니다.
됩니다.
자, 2번 볼게요. 자, 2번을 일단
부정을 해 볼게요.
자, 부정을 하면
자, 모든 실수
실수
x 2x² - 5x - 3은 0이
아니다. 이다가 됩니다.
자, 그럼 얘도 똑같아요. 이것도
오른쪽에 있는 진리 집합이 존재할 건데이
건데이
든이 들어간 명제에서는이 진리 집합이
전체인지 아닌지가 궁금해요. p가
만약에 전리집합이 전체 집합이 되면은
그러면 참이고
P가 전체 집합이 아니라면 거짓이 됩니다.
됩니다.
자, 그런데 우리 오른쪽에 있는이 밑줄친
밑줄친
2x제 - 5x - 3이 0이
아니다. 의 진리집합은 누구냐? 이게
0이 되려면 우리 인수분해 볼까요?
1 2 - 3 1이라서 x자 했을 때
그러면 x - 3 2x + 1이
0이고 0이 아니다. 이거 정확히
그러면 x는 3이 아니고 -12이
아니에요. 이거 뺀 나머지가 다 진리
집합이야. 근데 3하고 -12에
빠지면 전체 집합이 될 수는 없죠.
그렇기 때문에 거짓이 됩니다.
그래서 아 우리가 언제 참인지 봐야 돼요.
돼요.
어떤이 들어간 명제는 진리집합이
공집합이 되지 않아야지 참이고 모든이
들어간 명제는 진리 집합이 전체
집합이 돼야 참이 됩니다. 이거
명확하게 구분을 할 수 있어야 돼요.
자, 3번 볼게요. 3번은 여기 조금
아니다라고
되어 있죠. 자, 근데 우리
직사각형들 우리 정사각형들은 항상 다 직사각형이죠.
직사각형이죠.
음. 그래서 이것은 그냥 거짓이 됩니다.
됩니다.
음. 사실 이제 그냥 3번 자체만
보면이 명제 자체가 참이기 때문에 그
부정은 무조건 거짓이 되겠죠. 자,
6번으로 넘어갈게요. 다음 명제의
역과 대우를 말하고 참거짓을
판별하세요라고 되어 있는데 우리 이거
여기랑 대우랑 참거지 판별할 때
선생님 하나 수업 때 한 거 있었죠.
어떤 명제와 그 대우는
일치한다 그랬습니다.
어 그러면 역은요 역은 전혀 관련
없어요. 그래서 우리가 얘네들을 우리
역은 따로 판단해야 돼라 그랬지. 자
1번 볼게요. 1번.
1번.
자, 1번 보면은 원래 명제를 보면
자, 우리 뭐모이면 뭐모이다라고
P이면 Q이다 꼴이에요. p이면
Q이다 꼴인데 자, A가 0이고 B가
0이다. 우리 이러면은 곱하면 무조건
0이 맞죠?
그래서 P면 Q다가 기본적으로 참이
됩니다. 그러면 명제 자체가 참이란 얘기예요.
얘기예요.
그 말은 곧 대우도
곧 참이요라고 얘기할 수 있습니다.
자, 반대로 볼까요? 우리 여긴
q이면 p에다가 참인지 볼까요? 우리
오른쪽에 a b가 0이면 a는 0이고
b는 0이다가 참일까? 근데 a,
b둘 중에 하나만 0이어도 성립하죠.
그래서 둘 다 0일 필요는 없습니다.
그래서 거짓이에요.
거꾸러 가는 거. 곱해서 0이라고 둘
다 0일 필요는 없죠. 그래서 우린 역은
역은 거짓이라고
거짓이라고
얘기할 수 있습니다.
그럼 우리 역 대우 쓰기만 빨리
쓸까? 자, 역은 어, 대우부터
쓸게요. 위에 섰으니까.
그 밑에 역을 쓸게요.
쓰는 거 역을 먼저 쓸까? 자, a가 0이면
0이면
a는 0이고
b는 0이다. 이게 여기고. 자,
대우는 각각 부정해서 밑에 있는 걸 부정하면
부정하면
0이 아니다이면
자, 부정하면 A는 0이 아니다. 또는
또는
b는 0이 아니다가 됩니다.
자, 2번 보겠습니다. 바로 참거지
판별을 바로 할 수 있으면 빠르게 해
볼게요. 자, 2번 보면
자, 우리 x x - 2가 0보다
크거나 같다라고 되어 있으면 우리
이거 인수 분해해서 풀어 주면 근이
0 또는 2라서 x가 0보다 작거나
같다 또는 x는 2보다 크거나 같다가 됩니다.
됩니다.
자, 그러면이 왼쪽 부분이 p고
오른이면 기준으로 왼쪽이 p고
오른쪽이 q인데 자 근데 p랑 q랑
똑같이 생겼죠. 0보다 작거나 같다.
또는 2보다 크거나 같다. 그 말은
얘는 p이면 q이다가 참이고 똑같이
생겼으면 q이면 p다도 참이에요.
그러면 대우도 참이고 q이면 p다인
역도 참이 됩니다.
그래서 아 얘는 둘 다 참이다라고
얘기할 수 있습니다. 자 쓰기만 빨리
쓸까? 위에가 대우고 밑에가 역이면
자 역은 순서 바꿔 쓰세요. x가
0보다 작거나 같다. 또는
x가 2보다 크거나 같다 2이면 p
써 주면 x - 1는 0보다 크거나
같다. 이게 여기고. 자, 대우는
밑에 있는 걸 부정하면 x는 0보다
크거나 아, 크다.이고
또는 바꾸면 이고가 되죠. 부정하면
x는 2보다 작다. 2면
x - 2는 0보다 작다. 이다가 됩니다.
그래서 역과 대우는 쓰는 연습을 하고
참 거짓 판별을 잘 해 보도록
합시다. 7번 넘어갈게요. 자, 7번
같은 경우는 뭐 단골 문제 중 하난데
자 이게 명제가 P면 Q다골이 여러
개가 있을 때가 있어요. P이면
Q에다가 참이고 Q이면 not
r이다가 참일 때 그러면이 문제 같은
서로 이자가 돼요. 서로 이으세요가
됩니다. 무슨 말이냐면 자 P이면
Q이다가 참이면
문제에서 참이라 그랬지. 그 대우인
not Q이면 not P도 참이에요.이
참이에요.이
사실은 자동으로 들어오는 거야.
자, 또 문제에서 Q이면 not
r이다가 참이라 그랬죠? 여기는
대우예요. 그러면 그이 명제의 대우인
R이면 not Q다가 참이 됩니다.
자, 대우라고 함면 오른쪽에 있는게
왼쪽으로 가면서 부정, 왼쪽이 오른쪽
가면서 부정이죠. 그러면 문제에서는
두 개가 여기 동그라미 친 두 개가
참이라 그랬지만 우리는 네모 친이 두
개도 참이라는 것을 알 수 있습니다.이
있습니다.이
사실도 알 수 있는 거예요. 자,
근데 여기서 끝내지 말고 우리가 수업
때 했던 것 중에 또 3단 논법이
있죠. P면 Q다가 참이고.
음. 이거는 헷갈리니까 수업됐던 걸
잠깐 복습하면 p이면 Q다가 참이고
Q이면 P에다가 둘 다 참일 때
우리는 2어서 그러면 P면 Q다,
Q이면 R이다. 아, 다시 Q면
R이다가 참일 때
그러면 P이면 Q, Q면 R이다가
참이기 때문에 우리는 P이면 R이다가
참이다라는 걸 알 수 있죠. 가운데
걸 없애고 이렇게이어서 쓸 수
있습니다. 그러면이 문제에서 제일
왼쪽 빨간색 동그라미 네모 친 걸
보면은 얘네가 서로 이을 수 있어.
여기 1번 2번 3번 4번 중에서 자
서로 이음새를 찾으면 됩니다. 그러면
어떻게 찾을까 보니까 이건 애초에
처음부터 이어져 있긴 하죠. 그래서
1번하고 3번은 이겨쓸 수 있어요.
어떻게? P이면 Q다가 참이고 Q이면
not R이다가 다 참이기 때문에
양쪽 끝에 거으면 P이면 not
R이다가 참이 됩니다.
자, 그 말은 곧 이것의 대우인
R이면 나피다도 참이 돼요.
그래서 우리가 주어진 명제가 참이면
그 대우도 참이고이었을
때 3단 논법처럼 양 끝에 피면
나이다도 참이고 그것의 대우도 참이
됩니다. 얘를 5번 6번이라고 해 볼게요.
볼게요.
그러면 문제에서 딸랑 두 개 줘
우리는 여섯 개가 참이라는 걸 알 수
있어요. 이걸 바탕으로 기억 니은
디귿 리을 한번 풀어 볼게요. 자
기억 P이면 not r이다가
참일까요? 그러면 얘는 5번이랑
똑같죠? 그래서 참이 됩니다. 얘는 5번
5번
P면 나다리다가 참이 되죠.
자, 두 번째 니은 R이면 Q이다가
참이다 볼까? 그러면 자, 얘도
참이죠. 왜? 왼쪽에 4번에서 참인
자, 디귿 not P면 not
Q에다가 참일까? 2번하고 비슷하게
생겼지만 전혀 알 수가 없죠. 디귿은
알 수 없습니다.
자, 리얼을 낫임의 날이다가 참일까?
나임의 날이다. 얘랑 비슷한 거는 뭐
3번, 4번 정도 있는데 그래도
비슷하기만 하지 똑같지 않죠. 그래서
다음 넘어가겠습니다. 8번.
자, 두 조건. P랑 q가 있을 때.
자, p가 q이기한 충분 조건이
되도록이 말은 선생님이 수업 때
열심히 했죠. p면 Q다가 참이고
그 말은 곧 진리집합 P가 Q의 부분
집합이란 얘기예요.
그러면 두 조건 PQ가 있을 때 우리
이렇게 부등식으로 되어 있으면
부등식에 대한 진리 집합은 수직선을 떠올리세요.라고
떠올리세요.라고
수업때 얘기했었습니다. 그러면 p를
수직선 그리고 q를 수직선 그렸을 때
p가 q의 부분 집합이 되어야
돼요란는 얘기입니다.
자, 그러면 우리 한번 쭉 해
볼게요. 자, p를 먼저 수직선에
그려 볼게요. p는 x가 -2보다
크고 a + 1보다 작대요. 그러면
아,이 사이구나.
자, q는
x가 5보다 작대요. 빨간색으로 해
볼까요? 자, 5보다 작다가 요렇게 생겨야
생겨야
이렇게 생겨야
p가 q의 부분 집합이 되겠죠.
요렇게 생긴다는 의미는 뭐냐면이 5랑
a + 1이 비교했을 때 5가 더
오른쪽에 있어야 돼요. 그리고
그리고
a + 1이랑 5랑 겹쳐도 상관은
없죠. 둘 다 어쨌든 끝점은 포함 안
하기 때문에. 그래서 최종적으로 a
+ 1이 5보다 작거나 같아서 그러면
a는 4보다 작거나 같고 그러면 정수
자, 넘어갈게요. 9번.
자, 명제 증명이죠. 우리 증명은 잘
따라다니면 돼요. 자, 우리 a +
1이 루트 a제 + 1보다 크다라고 얘기했는데
얘기했는데
그러면 우리 a + 1하고 루트 a제
+ 1은 둘 다 양수이니까 어느
하나가 크다면 제곱한게 더 크다는 걸
보여 줘도 돼요. 그러면 양수는
제곱하기 전도 더 커요.
자, 근데 우리가 왼쪽이 오른쪽보다
커요라고 얘기하는 걸 보여 주려면
왼쪽에서 오른쪽 식을 빼 주는
거예요. 그래서 a + 1의 제곱에서
루트 a² + 1의 제곱을 빼
줍니다. 자, 그런데 우리 왼쪽 완전
제곱식이라 여기는 a² + 2a +
1이고 오른쪽은 a제곱
+ 1을 빼는 거라서 2a가 되죠.
근데 문제에서 a가 0보다 크다
그랬기 때문에 2a도 0보다 크죠.
자, 뺐을 때 0보다 크다면 원래
왼쪽게 더 커요. 근데 왼쪽 오른쪽
둘 제곱이기 때문에 그럼 제곱하기
전인 a제곱 + 1이
아 a + 1이 루트 a² + 1보다
크다가 되죠. 순서대로 따라가면 됩니다.
됩니다.
자, 10번으로 갈게요.
자, 똑같이 또 필요 조건 충분 조건
얘기하죠. 자, q는 P기한 필요
조건이라고 되어 있으면 선생님 이거
수업 때 했죠. 순서 바꿔서 p는
충분 조건이라 그랬어요.
자, 그 말은 곧 p면 q이다가 참이고
참이고
그 말은 곧 p는 q의 부분 집합이에요.라고
집합이에요.라고
얘기를 했습니다. 결국 p가 q의
부분 집합이에요. 이걸 찾아 주세요
하는 얘기입니다.
그래서 PQ를 찾으려고 문제를 봤더니
약간 기분이 나빠. 왜? 같지 않다가
잔뜩 들어 있죠? 그래서 이렇게
생각을 해 볼게요. 아, P이면
Q이다가 참이다. 그럼 우리는 대우를
한번 생각해서 Q이면
Q이면
나피다가 참이다가 얘기할 수도 있죠.
이건 대우니까.
자, 그러면 not Q큐 나피를 한번
대우는 우리 Q의 여집합
있어. q의 여집합이
Q는 X는 -2고 그리고
그리고
자 P ax제 + 5x + 2= 0
이게 p가 되죠. 조금피
이다가 참이 됩니다.
자, 그 말은 곧 x가 -2이면
ax제 + 5x + 2는 0이에요.
그러면 대입했을 때 성립해야 돼요란 얘기입니다.
자, 그럼 대입을 해 볼까요? 다 끝났죠?
끝났죠?
자, -2을 대입하면 a * 4가
되고 제곱이니까
-10 + 2는 0이고 그러면 4a
- 8은 0이고
a는 2가 되겠죠.
그래서 그냥 명제 참거지 판별할 때
대우를 이용할 수도 있다라는 사실을
자, 그럼 뒤에 이제 뒤로 넘어가서
대단한 평가하기에서 우리 7번부터
한번 보도록 할게요.
자, 7번 보면은
우리 나머지는 다 집합이에요. 자,
전체 집합 U가 1 2 3 4 5일
때 조건 x제 - 8x + 7은 0의
진리 집합을 구하세요. 해를
구하세요랑 똑같아요. 그러면 1 -1
- 7이라서 x자 하면 x - 1 x
- 7이 0이고 그러면 x는 1 또는
7이네. 그러면 제집합 p는 1 또는
7을 원소로 가져요.라 그러면
틀립니다. 전체 집합 안에 있는 원소
중에서 따져야 돼요. 7을 제거해서.
그러면 p는
1을 원소로 가지는 집합이에요. 이게
진리 집합입니다.
다음 8번.
자, 어떤 실수 x에 대해서 x제 -
6x + a는 0보다 작다에 부정이
참이라 그랬습니다. 자, 부정이
참이면 원래 명제는
거짓이 돼야 돼요란 얘기예요.
자, 어떤이 포함된 명제가 거짓이
되어야 돼. 그 말은 자 오른쪽에
있는 조건의 진리집합을 P라 그랬을
때 자 어떤이 포함된 명제가 거짓이
되려면 우리는 p가
공집합이 되어야 돼요라고 얘기했었죠.
공집합일 때 어떤이
어떤이 포함된
명제가
거짓이 됩니다.
공집합이 아니면 참이라 그랬죠. 자,
그러면 무슨 말이냐면 그 말은 곧
우리 조건 p인 x제 - 6x +
a는 0보다 작다가 해가
해가
없다가 돼요.
그래야지 진리 집합이 공집합이죠.
자, 2차 부등식의 해가 없다. 자,
우리 이거 우리 2차 부등식은 2차
함수로 해야 되는데 기억하나요? 우리
이걸 왼쪽을
우리 y는 fx라고 둘게요.
그러면 0보다 작은 지점이 없어야
돼요라는 얘기입니다. 그러면 셋 중
하나거든요. 우리 2차 함수는 x축이
있을 때
서로 다른 두 점에서 만나던가
한 점에서 만나던가 만나지 않 않고
않거나 자 근데 이게 0보다 작은
지점이 해가 없어요. 그 말은 여기
1번 2번 3번 중에서 자 1번은
0보다 작은 지점이 생기죠. 그래서
안 됩니다.
자 2번은 0보다 작은 지점. 우리
x축 밑으로 가는게 없죠. 3번도
없죠. 그래서 2번하고 3번이 답이
되겠네요. 근데 2번하고 3번은
언제냐? 중근일 때. 우리 2번은
판별식이 0일 때. 자, 3번은
언제냐? x축과 만나지 않아요.
판별식이 0보다 작을 때를 의미하죠.
자, 그 말은 곧 판별식이 2번,
3번 한꺼번만 쓰려면 0보다 작거나
같아요를 의미합니다.
자, 2차 부등식은 판별식이라고
1학기 때 열심히 했죠? 우리 열심히
기억 안 나는 사람만 복습해 보도록
합시다. 자, 그러면이 2차
부등식에서 판별식은 우리 b² -
4ac죠? 그러면 -6의 제곱에서
-4 * ac 하면 a가 0보다
작거나 같아요. 36은 4a보다
작거나 같아요.
그래서 우리 9보다 a가 크거나
같아요가 되죠. 그중에 실수 a의
최소값 물어봤죠. 문제에서. 그러면
답은 9가 되겠네.
자, 명제 논리에서 2차 부등식까지
넘어가는 조금 어려운 문제가 될 수
있습니다. 자, 9번으로 넘어갈게요.
자, 다음 중 여기 참인 것을 얘기해
주세요. 그러면 오른쪽에서
왼쪽으로 넘어가는 걸 볼게요. 자,
1번 보면은 a는 0 또는 y는 0이
아, x는 0 또는 y는 0이면
제곱해서 더하면 0이니? 아니죠.
우리는 둘 중에 하나가 뭐 1일 수
이어도 상관없지. 또는이니까 그러면
제곱해서 0이 될 수 없죠.
자, 2번도 보면 우리 오른쪽부터
보면 xy가 0보다 작으면
x는 0보다 크고 y는 0보다 작니?
아니죠. 반대가 x가 0보다 작고
y가 0보다 클 수 있죠. 그래서
반례를 적을까?
음. 안 되는 이유. x는 1,
그러면 x는 0 또는 y는 0이지만
안 되죠. 그다음 2번도 반례를 드릴게요.
드릴게요.
음. 틀린 이유는 자, x가 음수고
y가 0보다 클 수도 있죠.
그래서 역은 거짓이에요. 다음 3번.
3번은 xy가 같으면 절댓값은 당연히
같죠. 3번이 답이네요.
자, 4번, 5번도 보이는 김 해
볼까요? 우리 xy 더해서 0보다
크다. 그러면 둘 다 0보다 크니?
이거는 반대가 될 수 있지. 반례가
x는 2고는
-1이면 더해서 0보다 크지만 둘 다
0보다 큰 건 아니죠.
다음 5번. x가 y보다 크면
제곱하면 크니? 아니죠. 이것도
반례가 거짓인 이유가
x가 -1이고 y가 -2이면 x가
y보다 크지만 제곱한 거는 반대로
다음 넘어갈게요.
10번 보겠습니다. 자, 명제 p이면
q이다가 참이다. 그럼 보자마자
여러분들은 아, p가 q의 부분
집합이에요라고 생각을 해야 돼요.
부등식인의 수직선이에요라고
생각을 해야 됩니다. 그러면 차례대로
해 볼게요. 자, p가 q의 부분
집합이면 자, 우리 여기 p를 먼저
써 볼까요? a - 2가 있고 a +
1이 있을 때 자, p는 우리 x가
그 사이에 있는 애들을 의미하죠.
끝점 포함이라서 우리는 색칠를 해서
요렇게이 사이가 p가 됩니다.
자, 근데 p가 q의 부분 집합이
되려면 q는 요렇게 빨간색처럼 생겨야
돼. -1이 이쪽에 있고 그리고 5가
오른쪽에 있어서
우리 p를 포함하고 있어야 우리 p가
q의 부분 집합이 되겠죠.
그러면 왼쪽에 우리 -1하고 a -
2가 있으면 -1보다 a - 2가 더
크거나 같아야겠죠?
크거나 같다.이 같다는 등호는 넣어
보고 판단하세요. 자, 이게
1번이고. 자, 2번. 오른쪽에 a
+ 1은 5보다 또 크거나 같아야겠죠.
그래서 두 개를 우리는 연립해야
돼요. 어때? -1보다
a - 2가 더 크거나 같아야 되고
a + 1보다
5가 더 크거나 같아야 돼요. 둘 다
동시에 만족해야 돼요. 그러면
차근차근을 풀까요? 우리 위의 식에서
마이너스 왼쪽 넘기면 1보다 a가
크거나 같고 밑에 식에서 1 오른쪽
넘기면 a가 4보다 작거나 같아요.
2였으면 a는 1보다 크거나 같고
자, 계속 반복하고 있죠. p이면
Q다가 참이면 P가 Q의 부분 집합,
p는 Q이기 위한 충분 조건. 자,
넘어가겠습니다. 11번. 자,
a는 b는 0이기 위한 우리 a는
b는 0이래요. 그럼 a도 0, b도
0이래요. 그때 필요 충분 조건인
것을 구 구 구 구 구하세요라고
되겠지? 그러면 자, 이게 p고
각각이 q라고 하자. p는 q이기한
필요 충분 조건이래요. 그러면 완전히
똑같아야지 필요 충분이라 그랬죠?
자, 근데 그러면 둘 다 a도 0,
b도 0이니 하고 물어보는 거예요.
기형 니음. 디귿 리을해서 자 기억은
보면 곱해서 0이면 둘 다 0일
필요는 없죠. 그죠? a만 0이어도
되고 b는 b는 0이 아니어도 되고
그렇기 때문에 기억은 틀린게 됩니다.
둘 다 완전히 0인 걸 찾으세요가
돼요. 자, 니은 제곱 + 제곱이
0이면 각각이 무조건 0이라 그랬죠?
그래서 니은 맞는 얘기가 됩니다.
자, 디귿. 절댓값 더하기 절댓값이
0이다. 우리 절댓값은 0보다 크거나
같고 0보다 크거나 같은데 0이
되려면 둘 다 0일 수밖에 없어요.
그럼 디귿도 맞는 얘기겠죠?
자, 리을은 a가 1, b가 1
이렇게 같은 숫자면 절댓값 뺀게
0이죠. 그래서 리을은 어, 굳이 둘
다 0일 필요 없네. 답은 니은하고
다음
자 12번. P는 Q에 대한 기한
필요 조건이지만 충분 조건이 아닌
것은이라고 얘기했죠. 자 P는 Q에
기한 필요 조건은 거꾸로 Q이면
그 말은 곧 q가 p의 부분
집합이어야 돼요라고 얘기하는 겁니다.
근데 충분 조건이 아니라 그랬으니까
p는 Q의 부분 집합은 안 돼요란 얘기입니다.
얘기입니다.
이걸 만족하는 걸 찾아보자. 자,
그러면 오른쪽 Q가 P 안에
들어가니란 얘기입니다. Q의 원소들이
P 안에 쏙 들어가니라 물어보는
건데. 자, 우리 1번 같은 경우는
자, q도 x는 + -1이죠. 두
개가 같네요. 그럼 p는 q의해서
자, 2번 같은 경우는 여기 x는 4죠.
4죠.
얘가 1이고 어, 그리고 q에서 x는
플러스 마 - 4죠. P가 Q의 부분
집합이네요. 그 말은 충분 조건이에요.
자, 3번 같은 경우는 인수 분해하면
x - 3 0이서 x가 0 또는 3이에요.
3이에요.
어, 오른쪽 q는 x는 3이네요.
q가 p의 부분 집합이네.
어, 그러면은 아, 어, 예, 조건
쓰고 그러면 아, q가 p에
들어가네. 이거는 필요 조건 됩니다.
그럼 3번이 답이네요.
자, 4번 같은 경우 보면은 a
합집합 b가 b면은 우리 b가
a보다 커요라 그랬고 a 교집합 b가
a면 b가 또 a보다 커요라 그랬지.
두 개가 똑같네. 얘는 필요 충분이에요.
충분이에요.
자, 5번 같은 경우는 a가 b의
부분 집합이고 a가 c의 부분
집합이면 a는 b합집합 c의 부분
집합이다. 이게 참일까? 보면은 자,
a가 b의 부분 집합이고
여기가 a가 있고 b가 있고
그리고 a가 c의 부분 집합이면은 뭐
여기 c가 이렇게 있을 수 있겠죠?
그러면 당연히 합집합한 것도 부분
집합이 되겠죠. 그다이면 Q에다가
일단 참이에요.
자, 반대로 자, 합집합한 것이 우리
A가 B합집합 C의 부분 집합이라고
각각의 부분 집합일까? 아닐 수
있죠. 이게 B고 이렇게 C가 있고
요렇게 사이에 걸 다 걸쳐서 A가
있다면 반대는 안 되죠. 그래서
자, 13번 보면 여기서 알 수 있는
걸 다 일단 뽑아 볼게요. 자, 1번
P면 Q가 참이고 여기 2번 R이면
Q가 참이고 여기서 끝내지 말고 아까
얘기했었죠. 1번은 대우인 우리
3번이라 할게요. 1번 명제 대우는 Q이면
Q이면
나피다가 또 참일 거예요.
그리고 2번에 대우인 4번
자, 또 여기서 끝내지 말고 자,
1번하고 4번을 여기 선님이 빨간색
밑줄 친과
4번을 유심히 보면 q로 not q로
연결이 되죠.
그래서 1번하고 4번을 연결하면
어떻게 되냐? P
not Q not Q not R가
참이 됩니다. 그만은 곧 양끝에 걸
갖고 와서 5번이 성립해요. P이면
낫이다가 참이 됩니다.
자, 이렇게 있는 건 아까 했었죠.
자, 근데 6번으로 성립해. 누구냐면
바로 위에 있는이 5번의 대우 아니면
나피이다가 참이 됩니다. 자, 그
말은 문제에서 딸랑 1번 2번 줬지만
우린 3, 4, 5, 6을 이끌어낼
자,이 상태로 우리 기억 니은 디귿을
볼까요? 기억 명제 피다 아리다는
참이다. 얘는 참이죠. 맞는 얘기죠.
왜? 1번, 2번, 3번, 4번,
5번, 6번 중에서 5번이
p면 나다 날리다가 참이다를 보여
주고 있죠. 자, 니은 볼까요? Q는
P의 부분 집합이다. 자, 이게 참이
되려면 그 말은 곧 뭐냐면 q가
q이면 p에다가 참이니라고 물어보는
건데 자, 1번, 2번, 3번,
4번, 5번, 6번 다 봐도 Q면
P이다가 참이라는 말은 없죠. 그래서
자, 마지막 디귿 볼게요. 자,
디귿은 조금 많이 까다로울 수
있어요. P랑 Q의 여집합을 합치면
r의 여집합의 부분 집합이니라고
물어보는 거예요.
자, 벤다그램 그림은 참 좋지만 이거
생각보다 간단한게 우리 어디어?
여기서 P랑 R의 여집합이니까 우리
5번 공식에서 어떤게 튀어나오냐면
우리 5번 P다 날리다가 참이 되려면
P는 아래 여집합의 부분 집합이
돼요. 각각이 p랑 다 R의 진리
집합이기 때문에 또 그다음에 Q의
여집합 R의 여집합을 보니까 4번
공식에서 요런게 나와요. Q의
여집합은 아래의 여집합의 부분 집합이 됩니다.
됩니다.
자, 그러면 P도 아래 여집합 부분
집합, Q의 여집합도 아래 여집합
부분 집합. 그 말은 곧 p랑
q집합이 둘 다 r의 여집합 안에
들어 있어 p랑 q의 여집합의 모든
원소는 아래의 여집합 안에 들어
있습니다. 그래서 디귿은 참이라고
자, 마지막 15번 볼게요. 자,
15번 같은 경우는 그냥 증명이죠.
자, 두 자연수 mn에 대해서 자,
mn이 짝수이면 m 또는 n은
짝수이다. 증명하시오. 그러면 얘는
대우법 쓸게요. 대우.
대우의 명제를 쓰면은 m 그리고 n이
n이
mn도 홀수이다.를
증명해서 이게 참이면 원래인 명제도
참이 되겠죠. 자, m하고 n이
홀수이기 때문에 우리 m은 우리 a
k하고 l로 쓰자. m은 2k -
1이고 그리고 n은 2l - 1로
표현할 수 있죠. 여기서 k하고 l은 자연수라고
자연수라고
얘기할 수 있습니다.
자, 두 개의 곱인
mn은 자, 2k - 1과 2l -
1을 곱한 것이고 전개하면 4kl
- 2k - 2l + 1이죠. 자,
오른쪽에다가 1을 더하고 빼 줄게요.
여기다가 1을 더하고 빼 줍니다.
그이 왼쪽 1 + 2가 돼서
자, 2를 쫙 묶어 주면 2고 2k
- k - 그리고 + 1이 됩니다.이
맨 뒤에는 - 1이 되죠.
자, 그때이 괄호 안에 있는 2k
- k - 1 + 1 여기 k하고
l에다 1 2 3 4 넣으면 다
2 * 자연수 빼기 1꼴인의 누가
주어진 명제의
주어진 명제도
명제도 참이다.
참이다.
음. 물론 이제 맨 뒤에 교과서
답안지에 다 이렇게 답이 적혀 있지만
그래도 한 번쯤은 여러분들이 증명하는
걸 알아두면 좋습니다.
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