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32차시 유리함수의 그래프1

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This content explains how to graph rational functions, specifically focusing on the basic form $y = \frac{k}{x}$ and its translations. It emphasizes identifying key components like asymptotes, domain, range, and the impact of the constant $k$ on the graph's shape and position.

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자, 녹화를 시작할게요. 수업

시작할게요. 우리 이제 유리 함수를

그려 볼 거야. 저번 시간에 유리

함수의 정의역까지 얘기했지. 유리

함수의 정의역이라고 얘기하면은 우리

분모가 0이 안 되는 모든 x값들을

정의역이라 얘기하고 그 말은 분모가

0이 안 되는 x값 여기서 0이겠지.

0 빼고 모든 숫자를 넣어 볼 거야.

그때마다 y가 나오겠지. 그러면 그

점들을 찍어서 이어내면은 우리는 유리

함수의 그래프라고 합니다. 근데 유리

함수는 우리 저번 시간에 얘기했는데

여기 다 지어져 있는데 우리 여기

y는 x제 + 1 유리 함수라

그랬죠. 다항 유리 함수예요. 또

y는 x + 1 3x - 4 얘도

유리 함수예요. y는 x - x제 +

2x + 2 다 유리 함수예요.

이거를 다 그리기엔 너무 힘들어.

물론 제일 왼쪽 건 여러분들이

그렸지. 다항 함수는 그릴 수

있으니까 넘어가고이 2차 함수까지

내려가면 3차 4차 따로 배우고 근데

문제는 유리 함수가 어쨌든 분모에도

x고 분자에도 x 있는데 1차식분의

1차식 또는 1차식분의 2차식

2차식분의 1차식 종류가 너무

많아요. 그것들을 다 그려 볼 순

없어. 여러분한테 그거 그리라 그러는

거는 어 언제 그릴 수 있냐?

너희들이고 3 되면 그릴 수 있어.

3에서 수학을 배우면 그릴 수 있지만

지금은 그릴 수 없는 어 없는

함수들이에요. 그래서 너무 많기

때문에 그중에서 특수한 모양만 할

거야. 제일 적은 거. 1차식분의

1차식 형태까지만 그릴 거예요. 물론

1차식분의 상수도 가능해요. 어쨌든

2차식 이상 넘어가는 거는 존재하지

않을 거야. 우리가 이제 푸는 것

중에는. 그서 한번 그려 봅시다.

자, 그러면 가장 기본 꼴부터 그려

볼게요. 가장 기본 꼴. 1차식분의

1차식인데 가장 기본꼴은 위에도

1차식도 아니고 상수인 거야. 그래서

y는 k 가장 기본 모양을 한번 그려

봅시다. 이거 중학교 때 했어. 기억하니?

기억하니?

중학교 때 이런 거 그렸었는데

기억하는 사람 어떤 그래프? 반비의

그래프라고 한번 그랬었지. 맞지?

여기서 얘가 어 1일 때 -1일

때에서 나눠서 그랬던 걸 기억해.

그래서 이런 식으로 그림이

그려집니다. 자, 그림이 너무 많지?

많기 때문에 우린 여기서 빨간색만

볼게요. 빨간색만. K가 1일

때예요. y는 1 그러면이 빨간색을

그리고 왼쪽 아래 3사분면 1 2 3

4니까 3사분면도 다른 색을 그려서

아, 이렇게 오른쪽이 왼쪽 아래에

있는게 반대의 그래프구나. 또 k가

마이너스일 때도 빨간색을 보면 왼쪽이

오른쪽 아래 이렇게 된게 반비의

그래프구나. 반비의 그래프가 뭐였지?

x가 증가하면 y는 감소하고 x가

감소하면 y는 증가한다. 정확히는

절댓값이라고 얘기했지. 그래서 그

얘기들을 우리가 중학교 때 이미 하고

올라왔어요. 그 실제로 우리가 y는

k를 그리세요. 그러면 중학교 때

배웠던 요런 모양이 될 거야.

요런 모양이 되는데 근데 여기서 선이

세 개가 있잖아요.이 선는 여기서

이제 초록색, 빨간색, 파란색을

결정하는 얘네 모양은 그냥 멀리서

보면 대충 보면 똑같거든. 아, 이게

이렇게 니은자로 되어 있는 쭉 가는데

얘네가 어디서 누가 결정을 하냐?

k가 절댓값이 크면 클수록 원점에서

점점 멀어져요라고 생각하면 돼. k가

지금 1 2 3이면 조금 더 말겠지.

4면 조금 더 멀겠지. 이런 모양이

됩니다. k값의 절댓값이 따라서

여기도 똑같아. K의 오른쪽도 k의

절댓값 따라서 가장 기본이 빨강이고

근데 이제 k가 음수야. 음수. 그럼

절댓값이 크다는 얘기는 -2, -3,

-4 이렇게 되면은 점점 빨간색보다

원점에서 멀어져요라고 생각하면

됩니다. 이렇게 그려죠. 그렇게

생각하면 돼요. 그러면 어쨌든 자이

좀 더 가깝고 먼 거는 애매하니까

크게 두 개를 구분할 수 있어야 돼.

k가 양수일 때 음수일 때 양수면

1사분면 4 4사분면 음수면 2사분면

4사분면 양수면 1사분면 3사분면

이렇게 그려진다라고 생각하면 됩니다.

자 그리고이 그래프 특징 몇 개만

설명을 할게요. 자이 빨간색을 보면은

빨간색이 이렇게 내려와서 니은자로

오른쪽이 쭉 가는데 얘가 점점 점점

내려가겠지. 내려가는 모양이지. 계속

내려가는데 어디까지 내려갈까? 쭉

내려갈까? 똑같이 내려가지 않습니다.

얘는 점점점 내려가는데 점점

원만해지지. x축이 있으면 x축에이

빨간색은 점점 점점 가까워지긴 하지만

절대 닿지는 않을 거야. 근데 점점

내려가긴 해요. 닿지는 않아. 우리

그 어느 선에 가까워지는 그 선을

뭐라 부를 거냐? 점근선이라 그래요.

점차 근사하는 선이라 그래서

이해됐니? 그래서 아 여기 k가

0보다 클 때 0보다 작을 때 다

똑같이 x축은 점근선이 되는구나.

얘네들이 지금 프로기든 빨간이든

파랑이든 다 x축이 같진 않잖아.

점점 가까워지지만. 또 y축도

그래요. y축도 얘네들이 다

가까워지긴 하지만 같지는 않아요.

그래서 얘네들을 다 점근선이라고

얘기를 합니다. 여기까지 됐니?

그리고이 그림을 보면은 얘네가 뭔가

모양이 살짝 힘게 돼 있지? 대칭적인

모양으로 되어 있죠. 그래서 대칭적인

대면은 점대칭인지 선대칭인지 그런

얘기도 할게요.이 왼쪽에 공간을 좀

적을게요.네 가지 적을 건데 조과서

있는 내용이에요. 자, 첫 번째 우리

이제 함수를 마주치면은 해야 되는

얘기가 있어요. 첫 번째 총네 개 쓸 거야.이

거야.이

함수에 정의역과 치역에 대한 얘기를

한번 할게요. 정의역은 뭐냐면 넣을

수 있는 x값들이에요. 여기 y는

k가 있는데 x에 1 넣을 수 있니? 네.

네.

>> 2는 넣을 수 있어.

>> 3은 넣을 수 있어.

>> 넣을 수 없는게 하나 있어. 누구 못 넣을까?

넣을까?

>> 0을 못 넣었지. 그럼 0을 제외한

실수가 정의역이 돼요. 첫 번째 정의역은

x바 x는 0이 아닌

실수가 됩니다.

이거인 실수.

자, 치역도 얘기할게요. 치역은 나올

수 있는 y값들이거든. 높이야.

자,이 빨간색만 집중해서 보면 자,

다 높이는 어디든 위로 쭉 올라가면

어느 높이든 가능해. 함숫값이. 근데

하나 안 되는게 있지. 누가 안 되니?

되니?

높이가 절대 안 되는 거. 나올 수

있는 함숫값이 없는 거. 0은 절대

불가능하지. 왜? 여기 높이가 0인

거는 x축인데 함수값이 존재되는

얘기는 누군가 x축에 있는 점이

있어야 돼. 내 절대 닿지 않는다

그랬지? 받지 않기 때문에 0은

불가능해요. 그래서 치역은 y바

y바

y도 0이 아닌

실수가 됩니다.

음. 정의역과 치역에 대한 얘기를

하는 거예요. 정의역과 치역.

자, 두 번째. 두 번째이 그래프

모양에 대해서 얘기를 할게요. 이것도

어렵지 않아요. 자, k값에 따라서

k가 0보다 클 때, 그 k가 0보다

작을 때 두 가지 경우가 있죠. 얘는

그냥 그림으로 간단하게 얘기를 할게.

오른쪽 보면은 0보다 클 때는 우리

x축, y축 있을 때 오른쪽이 왼쪽

아래로 그려지지. 그 단순하게 요렇게

생각하면 돼. 아, 얘는 k가 0보다

클 때는 오른쪽 위 왼쪽 아래로 그려지네.

그려지네.

자, k가 0보다 작을 때는 x축,

y축 기준으로 왼쪽 위 2사분면하고

4사분면에 그려지네. 이것만 기억하면 돼.

자, 해상의 모든 1차 함수는

둘 중 하나야. 제일 단순하면.

해상에 보차 함수는 기울기가 양수거나

음수거나 기울어진 정도를 다 떼면 둘

중 하나예요. 자, 세상의 모든 2차 함수는

함수는

두 가지로 나눌 수 있어. 어떻게

나눌 수 있을까?

세상에 보다 2차 함수는 두 가지로

나눌 수 있어.

>> 위로 볼록 아래로 볼록. 맞아. 그럼

똑같아. 유리 함수도 세상에 있는

모든 우리가 배우는 유리 함수는 두

가지밖에 없어요. 이게 왼쪽 k가

0보다 클 때 k가 0보다 작을 때

두 가지밖에 없어. 다른 모양은

나오지 않습니다. 물론 평행이도 이런

건 조금 있다 얘기를 할 거야.

그래서 둘 중 하나의 모양이

되겠구나라고 생각하면 됩니다. 자,

세 번째 볼게요. 세 번째.

세 번째 년네 번째 먼저 할까?

자,네 번째는 아까 좀 전에 얘기한

건데 자, 얘네이 곡 흔던들이 계속

어딘가 가까이는 가는데 절대 닿지

않는다 그랬지? 그 선 기준되는 선을

뭐라 그런다고? 점근선이라고 얘기를

합니다. 점근선 얘기를 할게요. 점근선은

자, 점근선은 x축, y축이지. 우리

x축은 유식하게 식으로 쓰면 어떻게

돼? x축은 y.

>> y는 0이 되지. 높이가 0이

얘들이니까 직선의 반 식으로 x축은

y는 0이고 얘는 x축이에요.

자, y축은 유식하게 x는 0이

되겠지. 얘는 y축이에요.

x값이 0인 애들을 뭐하던 거야.

이게 점근선이야.

자, 세 번째는 뭐냐면이 오른쪽에

있는 얘네들이 빨간색만 딱 봤을 때

얘 대칭성에 대해서 얘기 할 거야.

자, 어디에 대칭일 거 같아? 얘네가?

얘네가?

>> 얘네가 어디에 대칭일 거 같아?이

빨간색 딱 봐. 눈 딱 봐서 어디에

대칭일 거 같아? 처음에 점 대칭부터

보자. 어느 점에 대칭일 거 같아?

>> 원점에 대해 대칭이야. 네. 그럴 줄 알았다.

알았다.

>> 자, 볼게요. 얘들아, 원점 대칭도

정확하게 알아야 돼. 자, 여기 보면은

보면은

어, 집중. 자, 여기서이 식에다가

x 대신 -x, y 대신 - y

넣으면 우리 원점 대칭인 함수라고

얘기를 했죠. 근데 넣으면은 둘 다

마이너스 곱하면 똑같은식이 나와요.

그래서 아,이 y는 k는 원점

원점에 대해서 대칭인 도형이. 자,

그리고 두 번째.

자, xy 다리를 한번 바꿔 볼게.

우린 이걸 y는 x 직선에 대한

대칭이라 그랬지. 자리 바꾸면 x는

y k야. 근데 y 곱하고 x 나누면

어차피 똑같죠. 같은식이 나와요.

그래서 우리는 원점 대칭이면서

동시에이 직선은 y는 x에 대해서 대칭이에요.

대칭이에요.

점대칭이면서 선대칭이야.이 빨간색을

봐 봐. y는 x가 얘잖아. 자,

이게 지금이 막대기 기준으로 접어면

빨간색은 똑같이 생겼잖아. 같은

거예요. 자, 근데 하나 더 있어.이

뭔가 보면은 얘네가 이렇게 대칭처럼

보이지? 이렇게도 대칭

보여. 접었다 피면 똑같이 생겼지?

맞지? 이거 얘가 누구냐면 y는 -x예요.

-x예요.

그래서 y는 -x의 대칭이 됩니다.이

이것까지

그래서 아, y는 k가 나오면이네

개의 성질을 여러분들이 기억을 해야

됩니다. 근데 이것들을 좀 적어

볼게요. 밑에다가. 음. k가 0보다

작을 때도 똑같아요. 같은 얘기

반복합니다. 자, 위 그림에서 알 수

있으 y는 k 그래프 위에 점은 자,

얘는 이제 뭔 얘기하냐면 오른쪽으로

쭉 갈수록 이제 x축의 점점

가까워지고 왼쪽으로 쭉 갈수록 y축이

가까워져요. 그래서 x의 절댓값이

y축에 가까워진다.

가까워진다.

음. 이건 점근선에 대한 얘기예요.

점근선. 어, 점선 점자 가까워서요.

우린 그 x축, y축을 점근선이라

불러요. 그래서 그 직선을이 곡선에

그러면 방금 배웠던 유리 함수 y는

y축이다.음

이단 오른쪽에 있네. x축은 우리

식으로 쓸 줄 알아야 돼. y는

0이에요. y축은 x는 0입니다. 어

이걸 식으로 바꿔 쓸 수 있어야

자, 결국에 우리가이 유리 함수를

그리려면 세상의 모든 유리 함수 둘

중 하나야.

x축, y축 기준으로 오른쪽 위,

왼쪽 아래 그리던가 아니면 반대로

그리던가 둘 중 하나예요. 이건 누가

결정해? k값의 부호가 결정을 해요.

그럼 밑에서 그림을 그리라 그러면

다음 장 넘겨서 그림을 그리라 그러면

k값만 찾으면 돼. k가 누군지만

찾으면 우리는 바로 그래프를 그릴 수

있습니다. 자, 1번 볼까요? 1번의

k값은 몇이니?

4잖아. 눈에 보이잖아. x 위에

있는게 k값이야. 그래서 아, 4가

자, 오른쪽 2번에서의 k값은 몇이야?

몇이야?

2번에서는 아, 그 마이너스가

거슬리지. 마이너스 위로 올릴 수

있어요. 올리면 우리는 얘는 x의

다음 3번 볼게요. 3번 보면은 y는이지

y는이지

밑에 3이 갑자기 거슬리네. k는 몇일까?

몇일까?

>> 1이야. 왜 13일까? 얘는 우리 x분의

x분의

1이라고 쓸 수 있어요. 1 번수잖아.

번수잖아.

1분의 x라서 매항의 곱 내려오고

매양의 곱 올라오고 그래서 이때는

k값이 1이에요. 근데 k가 뭐

정확히 1한게 아니고 k가 양수인지

음수인지가 실제로 더 중요해요. 자,

오른쪽 넘어와서 자, 그러면 y는 -3x은

-3x은

k는 몇일까? 얘는

얘는 >> -13이

>> -13이

돼요. 부호가 똑같이 올라가면 되지.

이게 k가 됩니다. 그럼 k가

양수인지 음수인지는 파악이 되지.

일단 뭐 13이라 거 정확하게 쓴

거긴 하지만. 그러면 결국에 그리면

돼요. 자, 1번부터 그려 볼게요.

k가 양수면

둘 중 하나 중에서 처음 나왔던 거

있지? 이렇게 그리면 됩니다. x축,

자, 오른쪽 위쪽

아래 이러면 끝이에요.

다 그렸네.

근데 우리 중학교 때 반비대 그래프

할 때도 그랬고 한 점 정도는 찍어

줬어. 한 점 정도. 보통은 아무거나

찍어도 되거든. 여기 x에다 1

넣으면 1 4 y는 4죠. 1 4

정도는 한 점 정도는 찍어 줬습니다.

이제 1 4

그래서 1 4가 지나는 반비의

그래프예요.요 정도는 해줄 거.

왜냐면이 그림 나오면 반비례인 거

알고 1 4를 지나는 건 얘밖에

없거든. 걱정지울 수 있기 때문에

이제 일반적으로 1 넣는 걸 무조건

해 주진 않고 보통은 그래프 그리면

점을 하나씩은 꼭 찍어 주는데 보통

어느 점을 찍어 줄까? 그래프가

주어졌을 때 여기 2차 함수 그릴

>> y 절편을 보통 찍어 줘요. y

절편이 뭐야? x가 0일 때

y값이지. 근데 얘는 y 절편이

없어. y축하고 만나야지. y 절편인

거는 없기 때문에 그냥 다른 점 하나

정도 찍어 준 거야. 그 오른쪽 것도

볼게요. 자, y는 -x 4래요. 그

얘도 똑같이 x축, y축 그린 다음에

x축, y축 그린 다음에 k가 0보다

작지? 그러면 왼쪽이 오른쪽 아래

음수면 이렇게 그린다고 했죠? 음수는

이렇게 2사분면 4 4분면

그리고 한 점 똑같이 1 넣으면 1

-4거든요. 그 한 점도 찍어 주는

거야. 여기 한 점, 여기 1이고 -4고요

-4고요

정도 찍어 주면 다 그린 거야. 아쉽다.

다음 3번도 같이 그려 볼까? 3번도

어렵지 않습니다. 3번 보면은

k가 0보다 크네. 그럼 방금 한 거

위에랑 똑같이 그리면 돼요. 여기 x

축 y축 있을 때

오른쪽 위 왼쪽 아래. 근데 이제

여기 1 집어넣으면 1이거든. 그냥

1 찍으면 돼. 13 더 작으니까

이쯤 있겠지. 1이고 1이겠지.

이렇게 한 점 찍어 주면 끝이에요.

쉽네. 쉬워. 다음 거. 자,

마이너스 있어도 똑같이 마이너스

있으면은 그대로 왼쪽 위 오른쪽 아래.

아래.

얘도 원점 x축 y축에서

똑같이 왼쪽 위 오른쪽 아래 그려

주면 끝입니다. 얘도 1 집어넣으면 -13이라

-13이라

이쯤 있겠네. 여기가 1이고 -3이고

점 찍으면 끝납니다. 다 그렇네. 어 쉬워.

쉬워.

여기까지 어렵니? 할 수 있겠어? 어

k가 양수 음수냐에 따라서 둘 중

하나만 그면 돼요. 가장 기본

꼴이야. 여러분들이 1차 함수 배울

때도 가장 기본 꼴인 y는 ax부터

그려서 그리고 2차 함수도 배울 때

y는 ax제곱 그렸어요. 가장

기본꼴. 그다음 단계에 뭐였냐면

얘네들을 평행 이동하기 시작합니다.

그럼 똑같이 우리는이 y는 k를 평행

이동할 거야.

자, 할 건데 우리 y는 k라는 애가

이제 앞으로 평온 얘기하고 x축

방향으로 p만큼 y축 방향 q만큼

생각하는 거야. 오른쪽으로 p칸 위로

q칸 옮기는 거야. 그러면 x 대신

x - p, y 대신 y - q를

대입하는게 평행 이동이었습니다.

계속했지. 맞지? 근데 y - q는

-를 넘기면 요렇게 되죠. y는 x

- k + q꼴이 됩니다. 그럼 얘는

누구냐면 원래 y는 k프를 x축 방향으로

방향으로

그리고 y축 방향으로

평행 이동한 그래프가 됩니다.

방향으로 p만큼, y축 방향으로

p만큼. 이거의 특징까지 하면 오늘

끝이야. 집중하자. 아, 우리 y는

k는 내가 이제 그릴 수 있게 됐어.

왜? K가 양수냐 음수냐에 따라서 둘

중 하나야. 그럼 똑같이 평행 이동한

것도 그대로 옮겨 쓰기만 하면 돼요.

그럼 그릴 때 어떤 걸 좀 고민을

많이 해야 되냐? 점근선에 대한

얘기를 조금 해야 됩니다. 그래서

자, 밑에 y는

k가 여기 왼쪽이가 양쪽일 때

>> 이걸 오른쪽으로 다 p만큼 q만큼

이렇게 이동하면은이 오른쪽 그림이 될

거야. 자, 그런데이 점선을 없었는데

어디서 나왔을까? 점선은 원래 x축

y축에 있던 애들이 같이 끌려 나온

거야. 왜? 원래 x축 y축이 같지

않았지? 맞지? 그 얘네도 평행

이동한이 점선에 여전히 닿지 않을

거예요. 그이 점선을 먼저 찾고

그다음에 k가 따라서 그래프를

그리는게 핵심입니다. 그래서 아

그대로 끌고 오면은이 점선들 x축

y축이 이렇게 같이 평행 이동되고

똑같이 닿지 않게 k가 양수면

오른쪽이 왼쪽 아래 k가 음수면 왼쪽

위 오른쪽 아래의 그림을 그리게 될

거예요. 여기까지됐니? 예.

>> 자, 그러면은 우리 여기서도이

그래프의 특징이 있지? y는 x -

k + 이게 나오면 여러분들이

생각해야 되는게 있어요. 방금 했던

거 있지? 방금 했던 거를 그대로

가져와 볼게요.

조금 전에 k의 성질 있죠? 얘를 복사해서

복사해서

고쳐 넣을 건데 수정할 거야. 바로

쓰지 마세요.

음. 자, 얘를 수정해서 한번 써

보자. 수정한 건 빨간색으로 해

볼게요. 자, 첫 번째. 자, 원래는

정의역이 0이 아닌 실수였어. 원래는

그 여기 0 넣으면 안 되잖아.

맞지? 정의역이 바뀌었겠지. 왜?

여기서 넣을 수 없는 값은

>> 누굴 넣을 수 없어? p를 넣을 수

없어. 왜? P 넣으면 0이 되잖아.

맞지? 그래서 정의역이 원래는 0이

아닌 실수였는데 바뀌어 가지고

정의역은 0이 아니고 p가 아닌

실수가 돼요. 정의역은 x는 p가

아닌 실수가 되고

아까 거에서 조금씩 바뀌는 거야.

자, 치력은요 나올 수 있는 y값인데

점근선은 다를 수 없다 그랬지. 그

높이가 q예요. q. 그래서 치역은

q가 아닌 실수가 돼요. q.

음. 1번은 요렇게 고쳐서 쓰면 돼.

정의역은 x바 x는 p가 아닌 실수.

취역은 y바 y는 q가 아닌 실수가 됩니다.

자, 2번 하기 전에 4번으로 넘어가

볼까요? 4번. 음. 2, 3번은

조금 있다가. 자, 4번은 점근선에

대한 얘긴데 원래는 x축, y축인데

걔네들을 점근선도 평행 이동할 거야.

x축방향 p에 y축 방향 q만큼.

그러면 점근선이 x 대신 x - p,

y 대신 y - q인데 y - p

넣으면 y는 q고 x - p 넣으면

x는 p가 돼요. 그래서이 두 개를

그대로 순서를 좀 바꿔 써 볼까?

그러면 어떻게 되냐?

점근선은 x는 p 그리고 y는 q

직선이 점근선의 방정식이 됩니다.

x는 어쩌고 y는 어쩌고는 우리

x축의 수직 평행한 애들이죠.

4번은 요렇게 바뀌어요.

그러면 점근선이 있으면 이제 점근선

따라서 2번도 바뀝니다. 2번도

어떻게 바뀌냐? 자, 점근선 따라가서

x는 p. 여기가 p라고 하자. p가

양수면. 그리고 y는 q.

자, x는 p,

y는 q가

되면은 k가 0보다 크면은 아까

정근성 기준 k가 0보다 크면

오른쪽이 왼쪽 아래지. 똑같이 해도

오른쪽 위 왼쪽 아래를 그어 주면 끝납니다.

항상 나오면 여기 점근선들이 교차하는

지점 있지? 점근선이 교점요 정도는

수연해 줘. 여기 x가 p고 y가

자,이 오른쪽도 똑같을 거야.

오른쪽도 점근선이 똑같이 x가 p,

y가 q가 될 건데 여기 똑같이 x는

p, y는 q고 그리고 얘는이 점은

p q고 k가 0보다 작으면 아까

우리 왼쪽 위 오른쪽 아래를 그려

주기로 했죠. 2번도 요렇게 바뀝니다.

바뀝니다.

결국에 PQ를 찾는게 핵심이야. PQ

찾고 K의 부호를 찾으세요. 그러면

그래프를 그릴 수 있어요. 얘네.

PQ를 찾아서 PQ 정근선 그어 주고

K가 양수면 오른쪽이 왼쪽 아래.

정근선 기준. K가 음수면 왼쪽이

오른쪽 아래예요.

자, 이제 밑에 3번을 싹 고칠게요. 3번.

3번.

자, 3번을 쌓고치면은

2번까지 했어. 이제 마지막

3번이야. 자,이

얘네들은 k가 0보다 클 때 0보다

작을 때는 얘도 어떤 점에 대해서

대칭이에요. 아까는 원점이었지.

지금은 무슨 점일 거 같아? 지금은이

P Q에 대해서 대칭이에요. 어,

눈으로 봤을 때 돌림은 똑같잖아.

그래서 얘는 P Q의 대칭. 대칭.

대칭. 점대칭이고.

점대칭이고.

자, 아까 우리 원래 k는 y는 x

직선 기울기 1짜리 대칭이었지. 그걸

이동하면은 이거는 p q를 기준으로

접었다 피면은 똑같이 생겼어요.

그래서 기울기가 1이고 p q를

지나는 직선에 대해서 대칭이에요.

그럼 어떻게 쓰냐? y는 p q를

지나고 기울기 1자리 직선 x - p

+ q의 대칭입니다.

기울기가 1이고 p q를 지나는

직선이잖아. 그게이

기울기 1자리.

그리 아까 원점일 때 기울기

-1짜리도 있다 그랬지. 똑같이

여기서도 점근선 교점을 지나면서

기울기 -1짜리에도 대칭이에요.

그래서 얘는 어떻게 쓰냐? y는

기울기가 -1이고 p q x - p

+ q의 대칭입니다.이

세 개에 대해서 대칭이 돼요.이

원래 이제 너희들 내년에 기하 배우는

사람들 있지? 기하를 배우면 또

정근선 이런게 나오거든. 이거 45도

쓱 돌려보면은 45도 쓱 돌려보면은

얘는 이제 나중에 기아대 외우는

쌍곡선하고 똑같은요.이

골더의 관계를 물어보는 거는 물론

나오진 않지만 어 비슷한 성질을

가지고 있다. 나중에 쌍곡선 배우고

나서 두 개가 갑자기 똑같아 보일

때가 있어. 그러면 둘 성질을

완벽하게 알게 된 거야. 그건 그렇다

치고 어쨌든이 성질율 1번 2번 3번

4번을 여러분들이 유리 함수 딱

들어가면 생각하고 있어야 됩니다.

엄청 자주 나옵니다. 자 이제 뭐 할

거냐면 이제 얘네들 뭐 필요한 거

외치를 좀 적어 넣고 그래프 그리는

것까지만 할 거야. 좀 집중하세요.

자 보면은 왼쪽에 볼게요. 자 우리

y는 x - p k + q 얘는

정의역은 p를 대한 실수지. 정의역은

x바 x는 p가 아닌 실수고

실수고

치역은 아까 q가 안 된다 그랬지.

y바 y는 q가 아닌 실수국.

그리고 그래프의 점근선은 조금 전에

했죠. x는 p 그리고 y는 q가 된다.

된다.

직선 두 개가 점근선이 돼요.

자, 집중해. 이제 그래프 그리는 거

할 거야. 어렵지 않아. 이거 딱

하고 나면 이제 다 그릴 수 있어.

결국에 내가 유리 함수를 그리려면 세

개를 알아야 되더라. 세 개. 여기서 t랑랑

t랑랑

k를 알면 그릴 수 있어. 자, p는

x는 p, q는 y는 q를 먼저

점선을 그려. 그리고 k가 양수면

오른쪽이 왼쪽 아래. 음수면 왼쪽이

오른쪽 아래야. pq 그리고 그다음에

k의 부호를 따지세요하는 얘기야.

그럼 여기서 찾아보자. 자, 유리

함수 개념 확인해 보면 - x + 4

- 1인데 여기서 pq를 찾아볼게.

k는 몇이니?

>> k는 몇이야?

아요.이 마이너스를 올려 줘야 돼.

헷갈리면 안 돼. 부호가 되게

중요하기 때문에 -4야. 그래서 요거

생각해서 자, k는 -4예요.

자, p는 몇이야? p는 여기 분모에

있는 거 10분의 동료. 응. 충분해.

P는 여기 분모에 있는 거 뒤에 있는

거 있지? x + 2에서 뒤에 부호를

바꿔 주세요. 그러면 -2예요.

어, p는 -2고. 자, q는요.

q는 그냥 나오고 부호 안 바꿔.

P는 부어 바꾸고 q는 안 바꿔요.

그래서 q는

-1이네. 그럼 다 끝났네. 아, k

나왔고 p 나왔고 p 나왔네.

순서대로 아 얘는 우리 원래 y는

-x 4를 x축 방향으로 p만큼

그래서 -2만큼

y축 방향으로 q만큼 그럼 -1만큼

평행 이동한 거다. 그러면 정의역은

x는 p가 되면 안 돼. -2가 되면

안 되고 치역은 -1이 되면 안 돼요.

돼요.

점근선은 x는 p, y는 q야.

그리고 y는

q니까 -1이 됩니다.

그럼 얘를 그리세요라 그러면 자 이제

이거다는 상태에서이 세 개 나오면

어떻게 그리냐? 먼저 x는 -2을

그으세요. x는 -2이 오른쪽에서 자

원점이 있을 때 왼쪽 두 칸 관계

x는 -고

y는 -1은 밑으로 한근 -1 점근선

그린 다음에 k가 음수였지. 그러면

왼쪽이 오른쪽 아래 그리면 끝이에요.

다시 점근선 먼저 그리고 그다음에 K

부호 따라서 K가 음수기 때문에

이렇게 양수면 오른쪽이 왼쪽

아래예요. 그런데 하나만 더 해 줘야

돼. 자, 아까는 상관없는데 지금은

상관 있는게 뭐냐면 y 절편 있죠?

얘는 y 절편이 존재하지. y축과

만나면 y 절편이 있는 거야. y축과

만나는 점이 있지. 그 점 정도는

찍어 주세요. 그러면 그 점이

누군데요? x에 0 넣으면 y 절편이

0 넣으면 여기는 -2 -에서

-3이죠. 그래서 그래프에다가 여기

만나는 점에 -3은 꼭 써 주세요.

중요한 내용이야. 여러분 유리 함수를

그릴 때 신경 써야 될게 거의

없거든. 그중에서 y 절편 이런 건

좀 신경을 써 줍니다. 그러면 우리

왼쪽 거 밑에 있는 거 한번 같이

그려 볼게요. 자, 어렵지 않아.

PQK K 구하고 PQ 구하면 돼.

자, 여기서 4번에 1번. K가 몇이니?

몇이니?

>> 1. 그래서 K는 1.

자, P는 몇이야?

P는 3.

Q는 몇이야?

-2가 됩니다. q는 -2예요. 자,

그럼 점근선은 점근선은

점근선은

x는 p, x는 3하고 y는 q -

2가 됩니다. 자, 이것까지 구한

다음에 이제 여러분 그릴 때는 좌표

평면 그리고 x축 y축 그린 다음에

자, 원점 x축 y축 있지? 자,

점근선을 먼저 표현할 거야. 점근선은

점선으로 할 거예요. 자, x는

3이래. x가 0

1 2 3 이거네. 그 y는 0 -1

- 2래. 두 개를 전선을 그려

주세요. x는 3.

여기서 쭉 내려. 얘가 3이면 x는 3이에요.

3이에요.

그리고 y는 -2.

경근선은 항상 x축과 수직 또는

평행합니다. -2. 그 얘는 y는

-2예요. 자, 그리고 나서 다

했으면 이제 k가 양수죠. 양수면

점근선 기준으로 오른쪽 위쪽 아래를

그어 주면 됩니다. 그래서 오른쪽 위

왼쪽 아래 곡선 그어 주면 끝나요.

그래서 왼쪽이 점근선 기준 정근선은

절대 닿지 않아요. 그리고 오른쪽이

왼쪽 아래. 음. 이렇게 가겠죠?

그러면 다 그린게 되네요.이 끝이야.

자,이 오른쪽 것도 그릴게요. 오른쪽

거 똑같이 반복하는 거야. KPQ

구하고 정근선 구한 다음에 K 부어

따질게요. 자,이 오른쪽도 하나씩

볼게. 여기서 k가 몇이니? 2번에서

>> -2예요. k는 -2.

-4.

P는 부호 바꿔 주세요. Q는

3이 됩니다. P는 부호 바꾸고 Q는

안 바꾸고 이렇게 조심하세요. 자,

그다음에 똑같이 그릴게요. 우리

x축, y축 한 다음에 원. xy

쓰고. 자, 점근선의 방정식은 점근선은

점근선은

x는 p, x는 -4랑 y는 q,

y는 3이 되겠죠. 그래서 이거를

우리는 그어 줄게요. x는 -4면

y는 0 1 2 3 4 0이를 그어

주면 됩니다. 그래서 그으면 너무

그리고 y는 3.

이거 3이겠지? y는 3. 음.

점근선 끝났네. 그럼 둘 중 하나야.

오른쪽이 왼쪽 아래 또는 왼쪽이

오른쪽 아래인. 근데 k가 음수죠.

k 음수기 때문에 왼쪽이 오른쪽

아래로 그려 줄 거야. 그런데 여러분

유리 함수에서 내가 아까 하나

조심하라 그랬지? 뭘 체크하라

그랬어?이 왼쪽은 상관이 크게

없었거든. 왼쪽은 크게 상관이 없는데

오른쪽은 좀 많이 중요해. 자,

그리지 말고.

왼쪽이 오른쪽 아래 그릴 거야.

그린다고 치자. 왼쪽는 전혀

상관없는데 오른쪽 아래는

이렇게 그리는 거랑 요렇게 그리는

거랑 이렇게 그리는 거랑 셋이 완전

완전 달라.이 세 개는

뭐 때문에 다를까? >> x절편

>> x절편

>> y 절편의 부호가 완전 달라요.

이렇게 그렸을 때 y 절편이 이러면은

0보다 커요. y축하고 만나는게

0이에요. 0보다 작아요. 그 세

개를 구분해서 그려야 돼. 그러면

이걸 어떻게 체크해요? 여기다 0을

넣어 보세요. 0 넣으면 어떻게 돼?

-1 + 3이지. 그럼 5예요. 그럼

y 절편이 5야. 그러면 1번,

2번, 3번 중에 몇 번이야?

>> 1번으로 그려야 된다는 얘기야. 그걸

신경 써서 그리라고. 그래프 그릴 때

막 그리지 말고. 그거 따라서 바뀔

때는 신경 써 줘야 돼.이 왼쪽은

크게 신경 쓸 필요가 없어. 얘는 y

절편이 무조건 밑에야. 음수야.

어떻게 그려도 맞지? 그럼 내가

숫자만 조절하면 되지만이 오른쪽은

아예 그래프가 달라집니다. 그래서

얘는 그릴 때는 어떻게 왼쪽이는

상관없지만 오른쪽 아래는 이렇게 그려

줘야 돼. 그리고이 만나는 점을

5라는 거를 표현을 해 줘야 돼.

물론 조금 더 위에 붙어야겠지. 실제

제대로 그리려면. 그다음에 왼쪽에는

그냥 그거에 맞춰서 그리면 돼요.

이러면 끝입니다.

y 절편을 꼭 신경 써 써 줘야

된다. 되게 중요해. 여기서 많은

오류가 나요. 여러분들이 문제를 풀

때. 분명히 그리는 그런데 이제

여기서 많이 납니다.

자, 이렇게 그리면 여러분들이 유리

함수를 그릴 수 있어. 자, 마지막

키즈. 응. 자, 그릴 수 있다고 치자.

치자. 여기서

여기서

퀴즈. 자, 만약에 y는

-x + 1 + 1이야. 자, 여기서

k는 몇이니? 마

마 >> p는

>> p는

q는 자 q는 딱 보이지? q는 몇이야?

몇이야?

>> 어이 q 있는게 q야. 얘는 q는 1이야.

1이야.

>> 자 p는

>> 우리가 그냥 구호 바꿔라고 얘기했지만

더 정확히는 넣을 수 없는 x값이야. 누구야?

누구야? >> 1

>> 1

>> 1이잖아. 넣을 수 없는 x값이

p야. 여기 1 못 넣지. 어.

그렇기 때문에 얘는 1이야. 그럼

k는 누구예요? 1인데 뒤에 뭔가

거슬리지. 자, 우리 x - p

k잖아. 앞에 마이너스 달린 적이

없지. 얘 처리할 거야. 어떻게

처리하냐면 분모 분자의 -1을

곱합니다. 상관없잖아. 분수는.

그러면 얘는 뭐가 되냐면 얘는 x -1분의

-1분의

-1 + 1이 되지. 그래서 실제로

p는 이거 부어 바꾼 1이 되고 k는

-1인 거야.

이것까지 여러분들이 변형할 수 있어야

돼요. 어 그래서 x 앞에 부호를

바꾸면 그냥 갑자기 장난치는 거야.

어 너희들 헷갈려라 틀려라고 하는

건데 실제로는 그냥 간단하게 -3만

곱해 주면 해결할 수 있다. 이게

바로 직장에 여러분들 얘기가 나올

건데 이제 그거는 다음 시간에 하도록

할게요. 자 다시 빠르게 복습. 자

얘들아 우리 이거 가장 기본권 했는데

그거가 중요한게 이거예요. 평행

이동한 거 중요해요. 그럼네 가지

성질 있지. 정의역 취역은 넣을 수

없는 x값과 나올 수 없는 y값이

제외하면 되고 그다음에 그림 그리는

건 정근선 그리고 k에 보따라 둘 중

하나예요. 어렵지 않아. 의함수

그래프는 충분히 할 수 있어요. y

절편 조심하고 대칭성에 대한 얘기는

오늘 거의 안 했지. 나중에 할 얘기

있으면 이거 되게 자주 나옵니다.

그리고 마지막 금선을 꼭 그려 주고

여기까지 하도록 하겠습니다. >> 네.

>> 네. H

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