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30차시 역함수 | 이대준 | YouTubeToText
YouTube Transcript: 30차시 역함수
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This content explains the concept of inverse functions, focusing on their existence, how to calculate them, and their graphical properties, particularly their relationship with the line y=x.
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자, 수업을 시작합니다. 우리 이제
역함수에 대해서 얘기를 할 건데
역함수 아, 할 거야. 처음부터
끝까지. 네. 그 사이에서 숨겨진
얘기들이 되게 많이 있습니다. 근데
이제 중요한게 크게 세 가지가
있어요. 그 세 가지를 잘 짚고
넘어가야 됩니다. 이제 첫 번째부터
얘기를 할게요. 우리 생간 얘기를
보면은 집합 X가 있고 집합 Y가
있대요. 자, f랑 g가 있는데 우리
이제 치다 왔으니까 한번만 좀 복습을
해 볼까? 자,이 F가 3이
>> 함수 어떻게 체크했어?
>> 안 갈라지고
>> 모두 다 출발했지. 그리고 갈라진게
있어? 없어?
>> 없으면 함수라 그랬죠. 두 번째 것도 한니?
한니? >> 출발
>> 출발
>> 모두 출발하고 갈라진게 없지. 그러면
함수라고 얘기를 했습니다. 근데
이거를 이제 우리가 화살표를 방향을
바꿔 볼게요. 그래서 y를 먼저 쓰고
거꾸로 한번 써 봅시다. 거꾸로
쓰면은 아 여기는 y가 되고 여기는
x가 돼서
화살표 그냥 방향만 뒤집은 거야.
그래서 x는 1, 2, 3일 때 자,
원래 2가 a로 가니까 a는 2로
그리고 3이 b로 갔으니까 b는 3,
c는 1로 갔어요. 자, 그 오른쪽도
똑같이 방향을 반대로 해 볼게요.
y가 있고 여기 x가 있을 때 a, b
b
저 함수 g도 반대로 가면 a는 2로
가고 b는 1 3 그리고 c는 없네요.
없네요.
자, 그냥 그대로 우리 주어진 거를
뒤집기만 했어요. 자, 그리고 나서이
파란색 두 개를 보면은 자, y에서
x로 가는 대응인데 우리 첫 번째이
왼쪽에 있는이 파란색 대응은 함수니? >> 네.
>> 네.
>> 왜 다 출발하고
>> 갈라진게 없지? 자, 두 번째 오른쪽
거는 함수니? >> 아니요.
>> 아니요.
>> 아니지. 오른쪽 거는 모두 출발하지도
않았고 심지어 갈라진 것도 있지.
오른쪽은 함수가 아니에요. 그래서
오른쪽은 함수가
아니고 왼쪽 거는 함수지. 근데 원래
함수 f가 있는데 그걸 반대로 간
함수지. 그래서 우리는 역함수라고
얘기를 합니다. 그래서 왼쪽은 f의 역함수라
얘기할 거예요. 음.이 오른쪽 거는
거했을 때 함수가 아니기 때문에 뭐
역함수 이런 단어를 쓰지 못해요.
그리고 얘는 우리 기호로 뭐라 쓸
거냐? f를 쓰고 위에 -1제곱으로
올릴 거야. 실제로 제곱은 당했지만
오른쪽 위에 -1이라고 올립니다.이
기호적인 표현이야. 자, 여기서 이제
오늘 할 세 가지 중에 첫 번째
중요한게 나와요. 자, 원래 함수가
존재하지. 그 함수의 대응을 거꾸로
했어. 거꾸로 했을 때 모두 다
함수가 되니?
>> 안 되지. 되는게 있고 안 되는게
있습니다. 그러면 언제 되니에 대해서
생각을 해 봐야 돼요. 자, 우리가
여기서 왼쪽에서 오른쪽 가는데
뒤집었을 때 함수가 된다는 얘기는
자, 뒤집었을 때 함수가 되려면
뒤집었을 때 모두 다 출발해야 되지. >> 네.
>> 네.
>> 그 말은 모두 다 나한테 오는게
있어야 돼. 처음에 공역이. >> 네.
>> 네.
>> 그러면 공역과 치역이 같아야겠지.
>> 그리고 거꾸로 했을 때 갈라지면 안
돼. 그만은 원래 함수는 모이면 안
되지. 모이면은 우린 1대 1 함수가
안 된다 그랬지. 그래서 안 모이면
1대 1 함수라 그랬어요. 그 말은
아 원래 함수가 1대 1 함수이면서
공약과 치역이 같아야 돼. 이걸
한꺼번에 뭐라 불러? 1대
>> 1대 1 대응이라 그랬지. 그래서
원래 함수 f가 1대 1 대응일 때
그때 화살표를 뒤집으면 함수가 되고
그 함수를 역함수라고 부릅니다.
이해됐니? 그 얘기를 이제 밑에다
적을게요. 자, 함수 f가 있는데
정의역이 x 공역이 y일 때 얘가
1대 1 대응일 때 1대 1
대응일 때 그리고 원래 밑에 여러분
개념 정리한게 있는데 여기 없어서
빨간 네모 친 거를 꼭 알아야 돼요.
1대일 대응일 때 여긴 별표 두 개 할게요.
할게요.
1대 1 대응일 때 역함수가 존재합니다.
존재합니다.
대장이 아니면 역함수는 존재하지
않아요. 자, 그때 새로운 함수를
정의할 수 있는데 자, 거꾸로 가는
함수를 정의할 거야. 그러면 원래는
x가 정의역, y가 공역인데 반대로
가면 y가 정의역이 되지. 그래서
쭉이 얘기들이 다 그 얘기예요.
이제 원래 정의이었던 x를 공역으로 하는
하는
새로운 함수를 정의할 수 있습니다.
함수를 정의할 수 있어요. 얘는
누구라 그러냐? 얘는 우리는 역함수라
그 기호로 f의 -1제곱 뭐 f의
인버스 펑션 여러 가지 얘기가 있는데
그냥 f의 역함수라고 얘기를 할게요.
그래서 아 1대 1대 0이면 역함수가
존재하고 그거를 우린 기억으로 뭐
f처럼 f의 여기 -1제곱을
올리는구나라고 얘기를 하고 이제 즉
이제이 함수는 이렇게 쓸 거야. f의 역함수고
역함수고
자 우리 정의역이 y 공역이 x구나
요렇게 표현하고
그리고 우리 y에 있는 소문자 y라는
원소를 거꾸로 보내면 x가 되지.
거꾸로 보낸다는 얘기는 우리 x는
누구냐? 역함수에다가
y를 집어넣으면 x가 돼요라고
표기합니다. 이거는 완전 정의적인 개념이야.
개념이야.
오늘 조금 여기 앞장은 이렇게 나온
채울 것들은 조금 정의적인 수식적인게
많은데 이제 그런 것들은 쭉 보고
실제 문제 풀이에서는 들어가면 조금
더 쉬워질 거예요.
자, 그만은 그 어떻게 되냐면 아,
역함수가 존재하면 원래 y는 fx죠.
그러면 x를 보내면 y가 되지.
반대로 y를 거꾸로 보내면 x가
됩니다. 얘랑 완전히 같은 말이 x는
f역 역함수 y예요. 얘네가 서로
예를 들어 3이 f2면
반대로 2는 f 역함수 3이에요. 꼭
바꿨을 수 있어요. 잘되고.
자, 역함수가 이렇게 어떤 의미인지
알았으면 역함수를 한번 합성해
볼게요. 밑에 하나만 적어 볼게요.
여기 박스 밑에 여기 좀 그림 좀
그러죠? 여기 x가 있고 여기 y가
있어요. 우리이 함수를 f라고 해
볼게요. 얘를 f라 하고 자,
역함수도 있어. 역함수를 연달아 보내
볼게. 그러면 얘는 f 역함수인데
자, 원래 우리 x라는 소문자 원소가
있을 때 얘를 보내면 우리는 y로 갈
건데 이걸 다시 역함수로 보내면
누구로 갈까? x
>> 다시 x로 돌아오겠지? 갖다 돌아오는
거야. 그럼 당연히 x겠지.
음. 그럼 이거를 우리는 기호로
어떻게 표현할 거냐? 우리 f
역함수랑 f랑 합성해서 x를
집어넣으면이 x는 합성에 대한 얘기는
한 번에 쭉 가면 x가 되죠라고
얘기할 수 있습니다.
그 말은 역함수랑 자기 자신을
합성하면은 자기 자신이 그냥 x가
튀어 나와요.
항상 1을 넣으면 1이 나오고 2를
넣으면 2일이 나오고 3일 넣으면
3이 나와. 이거 무슨 함수니?
1 넣으면 1, 2 넣으면 2, 3
넣으면 3, 100 넣으면 100
항등 함수라고 배웠지. 상수 함수는
항상 뭘 넣어도 한 값이 나와야 돼.
항등 함수는 내가 넣은게 그대로
나오면 항등이에요. 자, 그래서이
얘기를 조금 더 유식하게 한번 써
볼게요. 위에다가. 자, f 역함수랑
f랑 합성해서 x를 집어넣으면 자,
저번 시간에 했던 건데 이걸 계살려
보자. 합성 기호 있으면 뭐로 바꿀
수 있다 그랬어? 바로
>> 괄호로 바꿀 수 있어요. 그래서 f
역함수 바로 열고 fx가 되고 자,
fx는 y라 그랬지? 바로 위에
있어요. 바로 위에 얘는 f역 역함수
y고 또 바로 위에 있네요. f
역함수 y는 x라고 얘기할 수
있습니다. 그래서 아, 이게
x를 집어넣으면 x가
튀어나오는구나라고 얘기할 수 있어요.
자, 반대로 이번에는 f 역함수랑
f랑은 서로 바꿔서 f에다가
f 역함수를 우리 합성할 수도 있지.
자, 근데 그럼 f 역함수에 먼저
누군 넣어야 되니까 y에서
출발이에요. 그럼 여기는 y를 넣을게요.
넣을게요.
y를 집어넣으면 자, 얘는 똑같이
괄호로 바뀌고 괄호로 바뀌면 f
역함수 y고. 자, y를 거꾸로
보내세요. 그러면 x가 되고 fx는
네. 여기서는 정의역 공역을 처음에
고려하느라 x y라고 했는데 어려워
보이잖아. 여러분들한테이 수식을 쭉
써 봐라고 요거 안에 여러분들이
이렇게 하면 돼. 아 f 역함수랑
f랑 순서 상관없이 서로 합성돼
있으면 x를 넣으면 x가 나오고 y를
넣으면 y가 나오는구나. 100을
넣으면 100이 나오는구나. 1천을
넣으면 1천이 나오는구나라고 생각하면
돼요. 우리 이걸 뭐라 그러냐?
유식하게. 자 얘는 우리가 x를
집어넣지. x는 정의역 x 안에서
얘기하는 거지. 그래서 f역함수 x
f 역함수 f 합성한 거는 집합 x를
정의역으로 가지는 항등 함수예요.
반대로 f랑 f 역함수에 y 넣으면
y니까 얘는 y를 정역으로 가지는
그래서 마치 이렇게 생각해도 돼.
아, f랑 f 역함 붙어 있으면 우리
곱하기처럼 그냥 약분시켜 버려도
되겠죠. 없애 버리면 여기 x면 x만
남고 y면 y만 남고 그냥 없애도
된다라고 생각하면 됩니다. 물론 이제
그게 완전 기호적으로는 틀렸지만
그렇게 생각해도 무방합니다. 자,
밑에 볼게요. 자,이 f 보면은이
f는 1대일 대응이죠. 공역과 치역이
같고 골고로 다 같잖아. 그럼
역함수가 존재하지. 그러면 역함수에
2 넣으면 3이고 역함수에 4 넣으면
5고 역함수에 6 넣으면 1이
됩니다. 그래서 왼쪽 보면은 역함수
2 넣으면 바로 3이 되겠죠?
2넣으면 3이고. 자, 여기 2번
3번은 위에 아무것도 없어도 여러분들
보자마자 답이 나와야 돼. 2번은
답이 뭘까?
>> F 역함수랑 f랑 1 넣으면
1이에요. 자기 자신. 그 밑에 건
달려 볼까? 4가 나와
>> 4가 나와요. 바로 자기 자신이 나옵니다.이
기호 나오면 땡큐 하고 그냥
업애빼버려. 1이 그냥 답이야.이 두
개 연달로 나오면 땡큐하고 업애버려
다가 됩니다. 자, 밑에 볼게요.
자, 여기 밑에 생기 오른쪽 보면은
자, f가 x에서 y인데 자, 얘
지금 함수니? >> 아니요.
>> 아니요.
>> 아니지. 그 함수가 되기 위해서 누가
출발해야 돼? >> 3.
>> 3.
>> 3이 출발하는데 역함수가 되려면
역함수 존재하려면 어디로 가야 돼?
>> 5로 가야 돼. 1대 1 대응이 돼야
되기 때문에 그 5로 가고 그 말은
f 역함수 5는 누가 돼?
>> 3이 되겠지. 거꾸로 가면은 f
역함수 5는 3이 됩니다. 자, 밑에
2번, 3번 바로 나오네. 답이
뭐야? 2번의 답은
>> 4고 그다음은 1이 되겠지?
넘어갈게요. 뒤로. 자, 이렇게
숫자를 넣었을 때 역함수의 값을 찾을
수 있어요. 그러면 이제는 그다음
단계 뭐냐면 역함수를 구하자라는
>> 음. 어 얘들아 잠깐 앞장 넘어와서
이거 좀 별표만 몇 개 치자. 아
이거 빨간색으로 좀 체크만 할게요.
어 기호적인 거 조금 알고 넘어가야
돼서이 빨간 네모 친 거는
원래 교과선 따로 다 모여서 정리돼
있거든. 따로 쓰기 귀 귀찮
귀찮으니까. 그래서이 정도는 쓰자.
어 얘네들이 쓰는 것들은 다 중요합니다.
중요합니다.
기호적인 표현들이라.음
음. 얘네들만 네모 치고 뒤로 넘어갈게요.
자, 뒷장 이제 실제 역함수를 구해
봅시다. 이제 오늘 중요한 거 세 개
중에 두 번째 거 들어갈게요. 두
번째 거.
자, 역함수도 함수죠. 그 함수를
구하기 위해서 우리 그 함수는 y는
하고 표현을 해야 돼. 근데 어떤
함수인지를 생각을 해 볼게요. 자,
우리 원래 있던 x를 집어넣으면 y가
되지. 그 식에 근데 y를 넣으면
만족하는 x를 찾아야 돼요. 맞지?
그러면 x가 궁금한 거잖아. 그 원래
식을 x는 하고 정리하는게
최우선입니다. 그래서 우리는 아,
원래 식을 우리 역함수 우리 x는
하고 표현을 하고 자, 이렇게
표현했어. 이제 여기서 우리 y
숫자를 집어넣고 결과값이 x가 나올
거잖아. 맞지? 오른쪽에 숫자
집어넣고 결과가 x가 나오지. 근데
우리 이제까지 수학을 배우면서 우리는
뭘 집어넣을 때 x에다 집어넣고
결과는 y가 나왔지. 맞지? 그래서
이렇게 표현한 다음에 xy를 바꿔서
표현을 할 거야. 그러면은 원래 있던
함수와 역함수를 동시에 다룰 수 있게
됩니다. 같은 정의역에서 다룰 수
있게 돼요. 뭐 두 개를 같은 뭐
좌표 평면에서 나중에 표현할 거기
때문에 그래서 x는 하고 정리한
다음에 그다음에 xy 자리 바꾸면
우리는 y는
f 역함수 x와 같이 나타낼 수
있습니다. 이렇게 말만 들으면
헷갈리지? 자, 지금 중요한 거
할게요. 그러면 역함수를 구하는
방법에 대해서 얘기를 할게요. 첫
번째 우리 y는 fx라는식이 있으면
뒤에 fx가고 몇 x + 변 이렇게
돼 있을 거 아니야. 걔를 x는 하고
정리할 거야. 그래서 x를 y에 대한
식으로 나타낼 거야. 원래 y는
fx가 있는데이 식을 x는 하고
정리하는 거야. 그러면 x는
f 역함수 y가 됩니다. 그리고 이제
y 숫자를 만 보면 x가 튀어나올 거야.
근데 집어넣는 숫자를 우리 y는
아니고 x라고 생각을 해 볼게요.
그래서 두 개 자리를 바꾸세요. x와
y를 바꿔 쓰는 거야. x 그대로
떼내고 y. y 떼내고 x. 그러면 y는
y는
f 역함수 x가 됩니다.
보통 정의역을 보통 다 실수 전체를
다르기 때문에 어차피 실수 넣을 거
변수를 다 통일하자. 결과값을 다
y도 통일하자. 어차피 문자는 그냥
표기의 영향이기 때문에 이렇게 쓸 수
있는 겁니다. 그러면 왼쪽에 보면은
다음 함수 역함수를 선생님하고 1번
한번 같이 해보고 여러분들은 2번 해
보면 돼요. 자, 되게 중요한
내용입니다. 자, 첫 번째 우리
역함수 구할 때 첫 번째는
x는 꼴로 정리합니다. 꼴로 정리.
이게 첫 번째예요.
자, 얘를 x는 꼴로 정리하기 위해서
-4x는 왼쪽, y는 오른쪽
넘길게요. 그러면 4x는
-y + 1이 되고 4까지 나누면
x는 -4y
+ 1/이 됩니다. x는 꼴로
정리하면 당연히 오른쪽에 x가 있으면
안 돼요. 자, 이제 이게 첫 번째
단계라고 두 번째 단계는 x y
자리만 바꿔 쓰면 돼요. x 대신
y, y 대신 x. 그래서 얘는 그다음
그다음
두 번째
그러면 y는
-1 x + 1이 됩니다.
됩니다.
자, 오늘 하는 거 첫 번째 아까
역함수의 존재성에 대한 얘기를 했고
1일대일 대응. 두 번째 역함수를
구하는 거야. 이거 쉬워. 어렵지
않아. x는 하고 정리하고 바꿔
쓰기만 하면 돼. 어, 우리 세 개
중에 중요한 두 번째게 나왔습니다.
매우 중요해요. 이거 꼭 알아야 돼.
계속 강조하지. 너희들 내년에 내
후년에 역함수 얘기가 나오면 오늘
얘기가 계속 반복이 됩니다. 역함수
얘기 나오면 아, 1대 1 대응인가
그 얘기가 나오고. 어, 그리고 아,
역함수를 구해야 되네. x승하고
정리하고 바꿨으면 돼요.
그리고 이제 좀 있다가 세 번째
중요한 것까지 나옵니다. 자,
그래서이 방법 그대로 우리가 적용해
가지고 문제 2번에 2번을 할 수
있어요. 이거 한 1분 드릴게요. 오른쪽에
오른쪽에
문제 2번에 2번 역함수 한번 구해
봅시다.이 이 빨간색 순서대로 그대로
그대로 정리하고 병훈아
병훈아
2번 거대로 2번에 2번
처음에 x는 하고 식을 정리하고
그다음에 바꿔 쓰기만 하면 돼요.
어렵지 않아요. 그대로 따라가면 돼. 어
어 같은
자, 바로 볼까요? 우리 x는하고
정리하기 위해서
우리 2를 곱할게요. 양변에 2를 곱하고
곱하고
그다음에 여기 아, 넘긴 다음에 2를
곱할게요. 하나씩 해 보자. 그 첫
번째, 두 번째 뭐 x는 꼴 이런
한글릇 좀 제외하고 그럼 1 x는 y
- 5고 양변에 2 곱하면 x는 2y
- 10이죠. 그리고 자, 두 번째 단계
단계
x하고 정리했으면 그다음은 자리 바꿔
쓰세요. y는
2x - 10이죠.
음. 여러분들이 어떤 함수가 주어지면
역함수를 구할 수 있어야 합니다.
물론 이제 역함수 구하는게 지금은
1차 함수라도 쉬운데 정의역이 조금
제한돼 있고 정의역 공역이 좀 제한돼
있는 2차 함수 이런데 구하는 경우도
있어요. 근데 그거는 여러분들 유리
함수 무리 함수 할 때도 추가로
나옵니다. 자 그다음 밑에 볼게요.
생명 넓히기 볼게요. 자 생넓기는
쓸게 좀 많아. 근데 다 쓸 거야.
일부러. 어 자 우리 역함수의 성질에
대한 얘긴데 자 첫 번째이
글을 보고 자 두 함수 fg의
역함수가 존재할 때 란 얘기가 나오면
아무 생각 없이 보지 말고 여기서 꼭
알고 가야 되는 내용이 있어. 자
역함수가 존재하려면 뭐야 돼? 1대
1 대응이 자동적으로 튀어나와야 돼.
자, 1대 1 대응에서 하나 더
여러분들이 알아야 돼. 1대 1
대응을 우리가 어떻게 확인할 수
있어? 그래프에서 >> 가로부터
>> 가로부터
>> 가로선을 그으면
>> 이제 한 한 지점에서
>> 가로선 그었을 때 교점이 오로지
>> 한 개씩 있어야 1대 1대응이라
그랬죠. 그래서 우리가 저번 수업 때
어떤 얘기를 했었냐면 요런 얘기를 했었어.
했었어.
이런 그리 그래프가 나왔을 때. 자,
가로선 그으면 한 번씩만 만나지네
대응이야. 가로선 그으면 두 번
만나거나 안 만나지. 1대 1 대응이
아니야. 가로선 그으면 한 번씩
만나지. 1대일 대응이야. 그 1대
1 대응이 어떤 모양인지를 파악을
해야 돼. 어떨 때 1일대일
대응이야. 그러면 딱 봤을 때
한 방향으로만
이게 오른쪽 위로 쭉 가거나 또는
오른쪽 아래로 쭉 가거나 수학에서는
이제 증가한다. 감소한다라고 얘기를
하거든. 좀 더 유식하게 내년가면
이제이 얘기를 다를 거야. 근데
어쨌든 1대 1 대응이면 얘가
증가하는 꼴이거나 처음부터 끝까지
끝까지 증가하는 꼴이던가 아니면
처음부터까지 감소하는 꼴이던가 둘 중
하나예요. 감소했다가 올라가는 2차
함수 형태는 안 됩니다. 1대 1
대응이 안 돼. 그래서 무조건 1대
1 대응이 되려면 항상 증가하거나
항상 감소해야 돼까지 머릿속에
익혀놔야 돼요. 그래서 방금 했던
거를 여기서 1대 1 대응해서 끝내면
안 되고 1대일 대응이면은
항상 머릿속에서 항상
증가 또는 감소
꼴이 됩니다. 둘 중에 하나예요.
항상 증가하거나 항상 감소하는 꼴만
일대일 대응이 됩니다. 머릿속에 이런
얘기를 좀 집어넣어 봤고. 근데 이제
생관 넓기에서는 수식적인 얘기를 좀
해 볼게요. 자, 다음이 성립한다라고
되어 있는데 1번 2번이야. 1번은
여러분들이 바로 보자번 파악하거든.
역함수의 역함수야. 역함수는 거꾸로
가는 함수지. 그걸 또 거꾸로 갔어.
그럼 뭐랑 똑같니?
>> 원래 함수 f랑 똑같겠지. 부정의
부정 긍정 같은 거잖아. 당연한
얘기야. 두 번째 거 헷갈려. 자,
g랑 f랑 합성했어. 합성한 함수가 함수지.
함수지. >> 네.
>> 네.
>> 그 함수의 역함수를 구하면 자, 그
함수 합성한 거 역함수 구하면
옛날부터 이렇게 나오면 뭐 하고
싶어? 괜히 집어넣고 싶지?
집어넣어도 돼. -1제곱
집어넣고 집어넣고 그런데 합성 항상
특이하게 자리가 바뀌어요.까지 기억을
해야 됩니다. 그러면 실제로 어,
자리가 바뀌는게 되는지 한번 체크부터
해 볼게. 되는지 일단 알아야 될 거
아니야. 그래서 이런 생각을 해
볼게요. 아까 앞에서 우리 함수 f랑
f 역함수는 합성하면 무슨 함수가
된다 그러니? 상등 함수가 된다
그랬지. 거기에 x를 넣으면 x가
나온다 그랬지. 그래서이 두 개를이
함수와 역함수를 실제로 합성을 한번
해 볼게요. 그러면 이렇게 해
볼게요. 여기서 그냥 체크야. 한번
g랑 f랑 있고 얘 역함수라는 우리
f 역함수 g수를 합성을 해 볼게요.
두 개도 각각 함수야. 함수 함수를
합성하면 항등 함수가 일단 돼야겠지.
그래서 여기다가 x를 집어넣어 봅니다.
봅니다.
음. 실제로 괄호는 뭐 이렇게 쳐야
되는데 x를 집어넣어 봐요. 그러면
이게 막 계산했을 때 x까지 나오면
끝이겠지. 자, 근데 우리 합성이
여러 개 있을 때 교환 법칙이 된다
그랬니, 안 된다 그랬니?
함수의 합성에서 교환 법칙은
>> 안 돼요. 결합법칙은
>> 돼요라 그랬지. 결합법칙이 된다는
얘기는이 안에서이 괄호를 내 마음대로
조절해도 돼요. 괄호 위치가 막 왔다
갔다 해도 돼. 그래서이 가운데 두
개 괄호로 바꿀게요.
그리고 나서 g 그럼 합성 가운데
괄호하고 합성 g 역함수 x인데 우리
오른쪽 역함수 있으면 또 괄호로 바꿀
수 있다 그랬지? 그 작업까지 해주면
어떻게 되냐면 자, g합성
f 합성 f 역함수 이렇게 있고
우리는 여기는 여기다가 g수
x가 돼요라고 얘기할 수 있습니다.
기호적인 거야. 어려워. 여러분들이
못 해. 당연히 할 수 있는 사람
별로 없어. 근데 그래도 한 번쯤은
이제 써보는 연습은 해야지. 자,
여기 똑같아. 아, 얘는 이제 하나
숫자거든. 3이나 4 같은 숫자거든.
또 괄호로 바꿔 주면은 이렇게 돼요.
g 괄호 열고
f 역함수 아, f랑 f 역함수
합성한 다음에 여기에 g 역함수를
넣어 주세요.
근데 이거는 항등 함수기 때문에 어
여기다가 g 역함 넣으면 얘는 그대로
g 역함수 x가 되 이거는 g가로
열고 g 역역 역함수 x고 근 이거는 반대로
여기 합성한 것을 x 넣은 거고 x랑
똑같이 됩니다. 그러만은 아 두 개
실제로 두 개를 합성한 다음에 x를
넣었더니 x가 되네. 아 그럼 서로
역함수 관계다라고 얘기를 할 수 있는 거야.
사실 이제 확인해 보자. 이걸
증명하세요. 그러면 이게 증명이야.
너희도 이거 하라면 할 수 있겠니?
못 하지. 그래서 증명을 시키지
않아요. 대신 실제 함수 주어지고
되니라고 물어보는게 생각 넓히기에요.
그래서 실제로 되는지 확인해 볼 건데
쓸게 되게 많아. 여기 지금
이렇게 식을 좀 짧게 짧게 쓸 건데
한네 줄 정도의 다섯 개 칸으로
나눠서 할게요. 다섯 개 칸으로. 첫
번째 우리 1번부터 한번 보여
줄게요. 1번 f 역함수의 역함수는
f가 되는지 확인하시오라 그랬으니까
실제로 써 보자. 첫 번째음
우리 f 역함수 구하기가
볼게요. 자 우리가 1번부터 여기
다섯 개 정도 구할 건데 이거를
한꺼번에 쓰세요라고 안 해. 근데
여러분들한테 야 f역 함수 구해 봐
그러면 구할 수 있어야 돼. 어 한
줄 한 줄은 할 수 있어야 돼. 따로
주어졌을 때. 자, 그래서 f 역함수
구해 봐. 어진이 깨 있니? 어.
자, 그럼 구해 볼게요. 첫 번째.
자, 여기도 y고 gx도 둘 다
y예요. 자, 역함수 하려면 x는
하고 정리하라 그랬죠? 자, 6
-6을 넘긴 다음에 3을 나누면 x는
3y + 2가 돼요. 그래서 첫 번째
단계를 거치고 나면 x는 1y
+ 2가 됩니다. 자, 그다음에 두
번째는 xy 자리 바꾸라 그랬지?
자리 바꾸면은 y는 1x + 2가
돼요. 그만은 무슨 얘기냐? f
역함수 x는
1 x + 2가 됩니다. 우리 이거는
나중에 좀 갖다 쓸 거니까 좀 이렇게
빨간색으로 나중에 찾기 쉽게 여기 써 놓을게요.
놓을게요.
첫 번째 끝이야.
자, 두 번째 볼게요. 근데 우리가
지금 구하고 싶은 거 1번은 뭐냐면
f 역함수의 역함수지이 함수의
역함수를 구하세요라는 얘기니까 얘의
역함수를 또 구할게요. 그러면 두
번째 자, f 역함수의 역함수 구하기.
구하기.
그러면 또 얘를 x는 하고 정리할게.
이게 왜 똑같으니까 이걸 x는 정 2
넘기고 3 곱하면 3y - 6이
됩니다. 그러면 우리 x는 3y -
6이고 자 xy 자리 바꾸면 y는
3x - 6입니다. 그 말은 곧 f
역함수의 우리
역함수 거기다 x를 넣으면
곧 3x - 6이고 이건 누구냐? fx랑
fx랑 똑같아요.
똑같아요.
음.이 보라색이 결론이 됩니다.
1번 얘기한 거야. 그냥 하나씩
구하면 돼. 역함수 구하세요. 그러면
그냥 구하면 되고 역함수 또
함수잖아. 걔 역함수 구하서 또
구하면 돼. 어. 자, 그다음에 이제
오른쪽 볼게. 이번에 합성 함수의
역함수도 얘기를 해 볼게요. 다
하나씩 진짜 해 보세요라는 얘기야.
두 번째.
예. 1번 끝났고. 어, 여기 이걸
좀 지울까? 얘만 지울까? 음. 두
번째. 자, g합성 f의 역함수를
구해야 되니까 g합성 f부터 구해
저번 시간에 한 거예요. 합성 함수
구하는 거. 자, 그러면 g 합선 fx는
fx는
g 괄로 열고 fx랑 똑같고 저번
시간에 얘기했지. 합성함수 구하는
거야. fx는 3x - 6이고 집어넣고
집어넣고
이거는 g 괄로 열고 3x - 6이고
자, g 3x - 6은 여기 x 대신
3x - 6을 넣어 주세요. 여기
넣으면 마이너스가 앞에 있고 3x -
6이 들어가지. 그럼 이거는 -3x
- 6 + 3 이게 합성 함수예요.
근데 이거 -하면 -3x + 9가
그 말은 곧 어떻게 되냐? g합성
f의 x는
-3x + 9가 돼요. 합성 함수네.
근데이 문제에서 원하는 건 뭐야?
문제에서는 합성 함수의 역함수지.
역함수 하나 보자. 여섯 칸이었구나.
어, 얘 역함수를 구해 볼게요. 두
번째 우리 g합성 f의 역함수 구하기.
구하기.
그럼 방금 했던 것도 반복하는 거야.
얘 구했잖아. 얘 역함수 구하는
거야. 자, 이게 y는 -3x +
9거든요. 그래서 x는 하고 정리를
할게요. 좋아요. 눈 떠 있니?
좋아. 헷갈려. 맨날 시험해 주
헷갈려. 어,
눈 떠. 자, 볼게요. y는 하고
있으니까. 자, x는 하고 정리해서
넘기고 넘긴 다음에 x는 하고
자, 여기 y가 있어. 3x 넘기면
3x제 - y + 9에서 3 나누면 -13y
-13y
+ 3이고. 자, 두 번째는 우리
xy y는 -13x
+ 3이 돼. 자, 그 말은 무슨 얘기냐?
얘기냐?
우리 여기 좀 나누고 g 합성 f의 -1x는
-1x는 -13x
-13x
+ 3이 된다는 얘기예요. 아, 합성
함수를 아까 구했고 역함수까지 구하면
되는구나. 그냥 진짜 다 해 보는
자, 이제 마지막 남았네. 자,
마지막은 뭐냐면 이게 실제로 여기 f
역함수랑 g 역함수 합성한 거랑
똑같이 나오니 하는 얘기입니다. 근데
f 역함수는 아까 구해 놨지? 그래서
g 역함수만 구한 다음에 합성을
할게요. 자, g 역함수는 여기 또
있네요. 여기 왼쪽에 g가 있기 때문에음
우리 g 역함수 구하기
그러면 첫 번째 자,이 식을 x하고
정리하면 넘기고 넘기면 돼. x는
자, 두 번째 자리 바꾸기. y는
-x + 3이 됩니다. 그러면 얘는
무슨 얘기냐?
자, 라스트이 두 개 합성하자. 얘랑
얘랑 합성하면 끝이에요. 어, 최종
합성까지. 그래서 f에다가 b를
합성해 보자까지 하면 그게 끝입니다.
그 실제로 합성을 해 볼게요. 마지막
그러면 f 역함수 이거는 g 역함수
x랑 똑같고 자 g 역함수 x는 -x
+ 3이라 그랬지 그대로 집어넣으면
돼요. 그럼 이거는
f역 역함수 -x + 3.
자, f역 역함수 아까 맨 앞에
있었지? 거기 x 대신 그냥
집어넣으면 됩니다. 자, 맨 앞에
있는 여기 1x + 2에 집어넣으면
x 대신 넣으면 되죠. 그러면
우리 1 - x + 3는 하자.는
하자.는 는
는
그 + 2까지 그럼 계산해 주면 -13x
-13x
3 약분하면 1이고 1하면 더
3이다. + 3 그러면 최종적으로 f
역함수 합성 g수
x는 -13x
+ 3이 됩니다. 음.
음.
자, 그러면 여기서 여러분들이 누굴
봐야 되냐?이 이 왼쪽
g합성 f의 역함수랑 역삼수한 거
뒤집은다는 합성한 거랑 같은 값이
나오죠. 결국 돼요라고 얘기하는 거야.
자, 오랜만에 좀 많이 썼지.
여러분들이 여기서 얻어가야 되는 건
뭘까? 이거를 처음부터 끝까지 다
성립함을 확인해 보자라고 시험 문제 낼까?
낼까? >> 아니요.
>> 아니요.
>> 어, 그렇게 내질 않아. 단 이런
것들은 할 수 있지. 역함수도 구해서
역함수의 뭐 y 절편을 구해야 이런
얘기를 할 수 있잖아. 음. 또는
합성 함수의 y 절편을 구분. 그럼
합성 함수를 할 줄 알아야지. 어,
기본적으로 한 줄 역함수 구하세요.
그러면 걔는 구할 수 있어야 돼.
합성함수 구하세요. 그러면 합성함수
구할 수 있어야 돼. 어, 그런
기본적인 단편적인 것들은 할 수
있어야 됩니다. 근데 여기서
보이세요라 그러니까 다 보여줬을
뿐이야. 됐니? 넘어가도 되겠어? 다 적었어.
>> 어디로 놓쳤는지 모르겠어. 집중해야지.
집중해야지.
쓸게 많아. 내가 쓸게 많다
자, 시간 좀 남았어. 자, 이제
마지막 거 할 거야. 마지막 거.
마지막 중요합니다. 어, 맨 뒤.
오늘 세 개 한다 그랬지? 세 개.
첫 번째 역함수의 존재 가능성. 언제?
언제? >> 1대.
>> 1대.
>> 1대 1 대응일 때. 두 번째 역함수
구하는 방법. 계속했지. 계속
반복하는 거야. 첫 번째 x는 하고
정리하고 xy 자리 바꾸세요. x는
하고 정리하고 자리 바꾸세요. 그럼
반복하면 돼. 마지막 세 번째
그래프로 들어갈게요. 자, 그래프로
들어갈 건데 자, 볼게요. 자, 함수
fx의 역함수 y는 f 역함수 x가
존재할 때 자, y는 fx 위에 점
a, b가 있다고 하자. 그러면 a,
b를 넣으면 성립하지. 그럼 b는
어, 여기 파랑으로 쓸게요. b는
fa가 될 거예요. 음. a를 넣으면
b가 되잖아. 그럼 반대로
역함수에다가 b를 넣으면 a가
되겠지. 거꾸로 가니까 그러면 우리
a는 f 역함수 b가 될 거예요.
자, 그 말은 원래 a b가 원래
함수 위의 점이라면 b a는 역함수
위의 점이에요. 그 점 b a는
y는 f역함수
x 위에이 그래프 위에 점이 됩니다.
자, 근데 우리 B, A는 A, B랑
서로 자리가 바뀌었지. 우리 이거
예전에 배웠는데 대칭 이동 때 자리
바꿨으면은 뭐의 대칭이라 그랬니?
y는 x에 대한 대칭이라 그랬지. 그
말은 원래 함수에 a, b가 찍혀
있다면 걔를 y는 x에 대칭 이동한
점은 역함수 위에 찍혀 있는
점이에요. 얘기야. 모든 점들이
그렇게 가. 그러면 그 원래 함수에
있는 모든 점들이 대칭 이동했어.
그러면 그 그래프 자체도 대칭 이동한
거랑 똑같이 생겼어요. 그래서 직선
y는 x에 대해서 대칭 이동하기
때문에 한 점이 모든 그래프 위의
점이 y는 x 위에 대해서 대칭이기
때문에 우리는 함수 자체가
대칭이다라고 얘기할 수 있습니다.
여기서 오른쪽을 보면 이제이 그림이
나와. 자 우리가이 파란색이 있어.
자 파란색은 1대 1 대응이니?이
파란색 1대 1 대응이야.
일때 대응이 이제 옆으로 그을 때마다
하나잖아. 맞지? 그럼 역함소가
존재해. 역함소가 존재하는데 역함수를
그리세요라 그러면 아 식을 찾은
다음에 그 식을 그리고 싶어. 근데
그게 못 그리는 경우가 많아. 식잡를
못 찾는 경우가 많아. 하지만 그림은
그릴 수 있어야 돼. 왜? 파란색이
있고 y는 x는 왜 그릴 수 있잖아.
45도 그리면 돼. 접었다 피면
역함수 그래프예요. 그래서 역함수
얘기가 나오면 여러분들이 그래프를
써야 되는 경우가 되게 많아. 그럴
때는 y는 x에 대한 대칭성을 꼭
이용을 합니다. 여기까지 이해했니?
무슨 말인지? 자, 그래서이 밑에도
똑같아.이 파란색, 빨간색도 결국에
아,이 파란색이 있으면 얘를 y는
x에 대칭 이동하세요. 그러면
빨간색이 나오겠지? 어, 그래서
빨간색이 나와서 아, 대칭이다라고
되어 있어.
자, 밑에 문제 3번에 1번, 2번도
그렇게 그리세요란 얘긴데 근데 여기선
그리세요까지만 하면은 내가 이게
중요하다고 얘기한 거랑 크게 관련이
없어 보이지. 이제 중요한 얘기를 좀
해 볼게요. 자, 우리가 함수가 여러
개 나오면 그래프에다 함수가 여러 개
나오면 뭘 찾고 싶어요? 보통
>> 함수가 막 여러 개 나와. 우리 막
2차 함수도 나오고 1차 함수 나오고
그러면 뭘 찾니? 보통 많이 찾는 거.
거.
>> 교점을 많이 교점. 맞지? 함수가
요렇게 나온다는 얘기는 그 함수의
교점을 찾고 싶어해요. 그 말은 자
우리 원래 함수랑 역함수가 있으면
당연히 원래 함수와 역함수의 교점을
찾고 싶어 해요. 어 근데이 그림을
봐봐. 자이 파란색이 있어. 파란색이
있고 빨간색이 있어. 얘네가 언젠가
만나야 돼. 그럼 만날 때 항상 누가
같이 지나갈 것 같아?
>> y는 x 검정색도 지나가게 보일 거야.
거야.
>> 보여. 네.
>> 그래서 여기서는 우린 이런 걸 알 수
있어요. 언제 함수 y는 fx와 여기
두 점 쓸 거야.
y는 f역 역함수 x. 얘네는 y는
x에 대해서 대칭성을 가지기 때문에
그래서 이런 얘기 할 수 있어. 교정
구하세요. 여기에 결정 구하세요.
그러면은 아 그냥 원래 함수랑 y는
x랑 교점 구해도 돼. 또는 역함수랑
y는 x 교점을 구해도 돼.까지만
알면은 여기까지만 알고 있는 사람은
반만 아는 거야. 자, 그러면 이런
생각을 해 볼게.이
그림을 보면은 뭐 당연한 얘기 같아.
그이 그림도 보면은 얘가 지금 y는
x를 안 만나기 때문에 교점이
존재하지 않는데 조금 내려오면은
걸치면은 그 대칭 이동에도 막 걸쳐서
교점이 생기잖아. 근데 예외인 경우가 존재해요.
존재해요.
>> 네. 선생님 아까 얘기한 것 중에서
역함수가 존재하려면 1대 1 대응이고
1대 1 대응이면 그래프는
증가하는 꼴이던가. 자, 증가하는
함수의 우리 역함수는 증가하니 감소하니?
감소하니?
증가하는 함수의 역함수는
>> 그것도 증가야. 눈으로 봐. 보면
되잖아. 맞지? 증가하는 함수의
역함수는 증가하고 있어. 근데
감소하는 함수의 역함수도 감소해요.
그럼 그거를 한번 그려 볼게.
그려보면은 이런 얘기가 나와. 그려
보면은 자, 감소하는 걸 하나쯤 그려
볼게요. y는 x를 먼저 그리고
만약에 역함수가 요런 식으로 생겼어. 이렇게.
자, 보면은 얘가 좀 대칭이 되게 뭐
이렇게 생길까? 이렇게 생겼다고
하자. 이렇게 생겼다고 하자. 자,
그러면 얘는 지금 대칭이거든. 접었다
피면은. 그러면 얘 역함수를 그리면
어떻게 되냐? 역함수를 그리면 여기
빨간색이 똑같이 나와요. 그럼 얘의
교점은 두 개의 교점은 어떻게 돼?
y는 x 위에만 있니? >> 아니요.
>> 아니요.
>> 아니지. 다른데 있을 수도 있지.
>> 맞지? 그니까 여러분들이 문제집을
보면은 이런게 되게 많아. 그니까
증가하는 꼴만 주고장창 주어지고 y는
x랑 교점만 찾으래. 근데 아닌
경우도 존재한다는 얘기야. 아닌
경우. 그래서이 밑에 하나 더 적어야
되는게 있어요. 밑에 어떤 걸 적어야
되냐? 자,
색깔 좀 다르게 해서 아, 방금 했던
거 우리 원래 y는 fx와 y는 f
역함수의 교점 y는 x까지 여기 꼭
주석을 달아 줘야 돼. 오른쪽에 언제
함수가 증가하는
꼴일 때만 이런 얘기를 할 수
있어요. 그럼 감소하는 꼴은 이런
얘기를 해 줘야 돼요. 음. y는
f(x) 그리고 y는 f 역함수 x의 교점이
교점이
y는 x 그 대각선 직선 위에
그러면 이름들 유감이지. 아 이건
참일만 좋은데 그럼 밑에 건 어떻게
해라는 질문이 들어올 수 있어? 그럴 때는
때는
>> 너희들이 싫어하지만 그래프로
그래프로
파악해야 돼요.음 변수가 되게 많아.
어 그래프를 그려보고 아 다른 데서
저 만날 수 있네 없네를 꼭 얘기를
해 줘야 돼. 그다음에 또 수식으로
들어가야 됩니다. 여기까지 됐니?
자,이 밑에 거는 다음 시간에 방금
했던 것들을 실제로까지 구해보는 좀
연습을 해 볼게요. 여기까지 하겠습니다.
자, 이제 저번 시간에이어서 문제
3번 할 건데 걔를 확인하기를 지워서
한번 수업을 해보죠. 여기에 어떤
개인지 기억나니? >> 네네.
>> 네네.
>> y는 f(x)와 y는 f의 역함수는
어디 위에서 교정 교차한다? y는 x 위에서
위에서
>> y는 x 위에 교점이 존재한다라고
얘기를 했죠. 그런데 어느 경우에
>> 함수가 증가하는 꼴일 때는 거기 위에
존재하는데 아닐 수도 있다 그랬죠? >> 네.
>> 네.
>> 기억하니? 아닌 거는 어느 경우에? 감소하는
감소하는
>> 감소하는 경우에는 y는 x 위에
말고도 교점이 생길 수 있어요라고
했습니다. 그건 약간의 이제 어 조금
어려운 형태인데 지금 기본 형태로
문제 3번 1번 2번 한번 같이 해
볼게요. 교과서에는 그림만 그리세요가
되는데 우리는 그림 그리는 거는 크게
의미가 없고 하나 그린 다음에 대칭만
하면 돼 우리는이 함수 주어진 함수랑
역함수와의 교점을 구할게요.
선생님하고 왼쪽 같이 해보고 오른쪽
여러분들이 해보고 그리고 또 필요한
얘기도 더 추가를 할게요. 자, 문제
3번 보면은 자, 문제가 얘는 이제
이렇게 얘기를 해 볼게.이 함수와
교점을 구하세요라는
문제가 나오면 여러분들이 어떻게
풀지에 대해서 얘기를 해 볼게요.
자, 함수의 교점을 구하라는 얘기는
함수 두 개를 알면 두 개를 같다라고
해야겠지. 그래서 역함수를 먼저 구해
보자. 저번 시간에 계속 했는데
역함수 구하는 걸 기억나니? 첫 번째
단계가 뭐였니? 역함수 y
y
>> 그럼 두 번째 단계고
>> x는 하고 표현하는게 첫 번째
단계예요. 그래서 -1을 넘기면 4x
먼저 쓸게요. 4x는
y + 2고 양변에 4를 나누면 x는
1/y + 1/4는 1/이죠. 자,
첫 번째 단계 끝났네. 두 번째
단계는 뭐였니? x와 y를 바꿨을
바꿨으면 됩니다. 두 번째 단계가
y는 1/x
+ 1이 돼요. 그러면이 마지막 두
번째 단계가 끝나고 나면 이식 1/4
x + 1/이 f역 역함수 x가
됩니다. 자, 그러면은 두 개의
교점을 구하세요? 역함수와 원래
함수의 교점을 구하세요. 그 얘기
뭐냐? 곧 fx랑
f 역함수랑 서로 같아요. 이걸
만족하는 x값을 찾으면 교점 x
좌표지. 자, 원래 함수는 4x -
2 y는 그리고 역함수는 y= 1/x
+ 1/이니까 두 개를 같다라고
줍니다. 그러면 4x - 2랑 1/x
+ 1을 같다라고 두고서 이걸
만족하는 x를 찾으면 교점의 x
좌표예요. 그래서 계산을 해 볼게요.
1/x 왼쪽 넘기면 4 4에서 1/4
빼면 15x고
-1 넘기면 1/에서 2하면 5가
돼요. 그러면 어떻게 되냐? 15x는
15x는
5가 됩니다. 근데 우리 x 구하는게
목적이기 때문에 15를 나누고 4를
곱하면 15 나누면 5 약분
>> 4 곱하면 2 약분 2가 나와서 2가
돼요. 그러면 여기에 x는 2가 되고
교점이니까 y 좌표 구해야 되지.
여기 y는 fx 집어넣어. 넣으면
넣으면
- 2라서 2가 돼요. 그래서 y도
2가 됩니다. y는 2 그러면 교점의
좌표는 누가 되냐? 2가
될 거예요.
자, 이게 원래 함수와 역함수의
교점을 구하세요. 그러면 아무 생각
없으면 이렇게 풀 거야. 근데 뭐가 길지?
길지?
기 때문에 이걸 조금 더 간편하게
어떻게 풀 수 있을까를 생각해 보면
역함수와 원래 함수 그래프의 성질을
이용할 거예요. 자, 원래 함수와
역함수와의 교점은 우리 어디서 만난다 그랬어?
그랬어?
>> y는 x. 네.
>> 그래서 얘는 원래 함수 y는 fx와
y는 x의
교점이랑 똑같아요.
역함수를 구할 필요 없다는 얘기예요.
굳이 구하지 않아도 형야
눈 떠 돌림 화장실 갔다 오던가.
자, 그래서 교점을 구하면 됩니다.
그러면 역함수를 구할 길이 없이 y는
fx 주어졌잖아. 그 y는 x는
주어졌잖아. 그래서 fx는 x라고
얘기를 할게요. 그러면 fx는
x를 만족하는 x를 찾으세요
얘기입니다. fx는 맨 처음 줄었죠.
얘는 4x
- 2는 x고 그러면 2 넘기고 x
넘기면 3x는 2라서 x는 23예요.
x는 2고. 자, 그다음에 이을 다시
원래 함수에 넣어도 되지만 우리는
y는 x가 있잖아. 여기 집어넣어도
돼요. 그럼 y는 똑같이 2가
됩니다. 그래서 y도 2
답이 똑같이 나오게 돼요. 그 말은
우리 원래 함수와 역함수의 그래프
특징을 기억하고 있다면이 빨간색 한
줄, 두 줄, 세 줄,네 줄만의 답이
나와요. 근데 이거를 모르고 있으면
역함수 구하고 서로 같다라 그래서
계산을 해야 돼. 근데 지금은 1차
함수가 더 충분히 할 수 있거든.
근데 2차 함수 나오기 시작하면
여러분들이 계산하는 과정에서 막
4차가 나오고 되게 어려워집니다.
정의역을 생각해야 되고. 음. 그래서
우린 기본 성질 원래 함수 교점은이
원래 함수 y는 xy 교점과 똑같다.
자, 이걸 그대로 이용해서 오른쪽
2번 한번 해결해 볼게요.이 빨간색만
이용해서이 방법 그대로이
함수 y는 -3 1x + 1과
역함수와의 교점을 구해 봅시다. 시간
함수화의 교점을 구해 봅시다. 방금
했던 거랑 똑같은 방식대로 얘기를
할게요. 성호야
바로 할게요. 자, 얘 보면은 자,
원래 함수와 역함수와의 교점을
여러분들이 보자마자 이런 생각을 해야
돼. 아, y는이 원래 함수와 3분의
-3 + 1과
y는 xy의
교점을 찾으세요.라는
얘기랑 같구나.라고 라고 생각을 하고
두 식을 같다라고 둘 거예요.
그러면은 두 식을 같다라고 두면 -13x
-13x
+ 1은 x가 되고 자 -3x 넘기면
+ 13 4x= 1 그러면 4 나누고
3 곱하면 x는 3이 됩니다. 그러면
자 x는 3 그리고 y는요 y는 xy
교점이기 때문에 집어넣으면 y는
34이네요. y 34
그러면 교점의 좌표는 34이 됩니다.
됩니다.
>> 음. 왜? 왜?
>> 6이 나
>> 자, 그래서 답은 이렇게 나오는데
이제 여기서 하고 싶은 말 있어. 어
저번 시간에 분명히 선생님이
함수가 증가하는 꼴일 때는 y는 x
위에 무조건 있다 그랬는데 감소하는
꼴에서는 모른다라 그랬지. 지금이
함수 보면은 기울기가 음수잖아.
오른쪽 아래로 내려가는 형태예요.
그러면 y는 x 위에 말고 다른데
있을 수도 있어요. 교점이. 그래서
뭐 하라 그랬어? 뭐로 파악한다
그랬어? 그래프를 그리세요라
그랬습니다. 오른쪽에 살짝 그려
볼게요. 그러면 자 실제로 y는
-3에서 + 1을 그린다. 그러면
절편만 좀 찍어 볼게요. 자 x가
0일 때 y는 1. x가 y가 0일
때 x는 3이에요. 그래서 0 1이고
그리고 여기는 3 0이 됩니다.
그러면 요런 직선이 될 거야.
자, 그리고 우리 y는 x라는
기준선이 있고 여기 대칭이니까 y는
x를 한번 그릴게요. y는 x.
그리고 이렇게 대칭 이동을 시키면
빨간색인 역함수가 나오겠죠. 네.
빨간색이 얘는 우리 여기 점들도 같이
대칭해니까 3 0은 0 3으로 0
1은 1 0으로 대칭 이동이 됩니다.
그래서 여기서 여기 1이 되고 여기
3이 돼서 이렇게 이으면 얘가
역함수가 돼요. 자, 파란색이 원래
함수, 빨간색이 역함수예요. 얘네의
교점은 눈으로 봤을 때 y는 x 위에
있죠. 보이지? 그래서 아, 얘는
y는 x 위에 있다라고 생각을 할 수
있어. 그런데 대부분 직선이 이렇게
돼. 이런 모양이야. 어, 그래서
y는 x랑 직선을 직선 교점을 찾으면
되는데 이제 아닌 경우가 존재하겠지.
어, 여기서 만나지 않는 직선이
존재해요. 우리 이거 중간고 때 생각
넓히기에서 한 적이 있습니다. 보연아.
보연아.
깨세요. 어, 생각 넓히기에서 이런
얘기를 한 적이 있어. 우리 직선의
방정식이 있는데 얘를 y는 x에
대해서 대칭 이동했을 때 자기 자신이
되는 경우가 있어. 기억하니?
언제 자기 자식됐니? 우리 한 적
있는데 중간공사 내용이야. 생각넓게
있었어. 직선 중에서
>> 기울기가 -1인 거는 대칭 이동을
해도 자기 자신이냐 그랬지? >> 네.
>> 네.
>> 그런게 있었습니다. 절편은 상관없이
기울기 -1이면 접었다 펴도
똑같잖아. 자기 자신이잖아. 그
말은이 원래 함수와 역함수는 교점이
y는 x 말고도이 수많은 곳에서 생겨요.
생겨요.
여기까지 됐어.
또 다른 트리 케이스도 있어. 트리
케이스 뭐냐면 그냥 기울기 1짜리는
접었다 피면 자기 자신이지. 그 얘는
교점이 여러 개 생겨요. 무습이 많이
생깁니다. 그런 케이스들이 있기
때문에 그 두 개만 조심하면은
나머지는 무조건 y는 x랑 교점이 생깁니다.
생깁니다.
이해됐니, 서준아?
자, 그러면이 직선 말고도 그러면 또
다른게 있어요. 또 다른 예시 하나만
들고 이제 뒤로 넘어갈 거예요.
예시가 뭐냐면 아, 그래프가 감소하는
꿀인데 역함수랑 교점을 구했을 때
y는 x 말고 생기는게 어떤게 있나
이런 것들이 있습니다. 이제 이런 건
예시 하나만 딱 보고 넘어갈게요.
음. 한번 알 한번 본 거랑 안 본
거랑 달라요. 자, y는
-x제 + 1이라는 함수가 있다고
치자. 근데 정의역 공역을 좀 설정해
줄게. 정의역을 x는 0보다 크거나
같고 1보다 작거나 같아요. 0에서
1까지만 경역을 할게.
그리고 1대 1 대응을 만들기 위해서
공역도 설정을 할게요. 공역을 이제
y의 범위라 그러면 0보다 크거나
같고 1보다 작거나 같은이 범위
내에서만 얘기를 할게요. 공역.
자, 그리고 나서 얘를 그리면 물론
함수는 되게 많지만 얘는 예시를 준
거야. 이걸 그리면 어떻게 생겼냐?
얘를 그렸을 때
자 이거는 2차 함수니까 위로
볼록이죠. 위로 볼록인데 꼭짓점이 0
1이고 그리고 얘는 0 1을 지나고
1 넣으면 0이 돼. 그럼 1
0을지나 그러면 실제로이 그래프는
여기가 1이고 여기가 1일 때 요런
식으로 생겼어. 요런 식으로 생기냐?
음. 원래는 이제 위 밑에서 올라와서
외곡 시점 찍고 쭉 내려가는 앤데
얘는 이렇게 생겼습니다. 자, 얘를
우리는 역함수를 만들기 위해서 먼저
역함수가 존재하는지부터 볼게요. 얘
1대 1 대응이 >> 네.
>> 네.
>> 1대 1 대응이 뭐야? 옆으로 그었을
때 한 번씩 만나야 돼.이 밑에는요?
공역 내에서 옆으로 그는다 그랬지?
공역이 0에서 1 사이지? 0에서 1
사이에서 옆으로 그을 때마다 무조건
한 번씩 만나죠. 1대 1
대응이에요. 그러면 역함수가
존재해요. 역함수를 우리는 어떻게
그렸어? y는 x 직선을 그은 그은 다음에
다음에
응 그은 다음에 얘 대칭 이동을
시키지. 자, 그런데 우리 1 0인
점은 대칭 이동해도 0 1로 가고
얘는 대칭 이동하면 1로 가지.
그리고 여기선 똑같이 만나겠지. 대칭
이동해 봤자.이 점은 그러면 요렇게
생깁니다. 얘가 요런 식으로 생겨.
그러면 교점이 하나, 둘, 세 개의
교점이 나와요. 근데 y는 x에 있는
건 당연히 있겠지만 나머지 두 군데서
생길 수 있단 얘기예요. 이런게 단인
예야. 이거 전혀 제가 배우는 거는
상관없는 거 아니에요? 상관 있어요.
우리 빨간색을 좀 있으면 배우거든
뭐라 부르게?
2차 함수의 역함수는 무슨 형태게?
이제 뒤에서 배울 건데 무리 함수 형태예요.
형태예요.
>> 어, 루트가 나오거든. 그래서 무리
함수 형태기 때문에 다른 분명히 나올
수 있는 얘기입니다. 어 그래서 이런
예시들도 알고 있으면 좋습니다.
넘어갈게요. 오늘 받은 거 한번 펴봅시다.
펴봅시다.
오늘 받은
유리 함수와 무리 함수를 한번 해 볼게요.
볼게요.
이거를 녹화 잠깐 끊고 위험할까? C
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