0:04 우리 집합과 명대 마지막 시간 실수
0:06 성들에 이용하고 절대 부등식을 증명할
0:09 수 있다 들어갈 건데 절대 부등식은
0:11 우리가 1학기 때 배웠던 개념이랑
0:13 비슷한게 있어요. 혹시 뭔지 아는
0:16 사람 아무거나 찍어 봐. 맞추기 힘든
0:19 거야. 이름이 전혀 다르거든.
0:22 절대 부등식이라는게 1학기 때 비슷한
0:28 >> 비슷한 개념.
0:30 자, 절대 부등식은 절대적으로
0:32 성립하는 부등식이야.
0:34 >> 항등식이라는 거 1학기 때 배웠지.
0:36 항등식이 뭐야?
0:38 >> 항상 성립하는 등식. x y 어떤 걸
0:40 집어넣어도이 넣는 무조건 성립해.
0:42 그게 항등식이야. 절대 부등식은
0:45 뭐냐면 xy 어떤 걸 집어넣어도이
0:46 부등호가 항상 성립해. 그럼 절대
0:49 부등식이에요. 그래서 항등식과 비슷한
0:51 개념을 부등식 버전이라고 생각하면
0:53 됩니다. 근데 항등식 좀 어려워.
0:55 항등식은 그냥 우리 두 개 수치
0:56 대입법, 개수비교법으로 한면 다
0:59 풀린다. 절대 부등식은 그렇게
1:01 풀린다는 개념이 어렵기 때문에 증명의
1:03 단계로 들어가야 돼요. 그 실제로 왜
1:05 이게 더 크니 크거나 같니에 대한
1:07 얘기를 하는 겁니다. 그래서 우리가
1:09 좀 필요한 것들은 빨리빨리 적고
1:12 예,게 많습니다. 자, 부등식 x제곱
1:14 - 1이 0보다 작다. 이거는 우리가
1:17 아는 흔한 2차 부등식이야. 2차
1:19 부등식은 우리가 해를 구했지. 이거
1:21 인수분해에서 합차 공에서 풀만하면
1:24 x가 -1보다 크고 1보다 작은데이
1:28 조건 내에서만이 부등식이 참이에요.
1:30 자, 그런데 x제 + 1이 0보다
1:34 크다. 얘는 x에 어떤 걸 집어넣어도
1:37 항상 0보다 커요. 무조건 성립해요.
1:39 그래서 아,이 위에 있는 부등식은
1:42 특정 실수 범위에서만 참이고 아래
1:44 거는 항상 참이에요. 근데 우리 아래
1:48 것처럼 언제나 성립하는 부등식을 절대
1:52 부등식이라고 얘기를 합니다.
1:54 무조건 성립하는 부등식. 종류는 되게
1:56 되게 많이 있어요. 그래서 그것들을
1:58 몇 개 보여 줄 건데 그중에 되게
2:01 중요한게 하나 지나가요.
2:02 자, 예를 들어서 우리가 아는
2:04 기본적인 부정식 성질들 이런 거 다
2:06 이용할 건데. 자, 1번 보면 a가
2:09 b보다 크면이 넘기면은 a - b는
2:12 당연히 0보다 크죠. 어, 이제이
2:13 양쪽 화살표를 여러분들이 아무 생각
2:15 없이 보지 말고 P이면 Q, Q
2:17 2이면 P. 그 말은이 오른쪽이
2:19 성립하면 왼쪽도 돼요. 그래서 양쪽
2:21 화살표를 보면서 어, 명제 표기네.
2:23 이런 걸 좀 알아야 됩니다. 자,
2:25 그다음에 2번 볼게요. 자, 어떤
2:27 수를 제곱하면 실수를 제곱하면 항상
2:30 0보다 크거나 같죠. 당연한 얘기야.
2:32 그다음에 그러면 그 0보다 크거나
2:34 같은 걸 두 개 더해도 0보다 크거나
2:36 같죠. 그리고 이것도 당연히 되는
2:37 얘기예요. 1 2 3 4 5는
2:38 외우는게 아니고 어, 그렇지 하고
2:41 넘어가면 돼. 그 3번 볼게요. 제곱
2:43 + 제곱이 0이래요. 근데 아까
2:45 각각이 제곱은 0보다 크거나 같다 그랬잖아.
2:46 그랬잖아.
2:47 >> 그러면 더했을 때 0이란 얘기는 둘
2:50 다 0이란 얘기죠. 그러면 a도 0,
2:52 b도 0이란 얘기예요.네 번째
2:56 볼게요. 자 절댓값을 제곱하면 그냥
2:58 제곱이랑 똑같아요. 절댓값의 제곱은
3:00 그냥 제곱이랑 똑같습니다. 그래
3:03 절댓값끼리 곱하면 절댓값을 합쳐 줄
3:05 수 있어요. 머릿속에 숫자를 막
3:07 집어넣어 봐. 자, 마지막 거. 여기
3:10 보면은 절댓값 a는 그냥 a보다
3:12 무조건 커요. 만약에 a가 양수라면
3:15 똑같지. 음수라면 여긴 양수고 여긴
3:17 음수가 되니까 더 크죠. 그래서
3:20 절댓값 a는 그냥 a보다 항상 커요.
3:22 크거나 같아요. 다음 거 볼게요.
3:23 5번. 자, 둘러 양수일 때
3:25 기준이야. 그럼 0도 뭐 포함되도
3:29 되긴 하지만 a가 b보다 크다면
3:32 제곱하면 당연히 a제곱이 더 크겠죠?
3:34 그 얘기입니다. 그래서 1 2 3 4
3:36 5를 여기 쭉 나와 있는데 이거는
3:39 여러분들이 외울게 아니라서 그냥
3:41 보고서 이해하고 얘를 이제 갖다가
3:43 증명할 때 많이 씁니다. 자, 그
3:46 밑으로 넘어갈 건데 문제 몇 번이야?
3:48 5번이 있죠? 근데 문제 5번하고
3:51 지금이 개념 밑에 타입 공간 있죠?
3:53 타입 공간에 예제를 좀 쓸게요.
3:55 예제가 지금 쭉 빠져 있어. 예제가
3:57 세 개가 다 빠져 있거든. 예제 3번
4:01 하고이 사이 공간에다 쓰레줄씩
4:04 쓸 거야. 공간에 따라
4:06 자 교과서는 얘데 a제곱 + b제곱은
4:08 a보다 크거나 같으면 증명하시오라고
4:11 되어 있는데 자 증명하시오니까 결국에
4:13 이게 왼쪽에 확실히 더 커야 돼라는
4:15 얘기를 해야 돼. 근데 우리가 뭐
4:17 3이 2보다 커요. 4가 3보다
4:19 커요. 그렇게 한쪽이 한쪽보다 크다는
4:21 걸 보여주면 되게 어려워. 근데
4:22 수학적으로 쉬운 것 중에 하나는
4:25 한쪽이 0일 때 양수인지 음수인지
4:27 보여 주는 건 쉽습니다. 그래서
4:29 어떻게 할 거냐면 왼쪽 식에서 오른쪽
4:31 식을 뺄 거예요.
4:33 빼고 나서 이게 만약에 0보다 크거나
4:36 같다면 왼쪽게 더 크거나 같다야
4:38 그거를 이용할 겁니다.
4:40 자, 어려워. 어려운 데는 쭉쭉쭉
4:42 따라오고 오늘 이해만 할 수 있어도
4:44 성공이에요. 그중에 필요한 건
4:46 정확하게 얘기를 할게요. 자,이
4:47 우리가 0보다 크거나 같다 내용할
4:49 건데 아까 0보다 크거나 같은 건
4:51 어떤 걸 제곱하면 0보다 크거나 같다
4:53 그랬지? a제 b제곱 0보다 크거나
4:55 같은데 -ab가 더 틀려. 그래서
4:58 -ab로 가져가면서 완전 제곱식을
5:02 만들게요. a제곱 - ab 그다음에
5:05 더하기 절반의 제곱이 1/4 b제곱이
5:07 필요하지. 근데 b제곱이 있지.
5:09 그래서 b제곱을 쪼갤 거야. 1/4
5:11 b제곱 + 34 b제곱으로
5:13 쪼개입니다. b제곱을 이렇게 쪼개 줘요.
5:14 줘요.
5:17 그리고 나서 앞에 세 개만 딱 보면은
5:20 이거는 완전 제곱식이 됩니다. 그래서
5:24 a - 1 b의 전체 제곱이 되고
5:27 뒤에 건 34 b제곱이 돼서
5:29 제곱이잖아 0보다 크거나 같아요.
5:30 제곱이잖아 0보다 크거나 같아요.
5:32 34에도 0보다 크거나 같아요. 두
5:35 개 더하면은 0보다 크거나 같아요가 됩니다.
5:42 차리자. 음. 결국에 왼쪽 식에서
5:44 오른쪽 식을 뺐더니 0보다 크거나
5:46 같아요. 그렇기 때문에 우리는 넘겼을
5:50 때 a제곱 + b제곱은 항상 a보다
5:52 크거나 같다. 항상 만족하는
5:54 부등식이에요. 그래서 절대
5:56 부등식이라고 얘기할 수 있습니다.
5:59 열심히 적어. 적을게 많아요.
6:01 여기 이게 쭉 적고 이게 총 세
6:04 페이지 있어. 페이지 작업면 끝이야.
6:06 여러분들한테 이거 증명하세요라고 오늘
6:07 안 시킬 거야. 오늘 열심히 따라
6:10 적으면 돼. 왜 안 시키냐면
6:11 증명하세요. 그러면 너희를 맘대로
6:16 증명해서 어 결국에 다시 적어야 돼.
6:18 자, 근데 우리 절대 부동식 계속 할
6:20 건데 절대 부등식에서 중요한게
6:22 있어요. 중요한게 뭐냐면 이건 알아야
6:25 돼. 절대 부등식이 자, a제곱 +
6:27 b제곱이 a보다 크거나 같죠. 근데
6:29 어디에 관심을 좀 주냐면 오케이.
6:33 크거나 같은데 언제 그러면 같아.
6:35 언제 이게 등호가 성립해라는 걸 항상
6:37 꼭 물어봅니다. 마지막에 써 줘야
6:39 돼. 근데 이게 언제 는이야? 그럼
6:42 언제 이게 0이야? 오른쪽이도 언제
6:45 0이야를 물어보는 거예요. 자,이
6:48 제일 끝체가 0이 되려면 각각이
6:49 0보다 크거나 같으니까이 오른쪽이
6:51 0이 돼야겠지. 그럼 b가 뭐가 돼야 돼?
6:52 돼?
6:54 >> 0이 돼야겠지. 자, b가 0인데
6:55 여기가 0이 되려면 a가 뭐가 돼야 돼?
6:56 돼?
6:58 >> 0이 돼야겠지. 그래서 마지막에 꼭
7:00 뭘 써 줘야 되냐? 단 등호는 언제
7:03 능이냐면 등호가 능이잖아. 등호는
7:05 a도 0, b도 0. a는 b는 0일
7:07 때 성립한다까지 써 주면 절대
7:10 부등식을 다 써 준 거예요. 단호는
7:14 a는 b는 0일 때 성립한다.
7:16 앞으로 뒤에 나오는 모든 절대
7:18 부등식은 이거 꼭 써 줄 거야. 다른
7:20 등해도 쭉 써 줄 거예요. 자, 문제
7:22 5번도 볼게요. 똑같은 아이디어를 쓸
7:24 거야. 똑같은 아이디어. 그러면
7:26 빼야겠지? 아까도 뺐잖아. 왼쪽
7:29 식에서 오른쪽을 빼 볼게.
7:32 그래서 아 이것도 없자이 놓칠뻔했네.
7:34 우리 한 변을 0으로 만들면은 증명할
7:36 때 편한 경우가 되게 많아요. 절대
7:37 부동식에 되게 자주 나오는 거야.
7:40 한쪽을 0으로 만들기 위해서 넘겨서
7:41 그다음에 0보다 크거나 같다
7:44 이용합니다. 그 문제 5번은 1번도
7:46 그대로 해 볼게요. 왼쪽 식에서
7:49 오른쪽 식을 빼 볼게.이 뺀게 0보다
7:51 크거나 같은 건 참 좋겠어. 정리
7:53 한번 하자. 자, 우리 이거 중앙도
7:55 나왔던 거야. 완전 제곱식이잖아.
7:59 a제 + 2ab + b²곱에서
8:02 4ab를 빼면 a² - 2ab +
8:06 b제곱이 되고 얘도 완전 제곱식이네.
8:09 그러면 a - b의 제곱이 돼서
8:12 0보다 크거나 같아요.
8:15 왼쪽 식에서 오른쪽 식을 뺐더니
8:18 0보다 크거나 같네. 그 말은 왼쪽
8:21 식인 a + b의 제곱이 더 크거나
8:24 같아요. 증명 끝이야. 이건 쉽네.
8:32 따라서 a + b의 제곱은 4ab보다
8:34 크거나 같아요라고 얘기할 수 있죠.
8:37 그다음에 등호 얘기를 해야 돼.
8:39 여기서 등호는 언제 성립할 거? 언제
8:41 능일까? 등호를 고민하려면 요로
8:43 넘어가는 거야. 그 0 있는 쪽으로.
8:46 언제 0이야?
8:47 언제 0이야?이
8:50 안에가 0일 때지.이 안에가 0이려면
8:53 a랑 b랑 같아야겠지. 단증호는 a는
8:55 b일 때 성립한다라고 될 거.
8:57 그다음에이 초록색 밑줄 친 거는 증호
8:59 체크할 때 여길 봐야 돼요라는
9:03 얘기야. 아까 위에는 a도 0, b도
9:06 0 무조건 다 0일 때만 성립하지만이
9:09 밑에는 같기만 하면 성립해요. 같기만
9:15 자, 문제 5번은 2번도 같이
9:17 볼게요. 위에랑 아이 비슷하게 할
9:20 거야. 비슷해. 보면은 아 얘도 완전
9:23 제곱식을 만들고 싶은데 a제곱 +
9:26 2ab네. 그럼 뒤에 뭐가 필요해?
9:28 b제곱이 필요하지. 근데 2b제곱이
9:29 있지. 가를 거야. b제곱
9:32 b제곱으로. 그래서 아이 위에 식은
9:34 a제 + 2ab + 2b제곱은 얘를
9:38 갈라서 a² + 2ab + b² +
9:39 b제곱으로 갈라줬어요. 똑같은
9:41 논리야. 그건 아까처럼 앞에 세 개
9:44 갖고 와서 완전 제곱식을 만들어
9:48 줍니다. 그럼 a + b제곱 +
9:50 b제곱이 되고 똑같이 제곱 +
9:52 제곱이기 때문에 0보다 크거나
9:56 같아요라고 얘기할 수 있어요.
9:57 똑같은 논리를 위에 있는 걸 갖다
9:59 쓰는 거예요.
10:03 열심히 적자. 오늘은 적는 시간이야.
10:05 자, 등무 얘기를 해 볼까? 자,
10:07 이게 언제 0일까?
10:09 먼저 b가 몇일 때? 0
10:12 >> 0이 돼야겠지? 그러면 a는 따라서
10:15 >> 0이 돼야겠지. 단호는 따라서 이거
10:17 써 주고 단호는 a는 b는 0인데 항급한다.
10:25 더 접고 밑으로 이제 넘어갈 거예요.
10:27 오늘 거를 여러분들이 증명을 외워야
10:28 돼요. 외울 필요 없어요. 외우지
10:31 마세요. 근데 이제 등모 찾는 건 할
10:32 줄 알아야 돼. 계속 할 줄 알아야
10:35 되는 거 강조하고 있지. 그리고
10:37 여러분 나중에 이제 문제가 나오더라도
10:39 너희 모의고사 같은 거 보면은 증명
10:41 관련 문제가 하나 콩 나오는 거
10:44 알아? 어떤 형태로 나올까? 네모
10:47 박스가 있고 증명이 막 있는데 빈칸을
10:49 뚫어줘서 나오는 경우가 꽤 있어요.
10:51 빈칸이 그 여러분들이 그 증명을
10:53 읽으면서 아 만약에 여기가 빠져
10:55 있으면 여기는 내가 채울 수
10:56 있어야지. 근데 왼쪽 보면 채울 수
10:58 있잖아. 빼면 이거겠지. 채우는 연습
11:00 정도는 할 수 있어야 돼요. 그러면
11:02 기본적으로 이거 할 때 오늘 할 때는
11:03 아 이러면 이렇게 되고 이러면 이렇게
11:06 되지 하고 이해만 해도 성공이야. 어
11:08 스스로 증명은 좀 어렵습니다. 자
11:10 밑에 넘어갈게요. 자 예 4번을 또
11:12 추가로 쓸게요. 우리 사입 공간에
11:15 예제 4번은 a가 0보다 크고 b가
11:17 0보다 클 때 저 빨간 밑줄 친
11:19 이유는 저거 빼놓지 말라는 얘기야.
11:23 그때 2의 a + b는 루트 a보다
11:25 크거나 같아요를 증명하시오라고 되어
11:27 있는데 오늘 하는 거 이제 증명 세
11:30 페이지 중에 제일 중요한 페이지예요.
11:32 제일 중요한 거. 오늘 하는 거의 핵심.
11:33 핵심.
11:35 제일 중요하다는 얘기는 잊어버리면 안
11:39 돼. 여기는 외울 것도 있어요.
11:42 다 증명을 해 볼게요.
11:44 자, a가 양수고 b가 양수기 때문에
11:47 루트가 나왔잖아. 양수일 때 루트의
11:49 성질 중에 몇 개는 좀 쓰고 넘어가야
11:51 돼. 우리 a가 0보다 크면은 이런게
11:54 돼요. 루트는 루트 a * 루트
11:56 b라고 쓸 수 있어. 어, 이거 항상
11:58 되는 거 아니에요? 아니지. 만약에
12:01 a가 음수라면이 앞에 마이너스가
12:04 나온다고 1학기 때 배운 적이 있어.
12:06 근데 우리는 실수에서 얘기하기 때문에
12:09 a가 양수 조건에서 이걸 씁니다.
12:11 그리고 하나 더 있어. a가 있으면이
12:14 a는 루트 a * 루트 a지. b도
12:16 루트 b * 루트 b지. 여기까지도
12:19 한번 이제 쓸게. 그리고 다이도
12:23 고쳤을 거야. 갖다 쓸 거예요.
12:25 얘를 그냥 완전적으로 만드는 거야.
12:28 똑같은 과정이야.
12:30 자, 그러면 왼쪽식이 오른쪽 식보다
12:32 크거나 같다를 증명하기 위해서 아까
12:35 뺐죠. 똑같이 뺄게요.
12:38 + b 왼쪽 식에서 루트 a를
12:41 뺍니다. 얘가 0보다 크거나 같으면
12:42 증명 끝인데.
12:45 자, 우리 일단 분수니까 통분을
12:47 할게요. 통분하면 2분의
12:50 a + b - 2루트ab인데
12:53 근데 a가 위에서 루트 a의 제곱이고
12:56 b가 루트 b의 제곱이고 그 2루트
13:00 a는 2루트 a * 루트 b지.
13:03 쭉 쓰면 돼요. 위에다가 쭉 통분해서
13:09 자, 이렇게 하고 나면은 루트 a
13:12 루트 b를 각각 문자로 보면 a제 -
13:14 2ab + b제곱 완전 제곱식이
13:17 돼요. 얘는 완전 분자가 이제 완전
13:19 제곱식이 되는 거야. 그래서 2분의
13:22 루트 a - 루트 b의 전체
13:24 제곱이다로 정리가 됩니다. 제곱이
13:27 됐네. 2를 나눠도 어쨌든 0보다
13:30 크거나 같 됩니다.
13:35 그래서 우리가 원래 있던 거를 제곱을
13:37 한 건 아니고 원래 a가 있는 걸
13:40 루트 a의 제곱으로 표현하면서 완전
13:42 제곱식을 만들어 냈습니다. 자, 항상
13:45 0보다 크거나 같죠? 그래서 따라서
13:47 왼쪽게 더 크거나 같아요가 최종
13:50 정리한게 돼요.
13:52 여기서 한 발 더 나가서 등호
13:55 얘기해야 되지? 등호 언제 성립할까?
13:57 등호는 0을 쳐다보세요. 그랬지. 등호는
13:59 등호는 언제
14:00 언제
14:03 >> 누가 같
14:05 >> 정확히는 루트 a 루트 b가 같을
14:07 때지. 루트 a 루트 b으려면 a랑
14:11 b랑 같을 때 단호는 a는 b일 때
14:17 그냥 얘도 똑같이 완전 제곱식
14:20 만들어서 0보다 크거나 같을 이용하는
14:22 거예요. 자, 그런데 선생님 이거
14:25 되게 중요하다 그랬지. 얘는 중요하다
14:27 그러는 건 나중에도 활용이 된다는
14:29 얘기야. 이런 걸 볼게요. 우리 두
14:31 개 숫자가 있으면 더해서 나누기
14:33 2하면 우리 옛날에 이걸 뭐라
14:36 불렀어? 두 숫자 평균이라 불렀지.
14:37 맞지? 평균은 평균이야. 근데
14:39 더하기해서 나름 기양을 우리
14:41 산술적으로 평균이라 그래서 산술
14:44 평균이라고 풀려. 자, 근데 두 개를
14:47 두 숫자를 곱해서 루트를 하면
14:49 이학적으로 평균이 됩니다. 그 이거는
14:51 기하 평균이라고 불러요. 그래서
14:54 우리는 왼쪽을 산술 평균, 오른쪽을
14:55 기하 평균이라고 이름으로 붙일 거예요.
14:58 거예요.
15:00 근데 항상 산수 평균은 기평균보다
15:03 크거나 같아요. 성립합니다. 항상.
15:06 항상.
15:08 그래서 이거를 좀 밑에 적을게요.
15:10 여기는 한 줄 딱 적을게. 여러분,
15:12 이거 되게 중요한 거야. 얘를 우리
15:14 한꺼번에서 탄수기와 평균이라고 이름을
15:18 붙이고 a b가 둘 다 0보다 클 때
15:20 여기다 2를 곱해서 또 표현합니다.
15:23 분수가 기분 나빠서 2 양변 곱하면
15:26 a + b는 2루트ab보다 항상
15:29 크거나 같아요. 분수까지 없애 줘서
15:32 이걸 적은 다음에 얘는 별표 세 개를 할게요.
15:38 2학년, 3학년 때도 언제든지 이용될
15:41 수 있는게 언제든지 나오는게 한술기아
15:44 평균입니다. 갑자기 튀어나와. 그러면
15:50 선생님이 1학 때 이런 얘기를 한
15:52 적이 있어. 너희도 고등학교 때
15:54 최댓값 최소값 구하는 문제들이 막
15:56 나올 거야. 고등학교에서 세 개가
15:58 있다. 그래. 세 개. 우리 이미
16:01 하나 배웠어. 뭐 배웠니? 2차 함수
16:03 최댓식 기억나? 2차 함수 모양이면
16:05 완전적으로씩 만들어서 꼭 찾았잖아.
16:06 그거를 여러분들이 기억을 하고 있어야
16:09 되고 이제 두 번째가 나온 거예 한술
16:12 기아 여기서도 최소 얘기를 많이 해요.
16:13 해요.
16:14 >> 어 그리고 마지막 세 번째는 내년에
16:16 배를 미분해서 얘기가 나옵니다. 그
16:18 머릿속에서 최댓값 최소값이 나오면
16:21 왜냐면 처음에 2차 함수만 배우고
16:23 최대 최소 나오면은 다 해. 왜냐면
16:25 2차 함수밖에 배운게 없거든. 이것만
16:27 쓰면 돼. 나중에 최대 물어봤을 때
16:30 내가 알고 있는게 여러 개 있는데 그
16:31 중에서 뭘 써야 돼? 이전에 배웠던
16:33 것 중에 뭘 꺼냈어야 되는데 그럼
16:35 머릿속에서 몇 개는 의식적으로 알고
16:37 있어야 돼요. 최댓값 최소값은 2차
16:40 함수 한수기와 내려내면은 미분이다.
16:42 그 나머지 기타 등등은 그냥 그래프의
16:44 특정 뭐 특징 가지고 좀 이용하는
16:47 것들 있지만 그런 거는 이제 그래프가
16:49 워낙 특수한 경우라서 헷갈릴리 크게
16:52 많지 않을 거예요. 자 그러면 여기
16:54 왼쪽 먼저 하고 자 밑에를 반
16:57 가을게요. 밑에 반 가아서 왼쪽
16:59 오른쪽에 얘기를 할게요. 왼쪽은
17:03 자산기를 한번 똑같이 써 볼게. 자,
17:04 원래 그러면 이거 증명하려 그러면
17:06 이게 루트 루트 루트 해야 돼.
17:08 원래는. 근데 우리는이 빨간색을
17:10 안다는 가정하에서 할 거예요. 자,
17:14 한기하는 둘 다 0보다 클 때 그 두
17:16 개의 합은
17:19 2 루트 두 개의 곱보다 크거나
17:24 같아요. 옵니다. 자, 두 개의 합은
17:26 둘 다 0보다 일단 크면은 근데
17:28 0보다 크죠. 왜? a도 0보다 크고
17:32 b도 0보다 크기 때문에이 두 개의
17:35 합은 여기 a b 자리에
17:39 a a b가 들어가서 2 루트 두
17:41 개의 곱보다 크거나 같아요를
17:46 만족합니다. a 자리에 a b 자리에
17:48 a b가 들어간 거예요. 근데 우리
17:50 두 개 곱한 거는 약분돼서 2가
17:52 되거든요. 2루트 1이라서 아 약분
17:54 1이 돼서 2루트 1이라서 2가
17:57 돼요. 그래서 b + a는 항상
18:00 2보다 크거나 같아요라고 얘기할 수
18:08 이게 항상 성립해요.
18:10 근데 이걸 모르고 있으면 위의
18:12 방법대로 다 루트로 바꿔서 계산을
18:14 해야 돼 아는 사람은 요대로 하면 됩니다.
18:20 자 그래서 증후 얘기를 또 할게요.
18:21 자 증호는 우리 산수기가 평균에서
18:23 a는 b일 때 성립한다 그랬죠.
18:27 여기서 자 근데 우리가이 a하고 b
18:29 가지고 산술기를 때렸으면은 a b가
18:33 같아야 돼. 근데 지금은 b랑 a
18:36 b로 산수기하듯이이 동그라미 친 두
18:40 개가 같아야 되. 그래서
18:43 같을 때 성립해요. 그런데 이거 좀
18:46 정리하면 a제곱은 b제곱이야. a b
18:49 곱하면 제곱해서 같으면 a는 b거나
18:52 - b거든요. 둘 다 양수라서 a는
19:00 자, 근데 아까 절반 가르라 그랬지.
19:03 왜 절반 가르냐면 산수일은 요대로
19:05 끝내 버리면 이게 왜 중요한지
19:07 모르겠어요 하고 끝나 버려. 그래서
19:10 실제 문제에서 어떤 식으로 활용이
19:11 되는지를 한번 갖고 와 볼게요. 원래
19:13 교과서 막 찾아봤는데 우리 교과서는
19:15 없더라고. 이게 없으면 안 되는데
19:17 그래서 안 하려다가 내년에 갑자기
19:19 튀어나와 버리면 여러분들이 당황한단
19:21 말이야. 뭐 이거 써 본 적은 없는데
19:23 그래 한 번쯤 쓰는 예를 한번 갖고
19:25 와 볼게요. 자 예를 들어서 x가
19:28 0보다 클 때 어 반 갈랐지 0보다
19:31 클 때 x +의 최소값을 구해
19:34 주세요. 그리고 그 최소값일 때 x는
19:36 몇인지 구해 주세요라는 문제가 나올
19:39 수 있습니다.
19:47 물론 3학년 되면은 3학년 때 이제
19:49 배운 사람들은 이거 미분으로 풀 수
19:52 있어. 근데 2학년까지만 배운 사람은
19:55 미분으로 목어. 3만 원 때 이제
19:57 미적분 제대로 공부 안 하면 그
19:59 사람들은 산술기하로 풀어야 돼.
20:02 볼게요. 자, 두 개의 합이고 어
20:04 최솟값을 물어봤어. 아, 내가 하는
20:08 건 함수 현술기야. 미분인데 내년에
20:10 딱 갔더니 미분을 다 배웠는데 얘
20:12 미분할 줄 몰라. 어 그럼 미분은
20:14 아니고 2차 함수도 아니야. 그럼
20:16 남은게 뭐지? 탄수기어야라고 생각해야
20:18 돼. 또 탄수기라는 걸 의심하는 것
20:21 중에 하나가 탄수기는 양수 조건이
20:24 들어갑니다. 양수 조건이 나왔지. 자
20:28 x는 양수죠. 3x 3은 양수니
20:30 양수지. 양수분의 양수잖아. 그래서
20:33 x도 0보다 크고 3x도 0보다
20:35 크니까이 두 개로 산수기화를 할 수
20:37 있어요. 얘네가 각각 a b인 거야.
20:41 그러면 여기다 집어 넣으면 돼. x
20:45 넣으면 x + 3은 2루트 두 개의
20:47 곱보다 크거나 같아요.
20:50 자, 그러면 약분 x가 되면 얘는
20:53 2루트 3이 되지.
20:56 자, 그 말은 x + 3x은 항상
20:59 2루트 3보다 크거나 같아요. 그리고
21:02 반대로 얘기하면 3은 제일 작아왔죠.
21:05 제일 작은게 1루트 3이에요. 이게
21:07 최소값이에요. 얘기입니다.
21:09 그리고 x도 구해야 되지. 그러면
21:12 언제 2루트 3이야? 반 등호는 x랑이
21:14 x랑이
21:17 같을 때 성립한다라고 얘기를 했지.
21:19 그때 양변에 x를 곱하면 x제곱은
21:22 3이라서 x는 풀마 루트 3인데
21:25 그중에 양수니까 루트 3이 돼요라는
21:28 얘기입니다. 그러면이 더한 거의
21:31 최솟값은 2루트 3이고 그때의 x값은
21:34 루트 3이 돼요. 이런 식으로 x값을
21:41 어렵지? 다행히 여러분 교과서는이
21:43 예제가 없어지
21:45 문제 없네. 근데 그래도 여러분들이
21:47 이렇게 나오는 사병을 알고 있습니다.
21:49 이렇게 활용이 되는 거야. 그래서
21:50 얘를 꼭 알고 있어야 돼요. 중요해요.
21:52 중요해요.
21:53 뭐 이번 시험에 나와요, 안 나와요?
21:56 그게 중요한게 아니야. 이걸 알아야
21:57 내년에 나오면 나온다면 쓸 수
21:59 있습니다. 자, 그 밑으로
22:01 넘어갈게요. 자, 제일 중요한게 사실
22:03 2 페이지야. 여기야. 이제 그 밑에
22:05 페이지도 이제 쭉 적을 건데 밑에는
22:07 그냥 열심히 적고 그냥 이해가 되면
22:10 좋고 안 되면 어쩔 수 없지. 그래도
22:12 좀 적을게 있으니까 그 사이에 예제
22:14 5번도 적겠습니다. 마지막 페이지야
22:16 좀만 힘내자.
22:20 어, 증명은 원래 어려워. 어, 여기
22:23 중에 갑자기 어, 수학의 뜻이 생겨서
22:25 대학교에서 수학가를 간다. 그 수학
22:27 교육가를 간다. 그러면 4년 내내
22:30 졸업하는 순간까지 증명만해. 어,이
22:36 너희들 지나가면서 본 수학 선생님들은
22:37 다 증명화 하다가 이제 선생님이 된
22:40 사람들이고. 응.
22:43 뭐 증명하고 다른 것도 많이 하지.
22:44 자, 볼게요. 자, 다음은
22:46 증명하시오라고 되어 있는데 자, 우리
22:49 아까 여러 가지 막 확실한 성질
22:52 중에서 이런게 있었어.
22:54 하나가 양수. 다른 하나도 양수면 둘
22:57 다 0보다 크면 어, a가 b보다
22:59 크다면 제곱한 것도 더 커요라고
23:01 얘기를 했지. 어, 물론 이제 둘 다
23:03 양수뿐만 0보다 크거나 같으면도
23:06 상관이 없어요. 자, 절댓값 a +
23:08 절댓값 b는 0보다 크거나 같죠.
23:10 그리고 절댓값 a + b도 0보다
23:12 크거나 같죠. 그러면 제곱해서 해결할
23:14 거야. 왜 굳이 제곱을 해야 돼요?
23:16 절댓값을 없애는 방법 중에 제일
23:19 효율적인게 제곱이에요. 그래서
23:22 왼쪽에서 오른쪽 식을 바로 안 빼고
23:25 왼쪽을 제곱한 거에서 오른쪽을 제곱한
23:28 거를 빼 볼게.
23:31 왼쪽 식을 제곱한 거에서 오른쪽 식을
23:33 제곱한 거 뺄게. 둘 다 양수라
23:36 가능한 얘기야.
23:38 자, 왼쪽을 제곱하면은 아, 이거
23:40 절댓값 a의 절댓값 b를 각각
23:42 문자라고 생각하면 돼. 여기 xy라고
23:43 생각하면 돼. 그럼 완전 제곱식이죠.
23:47 x제 + y² + 2xy인데 왼쪽 걸
23:49 제곱하면 절댓값 a제곱이라 그냥
23:51 a제곱이야. 오른쪽 제곱하면 절댓값
23:53 b제곱이랑 그냥 b제곱이야. 그리고
23:56 2 곱하기 두 개의 곱이죠. 절댓값의
23:58 곱은 한꺼번에 합차 쓸 수 있어요라고
24:01 얘기를 했지.
24:04 자, 오른쪽 절댓값 전체의 제곱은요.
24:06 절댓값 전체 제곱은 그냥 제곱이랑
24:08 똑같아요. 완전 제곱식이야. a +
24:10 b의 제곱이랑 똑같아요. 그러면
24:12 a제곱 + 2ab + b제곱인데
24:15 뺀다면 마이너스가 각각 들어가겠죠?
24:17 이제 이거 정리만 하면 돼. a제곱
24:21 사라지고 b제곱 사라져서 2 절댓값
24:24 ab - 2ab 여기서 2를 묶어내면
24:26 2 가로 열고 절댓값 ab에서 ab를
24:31 네. 아까 또 그런 얘기도 했지.
24:34 어떤 수의 절댓값은 그 어떤 수보다
24:37 항상 크거나 같아요. 그러면
24:40 절댓값에서 어떤 수를 빼주면 얘네가
24:42 똑같지. 얘는 항상 0보다 크거나 같아요.
24:44 같아요.
24:47 >> 항상 0보다 크거나 같아요.
24:49 절댓값에서 절댓값 아닌 걸 빼면
24:52 무조건 0보다 크거나 같다. 그래서
24:55 아, 제곱한 거를 비교해 봤더니
24:58 왼쪽게 더 크네요. 어, 제곱한게
25:00 왼쪽게 더 커. 그러면 원래게 더
25:03 커요라고 얘기하는 거야.
25:06 제곱한게 0 왼쪽에서 큰으로 절댓값
25:10 a의 절댓값 b는 절댓값 a + b다
25:18 좀만 참아. 다 왔어, 얘들아. 음.
25:20 자, 등호 얘기를 해 볼까? 간증호는
25:23 한번 따져 볼까요?서 0을 찾아보면은
25:26 여기에 있네. 등호는 언제 성립할까?
25:31 등호는 반. 등호는 언제?
25:32 언제?
25:34 이게 0이 이게 언제 0이야? 뭐일 때
25:36 때
25:37 절댓값 a가
25:42 >> ab랑 같을 때지. 언제 같아?
25:46 절댓값 a랑 ab는 언제 같아?
25:48 >> 절댓값이 언제 그냥 사라져? 그
25:51 아니게 0보다 크거나 같을 때 성립한다까지
25:53 성립한다까지
25:55 등호 찾을 수 있어야 돼. 그 등호는
25:57 언제 성립하는지 계속 강조하지.
25:59 여러분들이 제일 많이 놓치는 부분이라
26:02 그래요. 제일 많이 놓치는 부분.
26:04 이 안에가 0이잖 절댓값이 그냥 A랑
26:06 같아야 돼. 이거는이 안에가 0보다
26:08 크거나 같을 때네요. 자, 이걸
26:10 바탕으로 이제 문제 7번도 할게요.
26:12 근데 7번만 적으면 끝나. 자, 7번
26:14 하려고 봤는데 아, 오케이. 위에서
26:15 이렇게 풀었으면 밑에서 이렇게
26:18 풀겠지. 제곱해서 빼고 싶어.
26:20 제곱해서 빼려고 했더니 약간의 문제가
26:24 생겼어. 혹시 문제가 보이는 사람.
26:26 제곱해서 그냥 바로 빼려고 했더니
26:28 문제가 생겼어.이
26:30 이 위에 거에서는 상관없었는데 밑에
26:33 거에는 상관 있는 순간이 생겨.
26:35 빼기 하면은 어떤 수가 나올 수
26:36 있어? 음수.
26:38 >> 음수가 나올 수 있지. 아까 위에서는
26:41 다 양수잖아. 양수는 왼쪽에서 크다면
26:45 제곱해도 왼쪽게 커. 근데 음수는
26:47 이게 제곱했을 때 바뀔 수도 있어요.
26:49 뒤집힐 수도 있어. 그래서 이런
26:50 생각을 해 볼게. 아 그러면이
26:52 오른쪽이 왼쪽은 절댓값이라 무조건이
26:54 0보다 크거나 같아. 생각할 필요
26:56 없어. 오른쪽이 양수일 수도 있고
26:58 음수일 수도 있지. 경우를 나눌
27:01 거예요. 첫 번째 절댓값 a -
27:05 절댓값 b가 0보다 크거나 같을 때
27:07 그때는 위의 방식 그대로 이용할
27:09 거예요. 상관없어. 이제 0보다
27:12 크거나 같다면 그러면 제곱에서 제곱을
27:15 빼 보겠습니다. 같은 방식으로 왼쪽
27:19 제곱에서 오른쪽 제곱을 빼 볼게요. 현재야
27:21 현재야
27:27 자, 제곱해 볼게. 자, 절댓값 전체
27:29 제곱은 그냥 제곱이야. 완전
27:31 제곱식이야. a제곱 - 2ab +
27:34 b². 딱 오른쪽은요. 오른쪽은 왼쪽
27:36 제곱하면 a제곱, 오른쪽 제곱하면
27:39 b제곱 - 2 * 두 개의 곱은
27:48 자, 똑같아. 위에처럼 다
27:51 사라집니다. 사라져서 a제곱이
27:53 사라지고 - 하나씩 넣어 주면 b제곱
27:56 사라지고 여기는이
28:00 절댓값 ab에서 2ab를 뺀게 돼요.
28:01 그러면 2를 묶어 주면 위에랑
28:04 똑같은식이 나와. 그래서 2 바로
28:07 열고 절댓값 ab - ab 이것도
28:10 똑같이 0보다 크거나 같겠죠? 음.
28:15 자, 그러면 같은 거 반복하는 거야.
28:17 아, 제곱에서 뺀게 0보다 크거나
28:20 같네. 그러면 제곱이
28:22 왼쪽에 더 크네. 크거나 같네.
28:26 그러면 원래 식도 왼쪽이 더 크거나
28:31 같네. 하고 간호는 아까랑 똑같이
28:34 절댓값 a는 즉 ab가 0보다 크거나
28:37 같은 성립한다. 하지하면은 왼쪽
28:39 증명은 위에랑 똑같은 과정으로 끝난
28:41 거예요. 쭉 적자.
28:44 한초 정도 적고 이제 오른쪽에 조금만
28:46 더 적고 끝낼게요. 위에 오른쪽에 한
28:57 그냥 적는 것도 이렇게 어려운데
29:03 물론 본인이 이제 증명을 좀 더
29:06 잘하고 싶어. 그런 사람들은 빈종이
29:08 한번 증명을 연습을 해 보세요. 근데
29:11 되게 수학적으로 여러분들이 상당하게
29:13 도움이 많이 돼. 증명을 스스로
29:15 연습해 본다는 거는 논리들이 안
29:16 맞으면은 증명이라는 거 할 수가
29:19 없거든요. 자, 볼게요. 자, 절댓값
29:22 a - 절댓값 b 오른쪽이 우변이
29:24 0보다 크거나 같을 때 이렇게 하면
29:26 돼. 0보다 작을 때는요. 작을 때로
29:29 처리해야겠지. 0보다 작을 때는 너무
29:32 당연한 얘기야. 생각해 봐. 왼쪽은
29:34 항상 0보다 크거나 같지. 근데
29:35 오른쪽이 0보다 작을 때면 그건
29:37 당연히 왼쪽이 큰 거 아니야?라고
29:39 얘기할 수 있지. 그걸 쓰면 돼.
29:42 그래서 절댓값 a - b는 0보다
29:45 크거나 같고 그 0보다 절댓값 a -
29:49 절댓값 b가 작음으로 최종적으로
29:52 절댓값 a - b는이 우변에 있는
29:56 절댓값 a 절댓값 마 아 절댓값 a
30:00 - 절댓값 b보다 크다를 만족한다라고
30:02 쓸 수 있습니다.이
30:04 명백하죠 이거는 그냥 이거 써 주면
30:07 이게 증명이에요.
30:10 한 등호는 등호가 없는데요. 등호가
30:11 없는데요. 등호가 있으면 안 되지.
30:13 등호가 있을 수가 없어. 음수고 얘는
30:15 0보다 크가 나왔는데 근데 같을 수
30:17 없지. 등호는 왼쪽에서만 가능한
30:20 경우라서 왼쪽에서 체크했으면 끝났어.
30:22 오른쪽은 더 쓸게 없습니다. 그래서이
30:24 우변이 0보다 크거나 같을 때 0보다
30:26 작을 때 두 가지를 나누어서 여러분들이
30:27 여러분들이
30:30 증명을 해 봐야 돼. 어렵죠? 어 다
30:32 적은 거 다 적었어. 마지막 복습만
30:34 하면 돼. 얘들아 증명은 외우라
30:38 그랬어. 외우지 마세요. 대신 빈칸이
30:39 뚫어져 있을 수도 있어. 그래서
30:41 여러분들이 기본적인 이해는 하고
30:43 있어야 돼요. 뚫렸을 때 내가 여기를
30:45 어떻게 채울지에 대한 고민을 좀 해야
30:47 되죠. 등호는 찾을 수 있어야 돼.
30:49 아까 말했듯이.
30:52 자, 그러면 방금 했던 거는 복습할
30:54 건데 얘들 3 4 5 복습하지 않고
30:57 이게 기본 부등식 성질이야. 또는
30:58 이제 등식의 성질이야.이 정도
31:00 여러분들이 알고 있어야 돼요. 그리고
31:02 꼭 외워야 되는 거. 아까 얘기했지.
31:05 환술기와 평균은 의식적으로 외워야
31:08 돼. 오늘 다 까먹잖아. 다 까먹어도
31:10 아까 말한 산술 기하 평균 항상 산술
31:12 평균은 기약 평균보다 크거나 같다.
31:15 A는 B를 성립한다. 얘는 기억을
31:17 해야 돼요. 2학년 3학년까지 3년
31:20 동안 갖다 쓰는 음식입니다. 오케이.
