0:06 자, 수업 시작합니다. 우리 명제부터
0:08 풀어 보도록 할게요. 다음 주 명제인
0:10 것을 모두 찾으시오. 우리 참 거짓이
0:13 명확한 문제이나 식을 명제라고 하죠.
0:16 자, 1번에 서울에 많은 사람이
0:18 많타의 기준은 명확하지 않기 때문에
0:21 명제가 아닙니다. 여기는 X. 자,
0:23 2번. 루트 5는 유리수가 아니다.
0:25 루트 5는 명확하게 무리수죠. 그래서
0:27 명제가 맞습니다. 그래서 2번은 명제.
0:28 명제.
0:31 3번 평행사변형은 마른모이다. 평행사
0:33 변형 중에는 이렇게 마른모가 아닌
0:36 것도 존재하죠. 누가 봐도 거짓이죠.
0:38 거짓인 것도 우리는 참거진 얘기할 수
0:41 있으니까 명제가 됩니다. 자, 4번.
0:44 x가 -1이면 x제곱은 1이다.
0:46 x에다 -1을 집어넣으면 제곱하면
0:48 1이죠. 근데도 명제예요. 그중에서부터
0:51 그중에서부터
0:54 참인 명제, 거짓인 명제, 그리고
0:57 참인 명제가 되겠죠.
1:04 자, 전체 집합 U 6가 1 2 3
1:07 4 5고 조건 P랑 Q가 있대요.
1:08 우리 조건이 나오면 진리 집합을
1:11 구하라고 했어요. 그래서 우리 P를
1:13 조금만 계산해 볼까요? 우리 인수
1:17 분해하면 x자하면 x - 2, x -
1:21 3이 0보다 작거나 같아서 x가
1:24 2보다 크거나 같고 3보다 작거나
1:26 같다가 됩니다. 그럼 이걸 만족하는
1:30 x는 2 또는 3이 될 거예요.
1:33 자, 그리고 q는 x는 4의 약수라고
1:35 되어 있으니까 이걸 만족하는 건 1
1:39 2 4죠. 자, 그러면 우리 2 3을
1:41 집합으로 하면 이건 진리 집합 P가
1:43 됩니다. 대문자.
1:46 그리고 1, 2, 4를 집합으로 하면
1:49 우리는 얘는 진리집합 Q가 될
1:52 거예요. 자, PQ가 주어져 있고.
1:54 자, 문제를 볼까요? 문제 소괄로
1:57 1번 보면 자, 조건 P에 대한 진리
2:00 집합은 우리는 대문자 P고
2:08 자, 이번에서 조건 Q에 대한
2:11 진리집합은 대분자 Q고 우리 방금 1
2:15 2 4라 그랬죠. 자, 3번 P에
2:17 대한 진리집합은 P의 여집합이에요.
2:19 자, 근데 U가 1 2 3 4 5라
2:22 그랬으니까 2 3 뺀 나머지 1 4
2:26 5가 됩니다. 자, 4번 not Q에
2:29 대한 진리집합은 Q의 여집합이고 바로
2:32 위에 1, 2, 4를 제외한 3하고
2:34 5가 되겠죠.
2:37 진리 집합이 정확히 누군지 파악하고
2:40 있어야 됩니다. 3번으로 넘어갈게요.
2:42 자, 3번. 다음 명제 역과 대우를
2:44 말하세요. 그러면 P이면 Q다에서
2:48 역은 자, 명제가 이제 P이면
2:50 Q이다가 있으면 역은
2:55 Q이면 P이다이고 대우는 그 역에서
2:57 각각 부정한 not Q이면 not
3:00 P다가 되죠. 그냥 쓰면 됩니다.
3:03 그래서 1번 보면 자, 역은 순서
3:05 바꿔 쓰세요. 그러면 x제곱이 아,
3:09 x가 1보다 크거나 같으면 2면
3:12 x제곱은 1보다 크거나 같다. 2다.
3:14 자, 대우는
3:16 방금 위에 했던 거를 다 부정
3:20 부정하면 되겠죠? x가 1보다 크거나
3:24 같다의 부정은 x가 1보다 작으면이면
3:28 x제곱도 1보다 작다이다.
3:32 자, 밑에 역은 순서 바꿔 쓰면은
3:34 자, x제곱이 유리수이면
3:42 그러면 x가 유리수이다.이고
3:49 이고 자 대우는
3:50 x제곱이 방금 위에 있던 거
3:55 부정부정하면 돼요. 유리수가 아니면
4:04 아니다가
4:07 됩니다. 이제 좀 있으면이 참 거짓에
4:09 대한 얘기를 하겠죠. 자, 4번으로 넘어갈게요.
4:11 넘어갈게요.
4:14 자, 조건 PQ에 대해서 P는
4:16 Q계에서 무슨 조건인지 말으세요라고
4:18 되어 있는데 자, 우리 쪽지 시험도
4:21 봤죠? p는 Q에기한 무슨 조건일까에
4:24 대한 얘긴데 이걸 기억하라 그랬어.
4:28 p면 Q다가 참이면
4:31 그러면 P는 Q이기 위한 충분
4:34 조건이라 그랬습니다. 참이면은 충분 조건.
4:42 그럼 한번 볼까요?
4:47 자, 반대로 Q면 P다가 참이라면
4:50 그때는 필요 조건이라 그랬죠.
4:52 둘 다 참이라면 필요 충분이라
4:54 그랬습니다. 자, 1번 보면 자,
4:57 p가 x는 3의 배수라 그랬어요.
5:01 그러면 우리는 아, 진리집합 p가
5:03 밑에다 쓸게요. 지리집합 p는 자,
5:07 3의 배수는 3, 6, 9 양수
5:10 범위에서만 볼게요. 이렇게 되고
5:13 점점점. 자, 그다음에 q는 진리집합 Q는
5:14 Q는
5:17 6의 배수니까 6, 12, 18
5:19 이렇게 가죠.
5:21 자, 그러면 이런 생각이 들 거야.
5:23 어, PQ가 나왔는데 P이면 Q에다가
5:27 언제 참이에요? 우리 기억을 되살려서
5:30 P이면 Q에다가 참이면은
5:33 참이 되려면 P가 Q의 부분
5:37 집합이어야 돼라고 얘기를 했습니다.
5:40 그럼 지금 1번에서 3의 배수와 우리
5:42 6의 배수가 있을 때 어떻게 되는지
5:45 볼게요. 자, Q가 P의 부분 집합이
5:47 되죠. Q에 있는 6, 12, 18은
5:50 다 P 안에 들어가고 반대로 들어가지
5:52 않으니까. 그러면 여기선 알 수
5:58 있는게 q가 p의 부분 집합이면
6:03 그러면 q이면 p에다가 참이고
6:06 그렇게 되면 p는 q이기 위한 필요
6:13 정확하게 구분할 수 있어야 됩니다.
6:16 자, 2번도 볼게요. 자, 2번도.
6:19 자, p가 x는 1이고 y는
6:22 1이에요. 그러면 p가 누구냐면 우리
6:24 1, x도 1, y도 1. 그래서
6:26 우리 1을
6:28 원소로 가지는 집합이라고 얘기할 수
6:34 있습니다. 1을 원소로 가지는 집합.
6:37 자, q는 우리 원소가 되게 많은데
6:41 xy 곱해서 1이면 자,이 안에 1도
6:43 있고 xy면
6:47 2 1도 있고 또는 5 1도 있고
6:52 무수히 많이 존재할 거예요.
6:54 자, 그 말은 우리 지금 p는 Q의
6:58 부분 집합은 되죠. 그래서 p가 q의
7:01 부분 집합이기 때문에 우리는 p면
7:07 그러면 p면 q에다가 참이면 충분
7:16 다음 왼쪽 보겠습니다. 자, 3번
7:19 보면은 자, p가 절댓값 x가 2보다
7:22 크다. 그럼 우리는 이거
7:25 부등식을 풀면 x바 우리 x는
7:27 절댓값이 2보다 클려면 x는 2보다
7:30 크다 또는
7:34 x는 -2보다 작다가 돼요.
7:38 근데 보니까이 q랑 똑같이 생겼죠.
7:41 그래서 아 얘는
7:45 p랑 q랑 똑같네.
7:48 그러면 p랑 q랑 똑같으면은 p이면
7:51 q이다도 참이고
7:54 q이면 p이다도 서로 참이 됩니다.
7:56 그럼 우리는 필요 충분 조건이라
8:04 음. 진리 집합의 포함 관계를 통해서 우리가
8:06 우리가
8:07 충분 조건, 필요 조건, 필요 충분
8:11 조건을 알아낼 수 있어야 합니다.
8:15 됐으면 5번으로 넘어가겠습니다.
8:17 다음 명제의 부정을 말하고 그것의 참
8:20 거짓을 판별하시오라 그랬습니다. 자,
8:22 명제의 부정이 있으면 자, 우리 명제가
8:25 명제가 참이면
8:27 참이면 부정은
8:29 부정은
8:33 거짓이에요. 그리고 명제가 거짓이면
8:36 그 부정은 참이 됩니다. 명제와
8:39 부정은 참 거짓이 서로 뒤바뀌게
8:42 됩니다. 자, 이걸 생각하면서 밑에
8:44 볼게요. 자, 1번. 모든 실수 x에
8:47 대해서 절댓값 x는 2보다 크거나
8:49 같다는 순서대로 써 볼 거예요.
8:53 1번의 부정은
9:00 실수
9:09 절댓값 x는 2보다 작다이다.
9:13 오른쪽을 반대로 써야겠죠.
9:15 자, 이런 경우에 우리가 아,
9:17 오른쪽에 진리 집합을 보라 그랬어요.
9:20 진리 집합. 여기서 진리 집합이 우리
9:24 P라 그럴 때이지 P가 공집합이
9:32 P가 공집합이라면 어떤 실수 X에
9:33 대해서 성립해야 되는데 아무것도
9:38 없죠. 그러면 거짓이 된다 그랬어요.
9:40 자, 그런데 우리 여기서 보면은
9:42 절댓값 x가 2보다 작다는 이걸
9:45 만족하는 x가 존재를 하죠. 그
9:49 x들이 p의 원소이기 때문에 공집합이 아니죠.
9:51 아니죠.
9:55 그렇기 때문에 참이 됩니다.
9:59 자, 어떤이 들어간 명제에서는
10:02 진리집합이 공집합이 아니어야지 참이 됩니다.
10:04 됩니다.
10:07 자, 2번 볼게요. 자, 2번을 일단
10:10 부정을 해 볼게요.
10:12 자, 부정을 하면
10:15 자, 모든 실수
10:17 실수
10:26 x 2x² - 5x - 3은 0이
10:29 아니다. 이다가 됩니다.
10:31 자, 그럼 얘도 똑같아요. 이것도
10:34 오른쪽에 있는 진리 집합이 존재할 건데이
10:36 건데이
10:40 든이 들어간 명제에서는이 진리 집합이
10:42 전체인지 아닌지가 궁금해요. p가
10:45 만약에 전리집합이 전체 집합이 되면은
10:47 그러면 참이고
10:51 P가 전체 집합이 아니라면 거짓이 됩니다.
10:52 됩니다.
10:55 자, 그런데 우리 오른쪽에 있는이 밑줄친
10:56 밑줄친
10:59 2x제 - 5x - 3이 0이
11:02 아니다. 의 진리집합은 누구냐? 이게
11:05 0이 되려면 우리 인수분해 볼까요?
11:09 1 2 - 3 1이라서 x자 했을 때
11:13 그러면 x - 3 2x + 1이
11:16 0이고 0이 아니다. 이거 정확히
11:19 그러면 x는 3이 아니고 -12이
11:22 아니에요. 이거 뺀 나머지가 다 진리
11:25 집합이야. 근데 3하고 -12에
11:28 빠지면 전체 집합이 될 수는 없죠.
11:32 그렇기 때문에 거짓이 됩니다.
11:34 그래서 아 우리가 언제 참인지 봐야 돼요.
11:36 돼요.
11:39 어떤이 들어간 명제는 진리집합이
11:43 공집합이 되지 않아야지 참이고 모든이
11:46 들어간 명제는 진리 집합이 전체
11:48 집합이 돼야 참이 됩니다. 이거
11:51 명확하게 구분을 할 수 있어야 돼요.
11:54 자, 3번 볼게요. 3번은 여기 조금
12:11 아니다라고
12:13 되어 있죠. 자, 근데 우리
12:16 직사각형들 우리 정사각형들은 항상 다 직사각형이죠.
12:18 직사각형이죠.
12:19 음. 그래서 이것은 그냥 거짓이 됩니다.
12:22 됩니다.
12:24 음. 사실 이제 그냥 3번 자체만
12:26 보면이 명제 자체가 참이기 때문에 그
12:29 부정은 무조건 거짓이 되겠죠. 자,
12:31 6번으로 넘어갈게요. 다음 명제의
12:33 역과 대우를 말하고 참거짓을
12:37 판별하세요라고 되어 있는데 우리 이거
12:39 여기랑 대우랑 참거지 판별할 때
12:41 선생님 하나 수업 때 한 거 있었죠.
12:44 어떤 명제와 그 대우는
12:53 일치한다 그랬습니다.
12:56 어 그러면 역은요 역은 전혀 관련
12:58 없어요. 그래서 우리가 얘네들을 우리
13:01 역은 따로 판단해야 돼라 그랬지. 자
13:03 1번 볼게요. 1번.
13:04 1번.
13:07 자, 1번 보면은 원래 명제를 보면
13:09 자, 우리 뭐모이면 뭐모이다라고
13:11 P이면 Q이다 꼴이에요. p이면
13:14 Q이다 꼴인데 자, A가 0이고 B가
13:16 0이다. 우리 이러면은 곱하면 무조건
13:18 0이 맞죠?
13:21 그래서 P면 Q다가 기본적으로 참이
13:24 됩니다. 그러면 명제 자체가 참이란 얘기예요.
13:26 얘기예요.
13:29 그 말은 곧 대우도
13:34 곧 참이요라고 얘기할 수 있습니다.
13:36 자, 반대로 볼까요? 우리 여긴
13:39 q이면 p에다가 참인지 볼까요? 우리
13:43 오른쪽에 a b가 0이면 a는 0이고
13:45 b는 0이다가 참일까? 근데 a,
13:49 b둘 중에 하나만 0이어도 성립하죠.
13:51 그래서 둘 다 0일 필요는 없습니다.
13:54 그래서 거짓이에요.
13:56 거꾸러 가는 거. 곱해서 0이라고 둘
13:58 다 0일 필요는 없죠. 그래서 우린 역은
14:00 역은 거짓이라고
14:02 거짓이라고
14:05 얘기할 수 있습니다.
14:07 그럼 우리 역 대우 쓰기만 빨리
14:09 쓸까? 자, 역은 어, 대우부터
14:12 쓸게요. 위에 섰으니까.
14:15 그 밑에 역을 쓸게요.
14:18 쓰는 거 역을 먼저 쓸까? 자, a가 0이면
14:20 0이면
14:23 a는 0이고
14:26 b는 0이다. 이게 여기고. 자,
14:28 대우는 각각 부정해서 밑에 있는 걸 부정하면
14:30 부정하면
14:33 0이 아니다이면
14:37 자, 부정하면 A는 0이 아니다. 또는
14:39 또는
14:41 b는 0이 아니다가 됩니다.
14:47 자, 2번 보겠습니다. 바로 참거지
14:49 판별을 바로 할 수 있으면 빠르게 해
14:52 볼게요. 자, 2번 보면
14:55 자, 우리 x x - 2가 0보다
14:57 크거나 같다라고 되어 있으면 우리
15:00 이거 인수 분해해서 풀어 주면 근이
15:05 0 또는 2라서 x가 0보다 작거나
15:08 같다 또는 x는 2보다 크거나 같다가 됩니다.
15:11 됩니다.
15:13 자, 그러면이 왼쪽 부분이 p고
15:15 오른이면 기준으로 왼쪽이 p고
15:19 오른쪽이 q인데 자 근데 p랑 q랑
15:21 똑같이 생겼죠. 0보다 작거나 같다.
15:24 또는 2보다 크거나 같다. 그 말은
15:28 얘는 p이면 q이다가 참이고 똑같이
15:32 생겼으면 q이면 p다도 참이에요.
15:37 그러면 대우도 참이고 q이면 p다인
15:41 역도 참이 됩니다.
15:43 그래서 아 얘는 둘 다 참이다라고
15:45 얘기할 수 있습니다. 자 쓰기만 빨리
15:48 쓸까? 위에가 대우고 밑에가 역이면
15:51 자 역은 순서 바꿔 쓰세요. x가
15:56 0보다 작거나 같다. 또는
16:00 x가 2보다 크거나 같다 2이면 p
16:03 써 주면 x - 1는 0보다 크거나
16:08 같다. 이게 여기고. 자, 대우는
16:10 밑에 있는 걸 부정하면 x는 0보다
16:13 크거나 아, 크다.이고
16:16 또는 바꾸면 이고가 되죠. 부정하면
16:21 x는 2보다 작다. 2면
16:25 x - 2는 0보다 작다. 이다가 됩니다.
16:32 그래서 역과 대우는 쓰는 연습을 하고
16:34 참 거짓 판별을 잘 해 보도록
16:37 합시다. 7번 넘어갈게요. 자, 7번
16:39 같은 경우는 뭐 단골 문제 중 하난데
16:42 자 이게 명제가 P면 Q다골이 여러
16:44 개가 있을 때가 있어요. P이면
16:47 Q에다가 참이고 Q이면 not
16:50 r이다가 참일 때 그러면이 문제 같은
16:56 서로 이자가 돼요. 서로 이으세요가
16:59 됩니다. 무슨 말이냐면 자 P이면
17:01 Q이다가 참이면
17:04 문제에서 참이라 그랬지. 그 대우인
17:07 not Q이면 not P도 참이에요.이
17:09 참이에요.이
17:11 사실은 자동으로 들어오는 거야.
17:15 자, 또 문제에서 Q이면 not
17:17 r이다가 참이라 그랬죠? 여기는
17:22 대우예요. 그러면 그이 명제의 대우인
17:26 R이면 not Q다가 참이 됩니다.
17:29 자, 대우라고 함면 오른쪽에 있는게
17:31 왼쪽으로 가면서 부정, 왼쪽이 오른쪽
17:35 가면서 부정이죠. 그러면 문제에서는
17:38 두 개가 여기 동그라미 친 두 개가
17:40 참이라 그랬지만 우리는 네모 친이 두
17:42 개도 참이라는 것을 알 수 있습니다.이
17:44 있습니다.이
17:46 사실도 알 수 있는 거예요. 자,
17:49 근데 여기서 끝내지 말고 우리가 수업
17:51 때 했던 것 중에 또 3단 논법이
17:55 있죠. P면 Q다가 참이고.
17:58 음. 이거는 헷갈리니까 수업됐던 걸
18:01 잠깐 복습하면 p이면 Q다가 참이고
18:04 Q이면 P에다가 둘 다 참일 때
18:09 우리는 2어서 그러면 P면 Q다,
18:12 Q이면 R이다. 아, 다시 Q면
18:15 R이다가 참일 때
18:17 그러면 P이면 Q, Q면 R이다가
18:20 참이기 때문에 우리는 P이면 R이다가
18:22 참이다라는 걸 알 수 있죠. 가운데
18:25 걸 없애고 이렇게이어서 쓸 수
18:27 있습니다. 그러면이 문제에서 제일
18:29 왼쪽 빨간색 동그라미 네모 친 걸
18:31 보면은 얘네가 서로 이을 수 있어.
18:36 여기 1번 2번 3번 4번 중에서 자
18:40 서로 이음새를 찾으면 됩니다. 그러면
18:42 어떻게 찾을까 보니까 이건 애초에
18:44 처음부터 이어져 있긴 하죠. 그래서
18:46 1번하고 3번은 이겨쓸 수 있어요.
18:50 어떻게? P이면 Q다가 참이고 Q이면
18:54 not R이다가 다 참이기 때문에
18:58 양쪽 끝에 거으면 P이면 not
19:00 R이다가 참이 됩니다.
19:03 자, 그 말은 곧 이것의 대우인
19:08 R이면 나피다도 참이 돼요.
19:09 그래서 우리가 주어진 명제가 참이면
19:12 그 대우도 참이고이었을
19:15 때 3단 논법처럼 양 끝에 피면
19:17 나이다도 참이고 그것의 대우도 참이
19:20 됩니다. 얘를 5번 6번이라고 해 볼게요.
19:22 볼게요.
19:24 그러면 문제에서 딸랑 두 개 줘
19:25 우리는 여섯 개가 참이라는 걸 알 수
19:28 있어요. 이걸 바탕으로 기억 니은
19:30 디귿 리을 한번 풀어 볼게요. 자
19:32 기억 P이면 not r이다가
19:34 참일까요? 그러면 얘는 5번이랑
19:36 똑같죠? 그래서 참이 됩니다. 얘는 5번
19:38 5번
19:42 P면 나다리다가 참이 되죠.
19:44 자, 두 번째 니은 R이면 Q이다가
19:47 참이다 볼까? 그러면 자, 얘도
19:50 참이죠. 왜? 왼쪽에 4번에서 참인
19:56 자, 디귿 not P면 not
19:59 Q에다가 참일까? 2번하고 비슷하게
20:02 생겼지만 전혀 알 수가 없죠. 디귿은
20:04 알 수 없습니다.
20:07 자, 리얼을 낫임의 날이다가 참일까?
20:09 나임의 날이다. 얘랑 비슷한 거는 뭐
20:11 3번, 4번 정도 있는데 그래도
20:14 비슷하기만 하지 똑같지 않죠. 그래서
20:23 다음 넘어가겠습니다. 8번.
20:26 자, 두 조건. P랑 q가 있을 때.
20:28 자, p가 q이기한 충분 조건이
20:31 되도록이 말은 선생님이 수업 때
20:35 열심히 했죠. p면 Q다가 참이고
20:39 그 말은 곧 진리집합 P가 Q의 부분
20:42 집합이란 얘기예요.
20:45 그러면 두 조건 PQ가 있을 때 우리
20:47 이렇게 부등식으로 되어 있으면
20:50 부등식에 대한 진리 집합은 수직선을 떠올리세요.라고
20:52 떠올리세요.라고
20:55 수업때 얘기했었습니다. 그러면 p를
20:58 수직선 그리고 q를 수직선 그렸을 때
21:00 p가 q의 부분 집합이 되어야
21:03 돼요란는 얘기입니다.
21:05 자, 그러면 우리 한번 쭉 해
21:08 볼게요. 자, p를 먼저 수직선에
21:11 그려 볼게요. p는 x가 -2보다
21:16 크고 a + 1보다 작대요. 그러면
21:18 아,이 사이구나.
21:25 자, q는
21:27 x가 5보다 작대요. 빨간색으로 해
21:30 볼까요? 자, 5보다 작다가 요렇게 생겨야
21:32 생겨야
21:34 이렇게 생겨야
21:37 p가 q의 부분 집합이 되겠죠.
21:40 요렇게 생긴다는 의미는 뭐냐면이 5랑
21:42 a + 1이 비교했을 때 5가 더
21:46 오른쪽에 있어야 돼요. 그리고
21:48 그리고
21:50 a + 1이랑 5랑 겹쳐도 상관은
21:53 없죠. 둘 다 어쨌든 끝점은 포함 안
21:56 하기 때문에. 그래서 최종적으로 a
22:00 + 1이 5보다 작거나 같아서 그러면
22:04 a는 4보다 작거나 같고 그러면 정수
22:12 자, 넘어갈게요. 9번.
22:15 자, 명제 증명이죠. 우리 증명은 잘
22:19 따라다니면 돼요. 자, 우리 a +
22:22 1이 루트 a제 + 1보다 크다라고 얘기했는데
22:24 얘기했는데
22:27 그러면 우리 a + 1하고 루트 a제
22:29 + 1은 둘 다 양수이니까 어느
22:32 하나가 크다면 제곱한게 더 크다는 걸
22:35 보여 줘도 돼요. 그러면 양수는
22:38 제곱하기 전도 더 커요.
22:41 자, 근데 우리가 왼쪽이 오른쪽보다
22:44 커요라고 얘기하는 걸 보여 주려면
22:46 왼쪽에서 오른쪽 식을 빼 주는
22:49 거예요. 그래서 a + 1의 제곱에서
22:52 루트 a² + 1의 제곱을 빼
22:54 줍니다. 자, 그런데 우리 왼쪽 완전
22:58 제곱식이라 여기는 a² + 2a +
23:01 1이고 오른쪽은 a제곱
23:05 + 1을 빼는 거라서 2a가 되죠.
23:07 근데 문제에서 a가 0보다 크다
23:09 그랬기 때문에 2a도 0보다 크죠.
23:12 자, 뺐을 때 0보다 크다면 원래
23:15 왼쪽게 더 커요. 근데 왼쪽 오른쪽
23:17 둘 제곱이기 때문에 그럼 제곱하기
23:20 전인 a제곱 + 1이
23:24 아 a + 1이 루트 a² + 1보다
23:26 크다가 되죠. 순서대로 따라가면 됩니다.
23:29 됩니다.
23:32 자, 10번으로 갈게요.
23:34 자, 똑같이 또 필요 조건 충분 조건
23:37 얘기하죠. 자, q는 P기한 필요
23:39 조건이라고 되어 있으면 선생님 이거
23:43 수업 때 했죠. 순서 바꿔서 p는
23:50 충분 조건이라 그랬어요.
23:54 자, 그 말은 곧 p면 q이다가 참이고
23:55 참이고
23:59 그 말은 곧 p는 q의 부분 집합이에요.라고
24:01 집합이에요.라고
24:03 얘기를 했습니다. 결국 p가 q의
24:05 부분 집합이에요. 이걸 찾아 주세요
24:07 하는 얘기입니다.
24:10 그래서 PQ를 찾으려고 문제를 봤더니
24:12 약간 기분이 나빠. 왜? 같지 않다가
24:15 잔뜩 들어 있죠? 그래서 이렇게
24:16 생각을 해 볼게요. 아, P이면
24:19 Q이다가 참이다. 그럼 우리는 대우를
24:20 한번 생각해서 Q이면
24:22 Q이면
24:25 나피다가 참이다가 얘기할 수도 있죠.
24:28 이건 대우니까.
24:30 자, 그러면 not Q큐 나피를 한번
24:38 대우는 우리 Q의 여집합
24:42 있어. q의 여집합이
24:47 Q는 X는 -2고 그리고
24:49 그리고
24:58 자 P ax제 + 5x + 2= 0
25:02 이게 p가 되죠. 조금피
25:06 이다가 참이 됩니다.
25:10 자, 그 말은 곧 x가 -2이면
25:13 ax제 + 5x + 2는 0이에요.
25:17 그러면 대입했을 때 성립해야 돼요란 얘기입니다.
25:23 자, 그럼 대입을 해 볼까요? 다 끝났죠?
25:24 끝났죠?
25:27 자, -2을 대입하면 a * 4가
25:29 되고 제곱이니까
25:34 -10 + 2는 0이고 그러면 4a
25:37 - 8은 0이고
25:40 a는 2가 되겠죠.
25:42 그래서 그냥 명제 참거지 판별할 때
25:45 대우를 이용할 수도 있다라는 사실을
25:52 자, 그럼 뒤에 이제 뒤로 넘어가서
25:55 대단한 평가하기에서 우리 7번부터
25:59 한번 보도록 할게요.
26:01 자, 7번 보면은
26:03 우리 나머지는 다 집합이에요. 자,
26:04 전체 집합 U가 1 2 3 4 5일
26:07 때 조건 x제 - 8x + 7은 0의
26:08 진리 집합을 구하세요. 해를
26:11 구하세요랑 똑같아요. 그러면 1 -1
26:16 - 7이라서 x자 하면 x - 1 x
26:21 - 7이 0이고 그러면 x는 1 또는
26:24 7이네. 그러면 제집합 p는 1 또는
26:27 7을 원소로 가져요.라 그러면
26:30 틀립니다. 전체 집합 안에 있는 원소
26:33 중에서 따져야 돼요. 7을 제거해서.
26:36 그러면 p는
26:38 1을 원소로 가지는 집합이에요. 이게
26:41 진리 집합입니다.
26:43 다음 8번.
26:46 자, 어떤 실수 x에 대해서 x제 -
26:50 6x + a는 0보다 작다에 부정이
26:53 참이라 그랬습니다. 자, 부정이
26:57 참이면 원래 명제는
27:00 거짓이 돼야 돼요란 얘기예요.
27:03 자, 어떤이 포함된 명제가 거짓이
27:06 되어야 돼. 그 말은 자 오른쪽에
27:08 있는 조건의 진리집합을 P라 그랬을
27:13 때 자 어떤이 포함된 명제가 거짓이
27:17 되려면 우리는 p가
27:20 공집합이 되어야 돼요라고 얘기했었죠.
27:24 공집합일 때 어떤이
27:27 어떤이 포함된
27:33 명제가
27:35 거짓이 됩니다.
27:38 공집합이 아니면 참이라 그랬죠. 자,
27:41 그러면 무슨 말이냐면 그 말은 곧
27:45 우리 조건 p인 x제 - 6x +
27:48 a는 0보다 작다가 해가
27:50 해가
27:53 없다가 돼요.
27:56 그래야지 진리 집합이 공집합이죠.
27:59 자, 2차 부등식의 해가 없다. 자,
28:02 우리 이거 우리 2차 부등식은 2차
28:04 함수로 해야 되는데 기억하나요? 우리
28:06 이걸 왼쪽을
28:10 우리 y는 fx라고 둘게요.
28:13 그러면 0보다 작은 지점이 없어야
28:15 돼요라는 얘기입니다. 그러면 셋 중
28:18 하나거든요. 우리 2차 함수는 x축이
28:20 있을 때
28:23 서로 다른 두 점에서 만나던가
28:26 한 점에서 만나던가 만나지 않 않고
28:29 않거나 자 근데 이게 0보다 작은
28:31 지점이 해가 없어요. 그 말은 여기
28:35 1번 2번 3번 중에서 자 1번은
28:37 0보다 작은 지점이 생기죠. 그래서
28:39 안 됩니다.
28:41 자 2번은 0보다 작은 지점. 우리
28:43 x축 밑으로 가는게 없죠. 3번도
28:46 없죠. 그래서 2번하고 3번이 답이
28:48 되겠네요. 근데 2번하고 3번은
28:50 언제냐? 중근일 때. 우리 2번은
28:53 판별식이 0일 때. 자, 3번은
28:56 언제냐? x축과 만나지 않아요.
29:00 판별식이 0보다 작을 때를 의미하죠.
29:02 자, 그 말은 곧 판별식이 2번,
29:05 3번 한꺼번만 쓰려면 0보다 작거나
29:07 같아요를 의미합니다.
29:09 자, 2차 부등식은 판별식이라고
29:12 1학기 때 열심히 했죠? 우리 열심히
29:14 기억 안 나는 사람만 복습해 보도록
29:17 합시다. 자, 그러면이 2차
29:19 부등식에서 판별식은 우리 b² -
29:23 4ac죠? 그러면 -6의 제곱에서
29:26 -4 * ac 하면 a가 0보다
29:30 작거나 같아요. 36은 4a보다
29:32 작거나 같아요.
29:36 그래서 우리 9보다 a가 크거나
29:38 같아요가 되죠. 그중에 실수 a의
29:40 최소값 물어봤죠. 문제에서. 그러면
29:44 답은 9가 되겠네.
29:47 자, 명제 논리에서 2차 부등식까지
29:50 넘어가는 조금 어려운 문제가 될 수
29:54 있습니다. 자, 9번으로 넘어갈게요.
29:57 자, 다음 중 여기 참인 것을 얘기해
30:00 주세요. 그러면 오른쪽에서
30:03 왼쪽으로 넘어가는 걸 볼게요. 자,
30:05 1번 보면은 a는 0 또는 y는 0이
30:07 아, x는 0 또는 y는 0이면
30:10 제곱해서 더하면 0이니? 아니죠.
30:12 우리는 둘 중에 하나가 뭐 1일 수
30:14 이어도 상관없지. 또는이니까 그러면
30:17 제곱해서 0이 될 수 없죠.
30:19 자, 2번도 보면 우리 오른쪽부터
30:23 보면 xy가 0보다 작으면
30:25 x는 0보다 크고 y는 0보다 작니?
30:29 아니죠. 반대가 x가 0보다 작고
30:30 y가 0보다 클 수 있죠. 그래서
30:32 반례를 적을까?
30:36 음. 안 되는 이유. x는 1,
30:39 그러면 x는 0 또는 y는 0이지만
30:41 안 되죠. 그다음 2번도 반례를 드릴게요.
30:44 드릴게요.
30:47 음. 틀린 이유는 자, x가 음수고
30:50 y가 0보다 클 수도 있죠.
30:54 그래서 역은 거짓이에요. 다음 3번.
30:58 3번은 xy가 같으면 절댓값은 당연히
31:01 같죠. 3번이 답이네요.
31:03 자, 4번, 5번도 보이는 김 해
31:05 볼까요? 우리 xy 더해서 0보다
31:08 크다. 그러면 둘 다 0보다 크니?
31:12 이거는 반대가 될 수 있지. 반례가
31:14 x는 2고는
31:17 -1이면 더해서 0보다 크지만 둘 다
31:19 0보다 큰 건 아니죠.
31:22 다음 5번. x가 y보다 크면
31:24 제곱하면 크니? 아니죠. 이것도
31:27 반례가 거짓인 이유가
31:31 x가 -1이고 y가 -2이면 x가
31:33 y보다 크지만 제곱한 거는 반대로
31:40 다음 넘어갈게요.
31:43 10번 보겠습니다. 자, 명제 p이면
31:45 q이다가 참이다. 그럼 보자마자
31:48 여러분들은 아, p가 q의 부분
31:50 집합이에요라고 생각을 해야 돼요.
31:52 부등식인의 수직선이에요라고
31:55 생각을 해야 됩니다. 그러면 차례대로
31:58 해 볼게요. 자, p가 q의 부분
32:01 집합이면 자, 우리 여기 p를 먼저
32:05 써 볼까요? a - 2가 있고 a +
32:08 1이 있을 때 자, p는 우리 x가
32:10 그 사이에 있는 애들을 의미하죠.
32:15 끝점 포함이라서 우리는 색칠를 해서
32:18 요렇게이 사이가 p가 됩니다.
32:20 자, 근데 p가 q의 부분 집합이
32:23 되려면 q는 요렇게 빨간색처럼 생겨야
32:27 돼. -1이 이쪽에 있고 그리고 5가
32:29 오른쪽에 있어서
32:33 우리 p를 포함하고 있어야 우리 p가
32:36 q의 부분 집합이 되겠죠.
32:40 그러면 왼쪽에 우리 -1하고 a -
32:43 2가 있으면 -1보다 a - 2가 더
32:45 크거나 같아야겠죠?
32:48 크거나 같다.이 같다는 등호는 넣어
32:50 보고 판단하세요. 자, 이게
32:53 1번이고. 자, 2번. 오른쪽에 a
32:55 + 1은 5보다 또 크거나 같아야겠죠.
33:01 그래서 두 개를 우리는 연립해야
33:05 돼요. 어때? -1보다
33:08 a - 2가 더 크거나 같아야 되고
33:10 a + 1보다
33:12 5가 더 크거나 같아야 돼요. 둘 다
33:13 동시에 만족해야 돼요. 그러면
33:15 차근차근을 풀까요? 우리 위의 식에서
33:18 마이너스 왼쪽 넘기면 1보다 a가
33:20 크거나 같고 밑에 식에서 1 오른쪽
33:23 넘기면 a가 4보다 작거나 같아요.
33:26 2였으면 a는 1보다 크거나 같고
33:34 자, 계속 반복하고 있죠. p이면
33:37 Q다가 참이면 P가 Q의 부분 집합,
33:39 p는 Q이기 위한 충분 조건. 자,
33:43 넘어가겠습니다. 11번. 자,
33:47 a는 b는 0이기 위한 우리 a는
33:49 b는 0이래요. 그럼 a도 0, b도
33:51 0이래요. 그때 필요 충분 조건인
33:53 것을 구 구 구 구 구하세요라고
33:56 되겠지? 그러면 자, 이게 p고
33:59 각각이 q라고 하자. p는 q이기한
34:02 필요 충분 조건이래요. 그러면 완전히
34:05 똑같아야지 필요 충분이라 그랬죠?
34:08 자, 근데 그러면 둘 다 a도 0,
34:10 b도 0이니 하고 물어보는 거예요.
34:13 기형 니음. 디귿 리을해서 자 기억은
34:16 보면 곱해서 0이면 둘 다 0일
34:19 필요는 없죠. 그죠? a만 0이어도
34:21 되고 b는 b는 0이 아니어도 되고
34:23 그렇기 때문에 기억은 틀린게 됩니다.
34:25 둘 다 완전히 0인 걸 찾으세요가
34:29 돼요. 자, 니은 제곱 + 제곱이
34:32 0이면 각각이 무조건 0이라 그랬죠?
34:36 그래서 니은 맞는 얘기가 됩니다.
34:38 자, 디귿. 절댓값 더하기 절댓값이
34:41 0이다. 우리 절댓값은 0보다 크거나
34:43 같고 0보다 크거나 같은데 0이
34:45 되려면 둘 다 0일 수밖에 없어요.
34:48 그럼 디귿도 맞는 얘기겠죠?
34:50 자, 리을은 a가 1, b가 1
34:52 이렇게 같은 숫자면 절댓값 뺀게
34:55 0이죠. 그래서 리을은 어, 굳이 둘
34:58 다 0일 필요 없네. 답은 니은하고
35:05 다음
35:07 자 12번. P는 Q에 대한 기한
35:10 필요 조건이지만 충분 조건이 아닌
35:12 것은이라고 얘기했죠. 자 P는 Q에
35:15 기한 필요 조건은 거꾸로 Q이면
35:23 그 말은 곧 q가 p의 부분
35:26 집합이어야 돼요라고 얘기하는 겁니다.
35:28 근데 충분 조건이 아니라 그랬으니까
35:31 p는 Q의 부분 집합은 안 돼요란 얘기입니다.
35:33 얘기입니다.
35:36 이걸 만족하는 걸 찾아보자. 자,
35:39 그러면 오른쪽 Q가 P 안에
35:43 들어가니란 얘기입니다. Q의 원소들이
35:45 P 안에 쏙 들어가니라 물어보는
35:47 건데. 자, 우리 1번 같은 경우는
35:55 자, q도 x는 + -1이죠. 두
35:57 개가 같네요. 그럼 p는 q의해서
36:06 자, 2번 같은 경우는 여기 x는 4죠.
36:07 4죠.
36:11 얘가 1이고 어, 그리고 q에서 x는
36:14 플러스 마 - 4죠. P가 Q의 부분
36:16 집합이네요. 그 말은 충분 조건이에요.
36:22 자, 3번 같은 경우는 인수 분해하면
36:25 x - 3 0이서 x가 0 또는 3이에요.
36:27 3이에요.
36:29 어, 오른쪽 q는 x는 3이네요.
36:32 q가 p의 부분 집합이네.
36:34 어, 그러면은 아, 어, 예, 조건
36:37 쓰고 그러면 아, q가 p에
36:40 들어가네. 이거는 필요 조건 됩니다.
36:44 그럼 3번이 답이네요.
36:46 자, 4번 같은 경우 보면은 a
36:50 합집합 b가 b면은 우리 b가
36:53 a보다 커요라 그랬고 a 교집합 b가
36:56 a면 b가 또 a보다 커요라 그랬지.
36:57 두 개가 똑같네. 얘는 필요 충분이에요.
36:59 충분이에요.
37:05 자, 5번 같은 경우는 a가 b의
37:07 부분 집합이고 a가 c의 부분
37:10 집합이면 a는 b합집합 c의 부분
37:13 집합이다. 이게 참일까? 보면은 자,
37:16 a가 b의 부분 집합이고
37:19 여기가 a가 있고 b가 있고
37:22 그리고 a가 c의 부분 집합이면은 뭐
37:24 여기 c가 이렇게 있을 수 있겠죠?
37:26 그러면 당연히 합집합한 것도 부분
37:28 집합이 되겠죠. 그다이면 Q에다가
37:30 일단 참이에요.
37:33 자, 반대로 자, 합집합한 것이 우리
37:36 A가 B합집합 C의 부분 집합이라고
37:38 각각의 부분 집합일까? 아닐 수
37:42 있죠. 이게 B고 이렇게 C가 있고
37:45 요렇게 사이에 걸 다 걸쳐서 A가
37:48 있다면 반대는 안 되죠. 그래서
38:03 자, 13번 보면 여기서 알 수 있는
38:06 걸 다 일단 뽑아 볼게요. 자, 1번
38:11 P면 Q가 참이고 여기 2번 R이면
38:14 Q가 참이고 여기서 끝내지 말고 아까
38:18 얘기했었죠. 1번은 대우인 우리
38:23 3번이라 할게요. 1번 명제 대우는 Q이면
38:25 Q이면
38:29 나피다가 또 참일 거예요.
38:33 그리고 2번에 대우인 4번
38:43 자, 또 여기서 끝내지 말고 자,
38:46 1번하고 4번을 여기 선님이 빨간색
38:49 밑줄 친과
38:52 4번을 유심히 보면 q로 not q로
38:54 연결이 되죠.
38:56 그래서 1번하고 4번을 연결하면
38:59 어떻게 되냐? P
39:03 not Q not Q not R가
39:07 참이 됩니다. 그만은 곧 양끝에 걸
39:11 갖고 와서 5번이 성립해요. P이면
39:15 낫이다가 참이 됩니다.
39:17 자, 이렇게 있는 건 아까 했었죠.
39:19 자, 근데 6번으로 성립해. 누구냐면
39:23 바로 위에 있는이 5번의 대우 아니면
39:26 나피이다가 참이 됩니다. 자, 그
39:29 말은 문제에서 딸랑 1번 2번 줬지만
39:31 우린 3, 4, 5, 6을 이끌어낼
39:38 자,이 상태로 우리 기억 니은 디귿을
39:41 볼까요? 기억 명제 피다 아리다는
39:44 참이다. 얘는 참이죠. 맞는 얘기죠.
39:46 왜? 1번, 2번, 3번, 4번,
39:50 5번, 6번 중에서 5번이
39:52 p면 나다 날리다가 참이다를 보여
39:55 주고 있죠. 자, 니은 볼까요? Q는
39:57 P의 부분 집합이다. 자, 이게 참이
40:02 되려면 그 말은 곧 뭐냐면 q가
40:05 q이면 p에다가 참이니라고 물어보는
40:07 건데 자, 1번, 2번, 3번,
40:09 4번, 5번, 6번 다 봐도 Q면
40:11 P이다가 참이라는 말은 없죠. 그래서
40:19 자, 마지막 디귿 볼게요. 자,
40:21 디귿은 조금 많이 까다로울 수
40:25 있어요. P랑 Q의 여집합을 합치면
40:28 r의 여집합의 부분 집합이니라고
40:32 물어보는 거예요.
40:34 자, 벤다그램 그림은 참 좋지만 이거
40:37 생각보다 간단한게 우리 어디어?
40:40 여기서 P랑 R의 여집합이니까 우리
40:43 5번 공식에서 어떤게 튀어나오냐면
40:46 우리 5번 P다 날리다가 참이 되려면
40:49 P는 아래 여집합의 부분 집합이
40:52 돼요. 각각이 p랑 다 R의 진리
40:55 집합이기 때문에 또 그다음에 Q의
40:58 여집합 R의 여집합을 보니까 4번
41:00 공식에서 요런게 나와요. Q의
41:03 여집합은 아래의 여집합의 부분 집합이 됩니다.
41:05 됩니다.
41:07 자, 그러면 P도 아래 여집합 부분
41:09 집합, Q의 여집합도 아래 여집합
41:11 부분 집합. 그 말은 곧 p랑
41:13 q집합이 둘 다 r의 여집합 안에
41:16 들어 있어 p랑 q의 여집합의 모든
41:19 원소는 아래의 여집합 안에 들어
41:22 있습니다. 그래서 디귿은 참이라고
41:33 자, 마지막 15번 볼게요. 자,
41:36 15번 같은 경우는 그냥 증명이죠.
41:38 자, 두 자연수 mn에 대해서 자,
41:41 mn이 짝수이면 m 또는 n은
41:43 짝수이다. 증명하시오. 그러면 얘는
41:46 대우법 쓸게요. 대우.
41:50 대우의 명제를 쓰면은 m 그리고 n이
41:52 n이
42:00 mn도 홀수이다.를
42:07 증명해서 이게 참이면 원래인 명제도
42:10 참이 되겠죠. 자, m하고 n이
42:14 홀수이기 때문에 우리 m은 우리 a
42:18 k하고 l로 쓰자. m은 2k -
42:22 1이고 그리고 n은 2l - 1로
42:26 표현할 수 있죠. 여기서 k하고 l은 자연수라고
42:28 자연수라고
42:31 얘기할 수 있습니다.
42:33 자, 두 개의 곱인
42:38 mn은 자, 2k - 1과 2l -
42:43 1을 곱한 것이고 전개하면 4kl
42:48 - 2k - 2l + 1이죠. 자,
42:51 오른쪽에다가 1을 더하고 빼 줄게요.
42:53 여기다가 1을 더하고 빼 줍니다.
42:57 그이 왼쪽 1 + 2가 돼서
43:01 자, 2를 쫙 묶어 주면 2고 2k
43:07 - k - 그리고 + 1이 됩니다.이
43:10 맨 뒤에는 - 1이 되죠.
43:13 자, 그때이 괄호 안에 있는 2k
43:16 - k - 1 + 1 여기 k하고
43:17 l에다 1 2 3 4 넣으면 다
43:27 2 * 자연수 빼기 1꼴인의 누가
43:40 주어진 명제의
43:53 주어진 명제도
43:56 명제도 참이다.
43:58 참이다.
44:01 음. 물론 이제 맨 뒤에 교과서
44:03 답안지에 다 이렇게 답이 적혀 있지만
44:05 그래도 한 번쯤은 여러분들이 증명하는
44:08 걸 알아두면 좋습니다.
