0:05 자, 녹화를 시작할게요. 수업
0:07 시작할게요. 우리 이제 유리 함수를
0:09 그려 볼 거야. 저번 시간에 유리
0:11 함수의 정의역까지 얘기했지. 유리
0:14 함수의 정의역이라고 얘기하면은 우리
0:16 분모가 0이 안 되는 모든 x값들을
0:18 정의역이라 얘기하고 그 말은 분모가
0:20 0이 안 되는 x값 여기서 0이겠지.
0:23 0 빼고 모든 숫자를 넣어 볼 거야.
0:25 그때마다 y가 나오겠지. 그러면 그
0:27 점들을 찍어서 이어내면은 우리는 유리
0:29 함수의 그래프라고 합니다. 근데 유리
0:31 함수는 우리 저번 시간에 얘기했는데
0:35 여기 다 지어져 있는데 우리 여기
0:37 y는 x제 + 1 유리 함수라
0:39 그랬죠. 다항 유리 함수예요. 또
0:42 y는 x + 1 3x - 4 얘도
0:45 유리 함수예요. y는 x - x제 +
0:47 2x + 2 다 유리 함수예요.
0:49 이거를 다 그리기엔 너무 힘들어.
0:51 물론 제일 왼쪽 건 여러분들이
0:52 그렸지. 다항 함수는 그릴 수
0:55 있으니까 넘어가고이 2차 함수까지
0:57 내려가면 3차 4차 따로 배우고 근데
1:00 문제는 유리 함수가 어쨌든 분모에도
1:03 x고 분자에도 x 있는데 1차식분의
1:06 1차식 또는 1차식분의 2차식
1:08 2차식분의 1차식 종류가 너무
1:10 많아요. 그것들을 다 그려 볼 순
1:12 없어. 여러분한테 그거 그리라 그러는
1:14 거는 어 언제 그릴 수 있냐?
1:16 너희들이고 3 되면 그릴 수 있어.
1:19 3에서 수학을 배우면 그릴 수 있지만
1:22 지금은 그릴 수 없는 어 없는
1:24 함수들이에요. 그래서 너무 많기
1:27 때문에 그중에서 특수한 모양만 할
1:29 거야. 제일 적은 거. 1차식분의
1:32 1차식 형태까지만 그릴 거예요. 물론
1:34 1차식분의 상수도 가능해요. 어쨌든
1:36 2차식 이상 넘어가는 거는 존재하지
1:38 않을 거야. 우리가 이제 푸는 것
1:40 중에는. 그서 한번 그려 봅시다.
1:43 자, 그러면 가장 기본 꼴부터 그려
1:45 볼게요. 가장 기본 꼴. 1차식분의
1:48 1차식인데 가장 기본꼴은 위에도
1:50 1차식도 아니고 상수인 거야. 그래서
1:54 y는 k 가장 기본 모양을 한번 그려
1:56 봅시다. 이거 중학교 때 했어. 기억하니?
1:58 기억하니?
2:00 중학교 때 이런 거 그렸었는데
2:04 기억하는 사람 어떤 그래프? 반비의
2:06 그래프라고 한번 그랬었지. 맞지?
2:09 여기서 얘가 어 1일 때 -1일
2:11 때에서 나눠서 그랬던 걸 기억해.
2:13 그래서 이런 식으로 그림이
2:15 그려집니다. 자, 그림이 너무 많지?
2:19 많기 때문에 우린 여기서 빨간색만
2:21 볼게요. 빨간색만. K가 1일
2:24 때예요. y는 1 그러면이 빨간색을
2:27 그리고 왼쪽 아래 3사분면 1 2 3
2:30 4니까 3사분면도 다른 색을 그려서
2:33 아, 이렇게 오른쪽이 왼쪽 아래에
2:36 있는게 반대의 그래프구나. 또 k가
2:38 마이너스일 때도 빨간색을 보면 왼쪽이
2:40 오른쪽 아래 이렇게 된게 반비의
2:42 그래프구나. 반비의 그래프가 뭐였지?
2:45 x가 증가하면 y는 감소하고 x가
2:48 감소하면 y는 증가한다. 정확히는
2:51 절댓값이라고 얘기했지. 그래서 그
2:53 얘기들을 우리가 중학교 때 이미 하고
2:55 올라왔어요. 그 실제로 우리가 y는
2:57 k를 그리세요. 그러면 중학교 때
3:00 배웠던 요런 모양이 될 거야.
3:02 요런 모양이 되는데 근데 여기서 선이
3:05 세 개가 있잖아요.이 선는 여기서
3:08 이제 초록색, 빨간색, 파란색을
3:10 결정하는 얘네 모양은 그냥 멀리서
3:12 보면 대충 보면 똑같거든. 아, 이게
3:15 이렇게 니은자로 되어 있는 쭉 가는데
3:17 얘네가 어디서 누가 결정을 하냐?
3:21 k가 절댓값이 크면 클수록 원점에서
3:25 점점 멀어져요라고 생각하면 돼. k가
3:29 지금 1 2 3이면 조금 더 말겠지.
3:31 4면 조금 더 멀겠지. 이런 모양이
3:33 됩니다. k값의 절댓값이 따라서
3:35 여기도 똑같아. K의 오른쪽도 k의
3:39 절댓값 따라서 가장 기본이 빨강이고
3:41 근데 이제 k가 음수야. 음수. 그럼
3:44 절댓값이 크다는 얘기는 -2, -3,
3:47 -4 이렇게 되면은 점점 빨간색보다
3:49 원점에서 멀어져요라고 생각하면
3:51 됩니다. 이렇게 그려죠. 그렇게
3:54 생각하면 돼요. 그러면 어쨌든 자이
3:56 좀 더 가깝고 먼 거는 애매하니까
3:58 크게 두 개를 구분할 수 있어야 돼.
4:03 k가 양수일 때 음수일 때 양수면
4:07 1사분면 4 4사분면 음수면 2사분면
4:09 4사분면 양수면 1사분면 3사분면
4:12 이렇게 그려진다라고 생각하면 됩니다.
4:13 자 그리고이 그래프 특징 몇 개만
4:16 설명을 할게요. 자이 빨간색을 보면은
4:18 빨간색이 이렇게 내려와서 니은자로
4:21 오른쪽이 쭉 가는데 얘가 점점 점점
4:23 내려가겠지. 내려가는 모양이지. 계속
4:25 내려가는데 어디까지 내려갈까? 쭉
4:28 내려갈까? 똑같이 내려가지 않습니다.
4:30 얘는 점점점 내려가는데 점점
4:34 원만해지지. x축이 있으면 x축에이
4:37 빨간색은 점점 점점 가까워지긴 하지만
4:39 절대 닿지는 않을 거야. 근데 점점
4:41 내려가긴 해요. 닿지는 않아. 우리
4:44 그 어느 선에 가까워지는 그 선을
4:47 뭐라 부를 거냐? 점근선이라 그래요.
4:49 점차 근사하는 선이라 그래서
4:52 이해됐니? 그래서 아 여기 k가
4:53 0보다 클 때 0보다 작을 때 다
4:57 똑같이 x축은 점근선이 되는구나.
4:58 얘네들이 지금 프로기든 빨간이든
5:00 파랑이든 다 x축이 같진 않잖아.
5:03 점점 가까워지지만. 또 y축도
5:05 그래요. y축도 얘네들이 다
5:07 가까워지긴 하지만 같지는 않아요.
5:10 그래서 얘네들을 다 점근선이라고
5:12 얘기를 합니다. 여기까지 됐니?
5:15 그리고이 그림을 보면은 얘네가 뭔가
5:18 모양이 살짝 힘게 돼 있지? 대칭적인
5:20 모양으로 되어 있죠. 그래서 대칭적인
5:22 대면은 점대칭인지 선대칭인지 그런
5:25 얘기도 할게요.이 왼쪽에 공간을 좀
5:28 적을게요.네 가지 적을 건데 조과서
5:31 있는 내용이에요. 자, 첫 번째 우리
5:33 이제 함수를 마주치면은 해야 되는
5:36 얘기가 있어요. 첫 번째 총네 개 쓸 거야.이
5:37 거야.이
5:40 함수에 정의역과 치역에 대한 얘기를
5:42 한번 할게요. 정의역은 뭐냐면 넣을
5:45 수 있는 x값들이에요. 여기 y는
5:49 k가 있는데 x에 1 넣을 수 있니? 네.
5:49 네.
5:51 >> 2는 넣을 수 있어.
5:52 >> 3은 넣을 수 있어.
5:54 >> 넣을 수 없는게 하나 있어. 누구 못 넣을까?
5:55 넣을까?
5:57 >> 0을 못 넣었지. 그럼 0을 제외한
6:00 실수가 정의역이 돼요. 첫 번째 정의역은
6:09 x바 x는 0이 아닌
6:12 실수가 됩니다.
6:15 이거인 실수.
6:17 자, 치역도 얘기할게요. 치역은 나올
6:19 수 있는 y값들이거든. 높이야.
6:21 자,이 빨간색만 집중해서 보면 자,
6:23 다 높이는 어디든 위로 쭉 올라가면
6:25 어느 높이든 가능해. 함숫값이. 근데
6:27 하나 안 되는게 있지. 누가 안 되니?
6:28 되니?
6:30 높이가 절대 안 되는 거. 나올 수
6:32 있는 함숫값이 없는 거. 0은 절대
6:35 불가능하지. 왜? 여기 높이가 0인
6:37 거는 x축인데 함수값이 존재되는
6:39 얘기는 누군가 x축에 있는 점이
6:41 있어야 돼. 내 절대 닿지 않는다
6:43 그랬지? 받지 않기 때문에 0은
6:47 불가능해요. 그래서 치역은 y바
6:49 y바
6:52 y도 0이 아닌
6:54 실수가 됩니다.
6:56 음. 정의역과 치역에 대한 얘기를
7:00 하는 거예요. 정의역과 치역.
7:02 자, 두 번째. 두 번째이 그래프
7:03 모양에 대해서 얘기를 할게요. 이것도
7:06 어렵지 않아요. 자, k값에 따라서
7:11 k가 0보다 클 때, 그 k가 0보다
7:13 작을 때 두 가지 경우가 있죠. 얘는
7:15 그냥 그림으로 간단하게 얘기를 할게.
7:17 오른쪽 보면은 0보다 클 때는 우리
7:20 x축, y축 있을 때 오른쪽이 왼쪽
7:22 아래로 그려지지. 그 단순하게 요렇게
7:24 생각하면 돼. 아, 얘는 k가 0보다
7:27 클 때는 오른쪽 위 왼쪽 아래로 그려지네.
7:29 그려지네.
7:31 자, k가 0보다 작을 때는 x축,
7:34 y축 기준으로 왼쪽 위 2사분면하고
7:37 4사분면에 그려지네. 이것만 기억하면 돼.
7:45 자, 해상의 모든 1차 함수는
7:47 둘 중 하나야. 제일 단순하면.
7:51 해상에 보차 함수는 기울기가 양수거나
7:53 음수거나 기울어진 정도를 다 떼면 둘
7:55 중 하나예요. 자, 세상의 모든 2차 함수는
7:56 함수는
7:58 두 가지로 나눌 수 있어. 어떻게
8:01 나눌 수 있을까?
8:02 세상에 보다 2차 함수는 두 가지로
8:04 나눌 수 있어.
8:05 >> 위로 볼록 아래로 볼록. 맞아. 그럼
8:08 똑같아. 유리 함수도 세상에 있는
8:09 모든 우리가 배우는 유리 함수는 두
8:12 가지밖에 없어요. 이게 왼쪽 k가
8:14 0보다 클 때 k가 0보다 작을 때
8:15 두 가지밖에 없어. 다른 모양은
8:17 나오지 않습니다. 물론 평행이도 이런
8:19 건 조금 있다 얘기를 할 거야.
8:20 그래서 둘 중 하나의 모양이
8:23 되겠구나라고 생각하면 됩니다. 자,
8:26 세 번째 볼게요. 세 번째.
8:28 세 번째 년네 번째 먼저 할까?
8:30 자,네 번째는 아까 좀 전에 얘기한
8:35 건데 자, 얘네이 곡 흔던들이 계속
8:38 어딘가 가까이는 가는데 절대 닿지
8:41 않는다 그랬지? 그 선 기준되는 선을
8:43 뭐라 그런다고? 점근선이라고 얘기를
8:45 합니다. 점근선 얘기를 할게요. 점근선은
8:53 자, 점근선은 x축, y축이지. 우리
8:55 x축은 유식하게 식으로 쓰면 어떻게
8:57 돼? x축은 y.
8:59 >> y는 0이 되지. 높이가 0이
9:02 얘들이니까 직선의 반 식으로 x축은
9:07 y는 0이고 얘는 x축이에요.
9:11 자, y축은 유식하게 x는 0이
9:14 되겠지. 얘는 y축이에요.
9:16 x값이 0인 애들을 뭐하던 거야.
9:19 이게 점근선이야.
9:21 자, 세 번째는 뭐냐면이 오른쪽에
9:25 있는 얘네들이 빨간색만 딱 봤을 때
9:26 얘 대칭성에 대해서 얘기 할 거야.
9:28 자, 어디에 대칭일 거 같아? 얘네가?
9:30 얘네가?
9:32 >> 얘네가 어디에 대칭일 거 같아?이
9:34 빨간색 딱 봐. 눈 딱 봐서 어디에
9:36 대칭일 거 같아? 처음에 점 대칭부터
9:39 보자. 어느 점에 대칭일 거 같아?
9:41 >> 원점에 대해 대칭이야. 네. 그럴 줄 알았다.
9:44 알았다.
9:45 >> 자, 볼게요. 얘들아, 원점 대칭도
9:47 정확하게 알아야 돼. 자, 여기 보면은
9:50 보면은
9:53 어, 집중. 자, 여기서이 식에다가
9:56 x 대신 -x, y 대신 - y
9:58 넣으면 우리 원점 대칭인 함수라고
10:00 얘기를 했죠. 근데 넣으면은 둘 다
10:02 마이너스 곱하면 똑같은식이 나와요.
10:05 그래서 아,이 y는 k는 원점
10:13 원점에 대해서 대칭인 도형이. 자,
10:16 그리고 두 번째.
10:18 자, xy 다리를 한번 바꿔 볼게.
10:20 우린 이걸 y는 x 직선에 대한
10:22 대칭이라 그랬지. 자리 바꾸면 x는
10:24 y k야. 근데 y 곱하고 x 나누면
10:27 어차피 똑같죠. 같은식이 나와요.
10:30 그래서 우리는 원점 대칭이면서
10:33 동시에이 직선은 y는 x에 대해서 대칭이에요.
10:36 대칭이에요.
10:38 점대칭이면서 선대칭이야.이 빨간색을
10:40 봐 봐. y는 x가 얘잖아. 자,
10:44 이게 지금이 막대기 기준으로 접어면
10:45 빨간색은 똑같이 생겼잖아. 같은
10:49 거예요. 자, 근데 하나 더 있어.이
10:52 뭔가 보면은 얘네가 이렇게 대칭처럼
10:56 보이지? 이렇게도 대칭
10:58 보여. 접었다 피면 똑같이 생겼지?
11:01 맞지? 이거 얘가 누구냐면 y는 -x예요.
11:02 -x예요.
11:08 그래서 y는 -x의 대칭이 됩니다.이
11:16 이것까지
11:19 그래서 아, y는 k가 나오면이네
11:21 개의 성질을 여러분들이 기억을 해야
11:22 됩니다. 근데 이것들을 좀 적어
11:25 볼게요. 밑에다가. 음. k가 0보다
11:27 작을 때도 똑같아요. 같은 얘기
11:28 반복합니다. 자, 위 그림에서 알 수
11:32 있으 y는 k 그래프 위에 점은 자,
11:33 얘는 이제 뭔 얘기하냐면 오른쪽으로
11:36 쭉 갈수록 이제 x축의 점점
11:38 가까워지고 왼쪽으로 쭉 갈수록 y축이
11:43 가까워져요. 그래서 x의 절댓값이
12:08 y축에 가까워진다.
12:14 가까워진다.
12:16 음. 이건 점근선에 대한 얘기예요.
12:19 점근선. 어, 점선 점자 가까워서요.
12:22 우린 그 x축, y축을 점근선이라
12:25 불러요. 그래서 그 직선을이 곡선에
12:33 그러면 방금 배웠던 유리 함수 y는
12:47 y축이다.음
12:49 이단 오른쪽에 있네. x축은 우리
12:51 식으로 쓸 줄 알아야 돼. y는
12:55 0이에요. y축은 x는 0입니다. 어
12:57 이걸 식으로 바꿔 쓸 수 있어야
13:06 자, 결국에 우리가이 유리 함수를
13:07 그리려면 세상의 모든 유리 함수 둘
13:09 중 하나야.
13:12 x축, y축 기준으로 오른쪽 위,
13:14 왼쪽 아래 그리던가 아니면 반대로
13:16 그리던가 둘 중 하나예요. 이건 누가
13:18 결정해? k값의 부호가 결정을 해요.
13:20 그럼 밑에서 그림을 그리라 그러면
13:23 다음 장 넘겨서 그림을 그리라 그러면
13:26 k값만 찾으면 돼. k가 누군지만
13:29 찾으면 우리는 바로 그래프를 그릴 수
13:32 있습니다. 자, 1번 볼까요? 1번의
13:35 k값은 몇이니?
13:36 4잖아. 눈에 보이잖아. x 위에
13:39 있는게 k값이야. 그래서 아, 4가
13:48 자, 오른쪽 2번에서의 k값은 몇이야?
13:50 몇이야?
13:52 2번에서는 아, 그 마이너스가
13:54 거슬리지. 마이너스 위로 올릴 수
13:58 있어요. 올리면 우리는 얘는 x의
14:07 다음 3번 볼게요. 3번 보면은 y는이지
14:09 y는이지
14:11 밑에 3이 갑자기 거슬리네. k는 몇일까?
14:13 몇일까?
14:17 >> 1이야. 왜 13일까? 얘는 우리 x분의
14:18 x분의
14:22 1이라고 쓸 수 있어요. 1 번수잖아.
14:23 번수잖아.
14:26 1분의 x라서 매항의 곱 내려오고
14:28 매양의 곱 올라오고 그래서 이때는
14:30 k값이 1이에요. 근데 k가 뭐
14:33 정확히 1한게 아니고 k가 양수인지
14:35 음수인지가 실제로 더 중요해요. 자,
14:37 오른쪽 넘어와서 자, 그러면 y는 -3x은
14:39 -3x은
14:41 k는 몇일까? 얘는
14:42 얘는 >> -13이
14:44 >> -13이
14:46 돼요. 부호가 똑같이 올라가면 되지.
14:47 이게 k가 됩니다. 그럼 k가
14:49 양수인지 음수인지는 파악이 되지.
14:51 일단 뭐 13이라 거 정확하게 쓴
14:53 거긴 하지만. 그러면 결국에 그리면
14:55 돼요. 자, 1번부터 그려 볼게요.
14:57 k가 양수면
14:59 둘 중 하나 중에서 처음 나왔던 거
15:01 있지? 이렇게 그리면 됩니다. x축,
15:10 자, 오른쪽 위쪽
15:13 아래 이러면 끝이에요.
15:15 다 그렸네.
15:20 근데 우리 중학교 때 반비대 그래프
15:23 할 때도 그랬고 한 점 정도는 찍어
15:25 줬어. 한 점 정도. 보통은 아무거나
15:27 찍어도 되거든. 여기 x에다 1
15:30 넣으면 1 4 y는 4죠. 1 4
15:33 정도는 한 점 정도는 찍어 줬습니다.
15:36 이제 1 4
15:39 그래서 1 4가 지나는 반비의
15:42 그래프예요.요 정도는 해줄 거.
15:44 왜냐면이 그림 나오면 반비례인 거
15:45 알고 1 4를 지나는 건 얘밖에
15:48 없거든. 걱정지울 수 있기 때문에
15:50 이제 일반적으로 1 넣는 걸 무조건
15:53 해 주진 않고 보통은 그래프 그리면
15:55 점을 하나씩은 꼭 찍어 주는데 보통
15:57 어느 점을 찍어 줄까? 그래프가
16:00 주어졌을 때 여기 2차 함수 그릴
16:08 >> y 절편을 보통 찍어 줘요. y
16:09 절편이 뭐야? x가 0일 때
16:10 y값이지. 근데 얘는 y 절편이
16:12 없어. y축하고 만나야지. y 절편인
16:14 거는 없기 때문에 그냥 다른 점 하나
16:16 정도 찍어 준 거야. 그 오른쪽 것도
16:19 볼게요. 자, y는 -x 4래요. 그
16:22 얘도 똑같이 x축, y축 그린 다음에
16:24 x축, y축 그린 다음에 k가 0보다
16:26 작지? 그러면 왼쪽이 오른쪽 아래
16:29 음수면 이렇게 그린다고 했죠? 음수는
16:32 이렇게 2사분면 4 4분면
16:34 그리고 한 점 똑같이 1 넣으면 1
16:37 -4거든요. 그 한 점도 찍어 주는
16:40 거야. 여기 한 점, 여기 1이고 -4고요
16:42 -4고요
16:45 정도 찍어 주면 다 그린 거야. 아쉽다.
16:50 다음 3번도 같이 그려 볼까? 3번도
16:54 어렵지 않습니다. 3번 보면은
16:56 k가 0보다 크네. 그럼 방금 한 거
17:00 위에랑 똑같이 그리면 돼요. 여기 x
17:04 축 y축 있을 때
17:06 오른쪽 위 왼쪽 아래. 근데 이제
17:09 여기 1 집어넣으면 1이거든. 그냥
17:11 1 찍으면 돼. 13 더 작으니까
17:14 이쯤 있겠지. 1이고 1이겠지.
17:16 이렇게 한 점 찍어 주면 끝이에요.
17:19 쉽네. 쉬워. 다음 거. 자,
17:21 마이너스 있어도 똑같이 마이너스
17:23 있으면은 그대로 왼쪽 위 오른쪽 아래.
17:25 아래.
17:30 얘도 원점 x축 y축에서
17:33 똑같이 왼쪽 위 오른쪽 아래 그려
17:35 주면 끝입니다. 얘도 1 집어넣으면 -13이라
17:37 -13이라
17:41 이쯤 있겠네. 여기가 1이고 -3이고
17:43 점 찍으면 끝납니다. 다 그렇네. 어 쉬워.
17:46 쉬워.
17:49 여기까지 어렵니? 할 수 있겠어? 어
17:51 k가 양수 음수냐에 따라서 둘 중
17:54 하나만 그면 돼요. 가장 기본
17:57 꼴이야. 여러분들이 1차 함수 배울
17:59 때도 가장 기본 꼴인 y는 ax부터
18:01 그려서 그리고 2차 함수도 배울 때
18:04 y는 ax제곱 그렸어요. 가장
18:06 기본꼴. 그다음 단계에 뭐였냐면
18:08 얘네들을 평행 이동하기 시작합니다.
18:12 그럼 똑같이 우리는이 y는 k를 평행
18:13 이동할 거야.
18:17 자, 할 건데 우리 y는 k라는 애가
18:19 이제 앞으로 평온 얘기하고 x축
18:21 방향으로 p만큼 y축 방향 q만큼
18:23 생각하는 거야. 오른쪽으로 p칸 위로
18:25 q칸 옮기는 거야. 그러면 x 대신
18:29 x - p, y 대신 y - q를
18:31 대입하는게 평행 이동이었습니다.
18:34 계속했지. 맞지? 근데 y - q는
18:38 -를 넘기면 요렇게 되죠. y는 x
18:42 - k + q꼴이 됩니다. 그럼 얘는
18:45 누구냐면 원래 y는 k프를 x축 방향으로
18:48 방향으로
18:58 그리고 y축 방향으로
19:10 평행 이동한 그래프가 됩니다.
19:11 방향으로 p만큼, y축 방향으로
19:14 p만큼. 이거의 특징까지 하면 오늘
19:17 끝이야. 집중하자. 아, 우리 y는
19:19 k는 내가 이제 그릴 수 있게 됐어.
19:21 왜? K가 양수냐 음수냐에 따라서 둘
19:23 중 하나야. 그럼 똑같이 평행 이동한
19:26 것도 그대로 옮겨 쓰기만 하면 돼요.
19:27 그럼 그릴 때 어떤 걸 좀 고민을
19:30 많이 해야 되냐? 점근선에 대한
19:32 얘기를 조금 해야 됩니다. 그래서
19:35 자, 밑에 y는
19:37 k가 여기 왼쪽이가 양쪽일 때
19:40 >> 이걸 오른쪽으로 다 p만큼 q만큼
19:42 이렇게 이동하면은이 오른쪽 그림이 될
19:45 거야. 자, 그런데이 점선을 없었는데
19:49 어디서 나왔을까? 점선은 원래 x축
19:51 y축에 있던 애들이 같이 끌려 나온
19:53 거야. 왜? 원래 x축 y축이 같지
19:56 않았지? 맞지? 그 얘네도 평행
20:00 이동한이 점선에 여전히 닿지 않을
20:03 거예요. 그이 점선을 먼저 찾고
20:05 그다음에 k가 따라서 그래프를
20:08 그리는게 핵심입니다. 그래서 아
20:10 그대로 끌고 오면은이 점선들 x축
20:12 y축이 이렇게 같이 평행 이동되고
20:15 똑같이 닿지 않게 k가 양수면
20:18 오른쪽이 왼쪽 아래 k가 음수면 왼쪽
20:20 위 오른쪽 아래의 그림을 그리게 될
20:22 거예요. 여기까지됐니? 예.
20:25 >> 자, 그러면은 우리 여기서도이
20:28 그래프의 특징이 있지? y는 x -
20:30 k + 이게 나오면 여러분들이
20:32 생각해야 되는게 있어요. 방금 했던
20:34 거 있지? 방금 했던 거를 그대로
20:37 가져와 볼게요.
20:40 조금 전에 k의 성질 있죠? 얘를 복사해서
20:42 복사해서
20:44 고쳐 넣을 건데 수정할 거야. 바로
20:46 쓰지 마세요.
20:48 음. 자, 얘를 수정해서 한번 써
20:50 보자. 수정한 건 빨간색으로 해
20:54 볼게요. 자, 첫 번째. 자, 원래는
20:57 정의역이 0이 아닌 실수였어. 원래는
20:59 그 여기 0 넣으면 안 되잖아.
21:02 맞지? 정의역이 바뀌었겠지. 왜?
21:05 여기서 넣을 수 없는 값은
21:07 >> 누굴 넣을 수 없어? p를 넣을 수
21:10 없어. 왜? P 넣으면 0이 되잖아.
21:12 맞지? 그래서 정의역이 원래는 0이
21:15 아닌 실수였는데 바뀌어 가지고
21:17 정의역은 0이 아니고 p가 아닌
21:21 실수가 돼요. 정의역은 x는 p가
21:25 아닌 실수가 되고
21:26 아까 거에서 조금씩 바뀌는 거야.
21:29 자, 치력은요 나올 수 있는 y값인데
21:31 점근선은 다를 수 없다 그랬지. 그
21:35 높이가 q예요. q. 그래서 치역은
21:40 q가 아닌 실수가 돼요. q.
21:43 음. 1번은 요렇게 고쳐서 쓰면 돼.
21:46 정의역은 x바 x는 p가 아닌 실수.
21:49 취역은 y바 y는 q가 아닌 실수가 됩니다.
21:56 자, 2번 하기 전에 4번으로 넘어가
21:58 볼까요? 4번. 음. 2, 3번은
22:01 조금 있다가. 자, 4번은 점근선에
22:04 대한 얘긴데 원래는 x축, y축인데
22:07 걔네들을 점근선도 평행 이동할 거야.
22:08 x축방향 p에 y축 방향 q만큼.
22:12 그러면 점근선이 x 대신 x - p,
22:14 y 대신 y - q인데 y - p
22:17 넣으면 y는 q고 x - p 넣으면
22:19 x는 p가 돼요. 그래서이 두 개를
22:21 그대로 순서를 좀 바꿔 써 볼까?
22:23 그러면 어떻게 되냐?
22:28 점근선은 x는 p 그리고 y는 q
22:33 직선이 점근선의 방정식이 됩니다.
22:34 x는 어쩌고 y는 어쩌고는 우리
22:38 x축의 수직 평행한 애들이죠.
22:41 4번은 요렇게 바뀌어요.
22:44 그러면 점근선이 있으면 이제 점근선
22:47 따라서 2번도 바뀝니다. 2번도
22:53 어떻게 바뀌냐? 자, 점근선 따라가서
22:55 x는 p. 여기가 p라고 하자. p가
22:59 양수면. 그리고 y는 q.
23:02 자, x는 p,
23:05 y는 q가
23:07 되면은 k가 0보다 크면은 아까
23:09 정근성 기준 k가 0보다 크면
23:11 오른쪽이 왼쪽 아래지. 똑같이 해도
23:15 오른쪽 위 왼쪽 아래를 그어 주면 끝납니다.
23:21 항상 나오면 여기 점근선들이 교차하는
23:22 지점 있지? 점근선이 교점요 정도는
23:25 수연해 줘. 여기 x가 p고 y가
23:33 자,이 오른쪽도 똑같을 거야.
23:36 오른쪽도 점근선이 똑같이 x가 p,
23:40 y가 q가 될 건데 여기 똑같이 x는
23:45 p, y는 q고 그리고 얘는이 점은
23:48 p q고 k가 0보다 작으면 아까
23:52 우리 왼쪽 위 오른쪽 아래를 그려
23:54 주기로 했죠. 2번도 요렇게 바뀝니다.
23:57 바뀝니다.
24:00 결국에 PQ를 찾는게 핵심이야. PQ
24:03 찾고 K의 부호를 찾으세요. 그러면
24:05 그래프를 그릴 수 있어요. 얘네.
24:09 PQ를 찾아서 PQ 정근선 그어 주고
24:11 K가 양수면 오른쪽이 왼쪽 아래.
24:13 정근선 기준. K가 음수면 왼쪽이
24:16 오른쪽 아래예요.
24:19 자, 이제 밑에 3번을 싹 고칠게요. 3번.
24:21 3번.
24:24 자, 3번을 쌓고치면은
24:25 2번까지 했어. 이제 마지막
24:29 3번이야. 자,이
24:32 얘네들은 k가 0보다 클 때 0보다
24:34 작을 때는 얘도 어떤 점에 대해서
24:36 대칭이에요. 아까는 원점이었지.
24:39 지금은 무슨 점일 거 같아? 지금은이
24:42 P Q에 대해서 대칭이에요. 어,
24:44 눈으로 봤을 때 돌림은 똑같잖아.
24:49 그래서 얘는 P Q의 대칭. 대칭.
24:51 대칭. 점대칭이고.
24:53 점대칭이고.
24:57 자, 아까 우리 원래 k는 y는 x
25:00 직선 기울기 1짜리 대칭이었지. 그걸
25:03 이동하면은 이거는 p q를 기준으로
25:05 접었다 피면은 똑같이 생겼어요.
25:09 그래서 기울기가 1이고 p q를
25:10 지나는 직선에 대해서 대칭이에요.
25:14 그럼 어떻게 쓰냐? y는 p q를
25:18 지나고 기울기 1자리 직선 x - p
25:22 + q의 대칭입니다.
25:24 기울기가 1이고 p q를 지나는
25:27 직선이잖아. 그게이
25:29 기울기 1자리.
25:32 그리 아까 원점일 때 기울기
25:34 -1짜리도 있다 그랬지. 똑같이
25:36 여기서도 점근선 교점을 지나면서
25:39 기울기 -1짜리에도 대칭이에요.
25:41 그래서 얘는 어떻게 쓰냐? y는
25:46 기울기가 -1이고 p q x - p
25:49 + q의 대칭입니다.이
25:52 세 개에 대해서 대칭이 돼요.이
26:01 원래 이제 너희들 내년에 기하 배우는
26:04 사람들 있지? 기하를 배우면 또
26:06 정근선 이런게 나오거든. 이거 45도
26:10 쓱 돌려보면은 45도 쓱 돌려보면은
26:11 얘는 이제 나중에 기아대 외우는
26:14 쌍곡선하고 똑같은요.이
26:16 골더의 관계를 물어보는 거는 물론
26:19 나오진 않지만 어 비슷한 성질을
26:20 가지고 있다. 나중에 쌍곡선 배우고
26:23 나서 두 개가 갑자기 똑같아 보일
26:25 때가 있어. 그러면 둘 성질을
26:27 완벽하게 알게 된 거야. 그건 그렇다
26:30 치고 어쨌든이 성질율 1번 2번 3번
26:32 4번을 여러분들이 유리 함수 딱
26:35 들어가면 생각하고 있어야 됩니다.
26:37 엄청 자주 나옵니다. 자 이제 뭐 할
26:39 거냐면 이제 얘네들 뭐 필요한 거
26:41 외치를 좀 적어 넣고 그래프 그리는
26:43 것까지만 할 거야. 좀 집중하세요.
26:45 자 보면은 왼쪽에 볼게요. 자 우리
26:50 y는 x - p k + q 얘는
26:54 정의역은 p를 대한 실수지. 정의역은
26:58 x바 x는 p가 아닌 실수고
27:00 실수고
27:02 치역은 아까 q가 안 된다 그랬지.
27:07 y바 y는 q가 아닌 실수국.
27:15 그리고 그래프의 점근선은 조금 전에
27:18 했죠. x는 p 그리고 y는 q가 된다.
27:21 된다.
27:23 직선 두 개가 점근선이 돼요.
27:31 자, 집중해. 이제 그래프 그리는 거
27:33 할 거야. 어렵지 않아. 이거 딱
27:36 하고 나면 이제 다 그릴 수 있어.
27:38 결국에 내가 유리 함수를 그리려면 세
27:41 개를 알아야 되더라. 세 개. 여기서 t랑랑
27:43 t랑랑
27:46 k를 알면 그릴 수 있어. 자, p는
27:49 x는 p, q는 y는 q를 먼저
27:52 점선을 그려. 그리고 k가 양수면
27:54 오른쪽이 왼쪽 아래. 음수면 왼쪽이
27:57 오른쪽 아래야. pq 그리고 그다음에
27:59 k의 부호를 따지세요하는 얘기야.
28:02 그럼 여기서 찾아보자. 자, 유리
28:06 함수 개념 확인해 보면 - x + 4
28:09 - 1인데 여기서 pq를 찾아볼게.
28:11 k는 몇이니?
28:13 >> k는 몇이야?
28:16 아요.이 마이너스를 올려 줘야 돼.
28:17 헷갈리면 안 돼. 부호가 되게
28:20 중요하기 때문에 -4야. 그래서 요거
28:24 생각해서 자, k는 -4예요.
28:31 자, p는 몇이야? p는 여기 분모에
28:33 있는 거 10분의 동료. 응. 충분해.
28:40 P는 여기 분모에 있는 거 뒤에 있는
28:42 거 있지? x + 2에서 뒤에 부호를
28:45 바꿔 주세요. 그러면 -2예요.
28:48 어, p는 -2고. 자, q는요.
28:51 q는 그냥 나오고 부호 안 바꿔.
28:53 P는 부어 바꾸고 q는 안 바꿔요.
28:55 그래서 q는
28:58 -1이네. 그럼 다 끝났네. 아, k
29:00 나왔고 p 나왔고 p 나왔네.
29:03 순서대로 아 얘는 우리 원래 y는
29:06 -x 4를 x축 방향으로 p만큼
29:08 그래서 -2만큼
29:11 y축 방향으로 q만큼 그럼 -1만큼
29:14 평행 이동한 거다. 그러면 정의역은
29:16 x는 p가 되면 안 돼. -2가 되면
29:18 안 되고 치역은 -1이 되면 안 돼요.
29:20 돼요.
29:23 점근선은 x는 p, y는 q야.
29:29 그리고 y는
29:33 q니까 -1이 됩니다.
29:37 그럼 얘를 그리세요라 그러면 자 이제
29:39 이거다는 상태에서이 세 개 나오면
29:42 어떻게 그리냐? 먼저 x는 -2을
29:46 그으세요. x는 -2이 오른쪽에서 자
29:48 원점이 있을 때 왼쪽 두 칸 관계
29:50 x는 -고
29:54 y는 -1은 밑으로 한근 -1 점근선
29:57 그린 다음에 k가 음수였지. 그러면
30:00 왼쪽이 오른쪽 아래 그리면 끝이에요.
30:03 다시 점근선 먼저 그리고 그다음에 K
30:05 부호 따라서 K가 음수기 때문에
30:07 이렇게 양수면 오른쪽이 왼쪽
30:10 아래예요. 그런데 하나만 더 해 줘야
30:12 돼. 자, 아까는 상관없는데 지금은
30:16 상관 있는게 뭐냐면 y 절편 있죠?
30:17 얘는 y 절편이 존재하지. y축과
30:19 만나면 y 절편이 있는 거야. y축과
30:21 만나는 점이 있지. 그 점 정도는
30:23 찍어 주세요. 그러면 그 점이
30:25 누군데요? x에 0 넣으면 y 절편이
30:28 0 넣으면 여기는 -2 -에서
30:31 -3이죠. 그래서 그래프에다가 여기
30:35 만나는 점에 -3은 꼭 써 주세요.
30:37 중요한 내용이야. 여러분 유리 함수를
30:39 그릴 때 신경 써야 될게 거의
30:41 없거든. 그중에서 y 절편 이런 건
30:44 좀 신경을 써 줍니다. 그러면 우리
30:46 왼쪽 거 밑에 있는 거 한번 같이
30:48 그려 볼게요. 자, 어렵지 않아.
30:51 PQK K 구하고 PQ 구하면 돼.
30:54 자, 여기서 4번에 1번. K가 몇이니?
30:55 몇이니?
30:58 >> 1. 그래서 K는 1.
31:01 자, P는 몇이야?
31:03 P는 3.
31:05 Q는 몇이야?
31:07 -2가 됩니다. q는 -2예요. 자,
31:10 그럼 점근선은 점근선은
31:11 점근선은
31:15 x는 p, x는 3하고 y는 q -
31:18 2가 됩니다. 자, 이것까지 구한
31:20 다음에 이제 여러분 그릴 때는 좌표
31:25 평면 그리고 x축 y축 그린 다음에
31:28 자, 원점 x축 y축 있지? 자,
31:30 점근선을 먼저 표현할 거야. 점근선은
31:32 점선으로 할 거예요. 자, x는
31:36 3이래. x가 0
31:41 1 2 3 이거네. 그 y는 0 -1
31:44 - 2래. 두 개를 전선을 그려
31:47 주세요. x는 3.
31:51 여기서 쭉 내려. 얘가 3이면 x는 3이에요.
31:53 3이에요.
31:56 그리고 y는 -2.
31:58 경근선은 항상 x축과 수직 또는
32:02 평행합니다. -2. 그 얘는 y는
32:04 -2예요. 자, 그리고 나서 다
32:08 했으면 이제 k가 양수죠. 양수면
32:12 점근선 기준으로 오른쪽 위쪽 아래를
32:14 그어 주면 됩니다. 그래서 오른쪽 위
32:19 왼쪽 아래 곡선 그어 주면 끝나요.
32:23 그래서 왼쪽이 점근선 기준 정근선은
32:26 절대 닿지 않아요. 그리고 오른쪽이
32:29 왼쪽 아래. 음. 이렇게 가겠죠?
32:33 그러면 다 그린게 되네요.이 끝이야.
32:35 자,이 오른쪽 것도 그릴게요. 오른쪽
32:37 거 똑같이 반복하는 거야. KPQ
32:39 구하고 정근선 구한 다음에 K 부어
32:41 따질게요. 자,이 오른쪽도 하나씩
32:45 볼게. 여기서 k가 몇이니? 2번에서
32:48 >> -2예요. k는 -2.
32:54 -4.
32:58 P는 부호 바꿔 주세요. Q는
33:01 3이 됩니다. P는 부호 바꾸고 Q는
33:03 안 바꾸고 이렇게 조심하세요. 자,
33:06 그다음에 똑같이 그릴게요. 우리
33:10 x축, y축 한 다음에 원. xy
33:14 쓰고. 자, 점근선의 방정식은 점근선은
33:16 점근선은
33:20 x는 p, x는 -4랑 y는 q,
33:22 y는 3이 되겠죠. 그래서 이거를
33:25 우리는 그어 줄게요. x는 -4면
33:33 y는 0 1 2 3 4 0이를 그어
33:37 주면 됩니다. 그래서 그으면 너무
33:48 그리고 y는 3.
33:51 이거 3이겠지? y는 3. 음.
33:53 점근선 끝났네. 그럼 둘 중 하나야.
33:55 오른쪽이 왼쪽 아래 또는 왼쪽이
33:56 오른쪽 아래인. 근데 k가 음수죠.
33:59 k 음수기 때문에 왼쪽이 오른쪽
34:01 아래로 그려 줄 거야. 그런데 여러분
34:03 유리 함수에서 내가 아까 하나
34:05 조심하라 그랬지? 뭘 체크하라
34:07 그랬어?이 왼쪽은 상관이 크게
34:09 없었거든. 왼쪽은 크게 상관이 없는데
34:12 오른쪽은 좀 많이 중요해. 자,
34:16 그리지 말고.
34:18 왼쪽이 오른쪽 아래 그릴 거야.
34:20 그린다고 치자. 왼쪽는 전혀
34:22 상관없는데 오른쪽 아래는
34:24 이렇게 그리는 거랑 요렇게 그리는
34:26 거랑 이렇게 그리는 거랑 셋이 완전
34:34 완전 달라.이 세 개는
34:34 뭐 때문에 다를까? >> x절편
34:36 >> x절편
34:38 >> y 절편의 부호가 완전 달라요.
34:41 이렇게 그렸을 때 y 절편이 이러면은
34:43 0보다 커요. y축하고 만나는게
34:45 0이에요. 0보다 작아요. 그 세
34:47 개를 구분해서 그려야 돼. 그러면
34:49 이걸 어떻게 체크해요? 여기다 0을
34:50 넣어 보세요. 0 넣으면 어떻게 돼?
34:54 -1 + 3이지. 그럼 5예요. 그럼
34:57 y 절편이 5야. 그러면 1번,
35:00 2번, 3번 중에 몇 번이야?
35:02 >> 1번으로 그려야 된다는 얘기야. 그걸
35:04 신경 써서 그리라고. 그래프 그릴 때
35:07 막 그리지 말고. 그거 따라서 바뀔
35:10 때는 신경 써 줘야 돼.이 왼쪽은
35:12 크게 신경 쓸 필요가 없어. 얘는 y
35:14 절편이 무조건 밑에야. 음수야.
35:16 어떻게 그려도 맞지? 그럼 내가
35:18 숫자만 조절하면 되지만이 오른쪽은
35:20 아예 그래프가 달라집니다. 그래서
35:23 얘는 그릴 때는 어떻게 왼쪽이는
35:25 상관없지만 오른쪽 아래는 이렇게 그려
35:28 줘야 돼. 그리고이 만나는 점을
35:30 5라는 거를 표현을 해 줘야 돼.
35:31 물론 조금 더 위에 붙어야겠지. 실제
35:34 제대로 그리려면. 그다음에 왼쪽에는
35:35 그냥 그거에 맞춰서 그리면 돼요.
35:37 이러면 끝입니다.
35:39 y 절편을 꼭 신경 써 써 줘야
35:42 된다. 되게 중요해. 여기서 많은
35:43 오류가 나요. 여러분들이 문제를 풀
35:46 때. 분명히 그리는 그런데 이제
35:48 여기서 많이 납니다.
35:50 자, 이렇게 그리면 여러분들이 유리
35:51 함수를 그릴 수 있어. 자, 마지막
35:54 키즈. 응. 자, 그릴 수 있다고 치자.
35:56 치자. 여기서
35:57 여기서
36:02 퀴즈. 자, 만약에 y는
36:07 -x + 1 + 1이야. 자, 여기서
36:10 k는 몇이니? 마
36:12 마 >> p는
36:14 >> p는
36:17 q는 자 q는 딱 보이지? q는 몇이야?
36:18 몇이야?
36:20 >> 어이 q 있는게 q야. 얘는 q는 1이야.
36:22 1이야.
36:24 >> 자 p는
36:26 >> 자 p는
36:28 >> 우리가 그냥 구호 바꿔라고 얘기했지만
36:30 더 정확히는 넣을 수 없는 x값이야. 누구야?
36:31 누구야? >> 1
36:31 >> 1
36:34 >> 1이잖아. 넣을 수 없는 x값이
36:36 p야. 여기 1 못 넣지. 어.
36:39 그렇기 때문에 얘는 1이야. 그럼
36:41 k는 누구예요? 1인데 뒤에 뭔가
36:43 거슬리지. 자, 우리 x - p
36:45 k잖아. 앞에 마이너스 달린 적이
36:47 없지. 얘 처리할 거야. 어떻게
36:49 처리하냐면 분모 분자의 -1을
36:51 곱합니다. 상관없잖아. 분수는.
36:55 그러면 얘는 뭐가 되냐면 얘는 x -1분의
36:57 -1분의
37:00 -1 + 1이 되지. 그래서 실제로
37:02 p는 이거 부어 바꾼 1이 되고 k는
37:05 -1인 거야.
37:08 이것까지 여러분들이 변형할 수 있어야
37:10 돼요. 어 그래서 x 앞에 부호를
37:12 바꾸면 그냥 갑자기 장난치는 거야.
37:14 어 너희들 헷갈려라 틀려라고 하는
37:17 건데 실제로는 그냥 간단하게 -3만
37:19 곱해 주면 해결할 수 있다. 이게
37:20 바로 직장에 여러분들 얘기가 나올
37:22 건데 이제 그거는 다음 시간에 하도록
37:25 할게요. 자 다시 빠르게 복습. 자
37:27 얘들아 우리 이거 가장 기본권 했는데
37:29 그거가 중요한게 이거예요. 평행
37:32 이동한 거 중요해요. 그럼네 가지
37:34 성질 있지. 정의역 취역은 넣을 수
37:37 없는 x값과 나올 수 없는 y값이
37:40 제외하면 되고 그다음에 그림 그리는
37:42 건 정근선 그리고 k에 보따라 둘 중
37:44 하나예요. 어렵지 않아. 의함수
37:46 그래프는 충분히 할 수 있어요. y
37:48 절편 조심하고 대칭성에 대한 얘기는
37:50 오늘 거의 안 했지. 나중에 할 얘기
37:51 있으면 이거 되게 자주 나옵니다.
37:54 그리고 마지막 금선을 꼭 그려 주고
37:56 여기까지 하도록 하겠습니다. >> 네.
37:59 >> 네. H
