0:04 자, 수업을 시작합니다. 우리 이제
0:06 역함수에 대해서 얘기를 할 건데
0:07 역함수 아, 할 거야. 처음부터
0:09 끝까지. 네. 그 사이에서 숨겨진
0:11 얘기들이 되게 많이 있습니다. 근데
0:13 이제 중요한게 크게 세 가지가
0:16 있어요. 그 세 가지를 잘 짚고
0:18 넘어가야 됩니다. 이제 첫 번째부터
0:19 얘기를 할게요. 우리 생간 얘기를
0:21 보면은 집합 X가 있고 집합 Y가
0:25 있대요. 자, f랑 g가 있는데 우리
0:27 이제 치다 왔으니까 한번만 좀 복습을
0:31 해 볼까? 자,이 F가 3이
0:34 >> 함수 어떻게 체크했어?
0:36 >> 안 갈라지고
0:38 >> 모두 다 출발했지. 그리고 갈라진게
0:39 있어? 없어?
0:42 >> 없으면 함수라 그랬죠. 두 번째 것도 한니?
0:43 한니? >> 출발
0:44 >> 출발
0:47 >> 모두 출발하고 갈라진게 없지. 그러면
0:48 함수라고 얘기를 했습니다. 근데
0:50 이거를 이제 우리가 화살표를 방향을
0:52 바꿔 볼게요. 그래서 y를 먼저 쓰고
0:54 거꾸로 한번 써 봅시다. 거꾸로
0:57 쓰면은 아 여기는 y가 되고 여기는
0:59 x가 돼서
1:01 화살표 그냥 방향만 뒤집은 거야.
1:04 그래서 x는 1, 2, 3일 때 자,
1:07 원래 2가 a로 가니까 a는 2로
1:09 그리고 3이 b로 갔으니까 b는 3,
1:11 c는 1로 갔어요. 자, 그 오른쪽도
1:14 똑같이 방향을 반대로 해 볼게요.
1:19 y가 있고 여기 x가 있을 때 a, b
1:21 b
1:24 저 함수 g도 반대로 가면 a는 2로
1:27 가고 b는 1 3 그리고 c는 없네요.
1:29 없네요.
1:31 자, 그냥 그대로 우리 주어진 거를
1:33 뒤집기만 했어요. 자, 그리고 나서이
1:36 파란색 두 개를 보면은 자, y에서
1:39 x로 가는 대응인데 우리 첫 번째이
1:42 왼쪽에 있는이 파란색 대응은 함수니? >> 네.
1:44 >> 네.
1:47 >> 왜 다 출발하고
1:49 >> 갈라진게 없지? 자, 두 번째 오른쪽
1:50 거는 함수니? >> 아니요.
1:51 >> 아니요.
1:52 >> 아니지. 오른쪽 거는 모두 출발하지도
1:54 않았고 심지어 갈라진 것도 있지.
1:56 오른쪽은 함수가 아니에요. 그래서
1:59 오른쪽은 함수가
2:02 아니고 왼쪽 거는 함수지. 근데 원래
2:05 함수 f가 있는데 그걸 반대로 간
2:07 함수지. 그래서 우리는 역함수라고
2:10 얘기를 합니다. 그래서 왼쪽은 f의 역함수라
2:16 얘기할 거예요. 음.이 오른쪽 거는
2:18 거했을 때 함수가 아니기 때문에 뭐
2:20 역함수 이런 단어를 쓰지 못해요.
2:21 그리고 얘는 우리 기호로 뭐라 쓸
2:25 거냐? f를 쓰고 위에 -1제곱으로
2:28 올릴 거야. 실제로 제곱은 당했지만
2:32 오른쪽 위에 -1이라고 올립니다.이
2:34 기호적인 표현이야. 자, 여기서 이제
2:35 오늘 할 세 가지 중에 첫 번째
2:37 중요한게 나와요. 자, 원래 함수가
2:40 존재하지. 그 함수의 대응을 거꾸로
2:42 했어. 거꾸로 했을 때 모두 다
2:43 함수가 되니?
2:46 >> 안 되지. 되는게 있고 안 되는게
2:48 있습니다. 그러면 언제 되니에 대해서
2:50 생각을 해 봐야 돼요. 자, 우리가
2:52 여기서 왼쪽에서 오른쪽 가는데
2:54 뒤집었을 때 함수가 된다는 얘기는
2:57 자, 뒤집었을 때 함수가 되려면
2:59 뒤집었을 때 모두 다 출발해야 되지. >> 네.
2:59 >> 네.
3:01 >> 그 말은 모두 다 나한테 오는게
3:03 있어야 돼. 처음에 공역이. >> 네.
3:03 >> 네.
3:06 >> 그러면 공역과 치역이 같아야겠지.
3:09 >> 그리고 거꾸로 했을 때 갈라지면 안
3:11 돼. 그만은 원래 함수는 모이면 안
3:14 되지. 모이면은 우린 1대 1 함수가
3:16 안 된다 그랬지. 그래서 안 모이면
3:18 1대 1 함수라 그랬어요. 그 말은
3:21 아 원래 함수가 1대 1 함수이면서
3:23 공약과 치역이 같아야 돼. 이걸
3:24 한꺼번에 뭐라 불러? 1대
3:27 >> 1대 1 대응이라 그랬지. 그래서
3:30 원래 함수 f가 1대 1 대응일 때
3:33 그때 화살표를 뒤집으면 함수가 되고
3:35 그 함수를 역함수라고 부릅니다.
3:37 이해됐니? 그 얘기를 이제 밑에다
3:40 적을게요. 자, 함수 f가 있는데
3:42 정의역이 x 공역이 y일 때 얘가
3:47 1대 1 대응일 때 1대 1
3:51 대응일 때 그리고 원래 밑에 여러분
3:53 개념 정리한게 있는데 여기 없어서
3:56 빨간 네모 친 거를 꼭 알아야 돼요.
3:59 1대일 대응일 때 여긴 별표 두 개 할게요.
4:01 할게요.
4:03 1대 1 대응일 때 역함수가 존재합니다.
4:05 존재합니다.
4:07 대장이 아니면 역함수는 존재하지
4:10 않아요. 자, 그때 새로운 함수를
4:13 정의할 수 있는데 자, 거꾸로 가는
4:14 함수를 정의할 거야. 그러면 원래는
4:17 x가 정의역, y가 공역인데 반대로
4:20 가면 y가 정의역이 되지. 그래서
4:21 쭉이 얘기들이 다 그 얘기예요.
4:29 이제 원래 정의이었던 x를 공역으로 하는
4:32 하는
4:34 새로운 함수를 정의할 수 있습니다.
4:37 함수를 정의할 수 있어요. 얘는
4:40 누구라 그러냐? 얘는 우리는 역함수라
4:47 그 기호로 f의 -1제곱 뭐 f의
4:50 인버스 펑션 여러 가지 얘기가 있는데
4:52 그냥 f의 역함수라고 얘기를 할게요.
5:00 그래서 아 1대 1대 0이면 역함수가
5:02 존재하고 그거를 우린 기억으로 뭐
5:05 f처럼 f의 여기 -1제곱을
5:07 올리는구나라고 얘기를 하고 이제 즉
5:10 이제이 함수는 이렇게 쓸 거야. f의 역함수고
5:11 역함수고
5:16 자 우리 정의역이 y 공역이 x구나
5:19 요렇게 표현하고
5:22 그리고 우리 y에 있는 소문자 y라는
5:25 원소를 거꾸로 보내면 x가 되지.
5:28 거꾸로 보낸다는 얘기는 우리 x는
5:31 누구냐? 역함수에다가
5:34 y를 집어넣으면 x가 돼요라고
5:37 표기합니다. 이거는 완전 정의적인 개념이야.
5:38 개념이야.
5:41 오늘 조금 여기 앞장은 이렇게 나온
5:45 채울 것들은 조금 정의적인 수식적인게
5:47 많은데 이제 그런 것들은 쭉 보고
5:49 실제 문제 풀이에서는 들어가면 조금
5:51 더 쉬워질 거예요.
5:53 자, 그만은 그 어떻게 되냐면 아,
5:57 역함수가 존재하면 원래 y는 fx죠.
6:04 그러면 x를 보내면 y가 되지.
6:06 반대로 y를 거꾸로 보내면 x가
6:10 됩니다. 얘랑 완전히 같은 말이 x는
6:13 f역 역함수 y예요. 얘네가 서로
6:20 예를 들어 3이 f2면
6:23 반대로 2는 f 역함수 3이에요. 꼭
6:26 바꿨을 수 있어요. 잘되고.
6:28 자, 역함수가 이렇게 어떤 의미인지
6:30 알았으면 역함수를 한번 합성해
6:32 볼게요. 밑에 하나만 적어 볼게요.
6:35 여기 박스 밑에 여기 좀 그림 좀
6:37 그러죠? 여기 x가 있고 여기 y가
6:39 있어요. 우리이 함수를 f라고 해
6:43 볼게요. 얘를 f라 하고 자,
6:45 역함수도 있어. 역함수를 연달아 보내
6:49 볼게. 그러면 얘는 f 역함수인데
6:56 자, 원래 우리 x라는 소문자 원소가
7:00 있을 때 얘를 보내면 우리는 y로 갈
7:02 건데 이걸 다시 역함수로 보내면
7:04 누구로 갈까? x
7:06 >> 다시 x로 돌아오겠지? 갖다 돌아오는
7:08 거야. 그럼 당연히 x겠지.
7:10 음. 그럼 이거를 우리는 기호로
7:13 어떻게 표현할 거냐? 우리 f
7:16 역함수랑 f랑 합성해서 x를
7:19 집어넣으면이 x는 합성에 대한 얘기는
7:22 한 번에 쭉 가면 x가 되죠라고
7:24 얘기할 수 있습니다.
7:27 그 말은 역함수랑 자기 자신을
7:29 합성하면은 자기 자신이 그냥 x가
7:31 튀어 나와요.
7:33 항상 1을 넣으면 1이 나오고 2를
7:34 넣으면 2일이 나오고 3일 넣으면
7:37 3이 나와. 이거 무슨 함수니?
7:38 1 넣으면 1, 2 넣으면 2, 3
7:39 넣으면 3, 100 넣으면 100
7:42 항등 함수라고 배웠지. 상수 함수는
7:45 항상 뭘 넣어도 한 값이 나와야 돼.
7:47 항등 함수는 내가 넣은게 그대로
7:50 나오면 항등이에요. 자, 그래서이
7:52 얘기를 조금 더 유식하게 한번 써
7:56 볼게요. 위에다가. 자, f 역함수랑
8:00 f랑 합성해서 x를 집어넣으면 자,
8:03 저번 시간에 했던 건데 이걸 계살려
8:05 보자. 합성 기호 있으면 뭐로 바꿀
8:06 수 있다 그랬어? 바로
8:09 >> 괄호로 바꿀 수 있어요. 그래서 f
8:13 역함수 바로 열고 fx가 되고 자,
8:16 fx는 y라 그랬지? 바로 위에
8:19 있어요. 바로 위에 얘는 f역 역함수
8:21 y고 또 바로 위에 있네요. f
8:24 역함수 y는 x라고 얘기할 수
8:28 있습니다. 그래서 아, 이게
8:30 x를 집어넣으면 x가
8:32 튀어나오는구나라고 얘기할 수 있어요.
8:36 자, 반대로 이번에는 f 역함수랑
8:39 f랑은 서로 바꿔서 f에다가
8:43 f 역함수를 우리 합성할 수도 있지.
8:44 자, 근데 그럼 f 역함수에 먼저
8:46 누군 넣어야 되니까 y에서
8:47 출발이에요. 그럼 여기는 y를 넣을게요.
8:50 넣을게요.
8:52 y를 집어넣으면 자, 얘는 똑같이
8:55 괄호로 바뀌고 괄호로 바뀌면 f
8:57 역함수 y고. 자, y를 거꾸로
9:01 보내세요. 그러면 x가 되고 fx는
9:10 네. 여기서는 정의역 공역을 처음에
9:12 고려하느라 x y라고 했는데 어려워
9:14 보이잖아. 여러분들한테이 수식을 쭉
9:16 써 봐라고 요거 안에 여러분들이
9:18 이렇게 하면 돼. 아 f 역함수랑
9:20 f랑 순서 상관없이 서로 합성돼
9:23 있으면 x를 넣으면 x가 나오고 y를
9:24 넣으면 y가 나오는구나. 100을
9:25 넣으면 100이 나오는구나. 1천을
9:27 넣으면 1천이 나오는구나라고 생각하면
9:29 돼요. 우리 이걸 뭐라 그러냐?
9:31 유식하게. 자 얘는 우리가 x를
9:34 집어넣지. x는 정의역 x 안에서
9:37 얘기하는 거지. 그래서 f역함수 x
9:40 f 역함수 f 합성한 거는 집합 x를
9:42 정의역으로 가지는 항등 함수예요.
9:52 반대로 f랑 f 역함수에 y 넣으면
9:54 y니까 얘는 y를 정역으로 가지는
10:02 그래서 마치 이렇게 생각해도 돼.
10:04 아, f랑 f 역함 붙어 있으면 우리
10:07 곱하기처럼 그냥 약분시켜 버려도
10:09 되겠죠. 없애 버리면 여기 x면 x만
10:12 남고 y면 y만 남고 그냥 없애도
10:14 된다라고 생각하면 됩니다. 물론 이제
10:16 그게 완전 기호적으로는 틀렸지만
10:18 그렇게 생각해도 무방합니다. 자,
10:21 밑에 볼게요. 자,이 f 보면은이
10:23 f는 1대일 대응이죠. 공역과 치역이
10:25 같고 골고로 다 같잖아. 그럼
10:28 역함수가 존재하지. 그러면 역함수에
10:29 2 넣으면 3이고 역함수에 4 넣으면
10:31 5고 역함수에 6 넣으면 1이
10:33 됩니다. 그래서 왼쪽 보면은 역함수
10:37 2 넣으면 바로 3이 되겠죠?
10:39 2넣으면 3이고. 자, 여기 2번
10:42 3번은 위에 아무것도 없어도 여러분들
10:43 보자마자 답이 나와야 돼. 2번은
10:45 답이 뭘까?
10:47 >> F 역함수랑 f랑 1 넣으면
10:49 1이에요. 자기 자신. 그 밑에 건
10:50 달려 볼까? 4가 나와
10:51 >> 4가 나와요. 바로 자기 자신이 나옵니다.이
10:56 기호 나오면 땡큐 하고 그냥
10:59 업애빼버려. 1이 그냥 답이야.이 두
11:00 개 연달로 나오면 땡큐하고 업애버려
11:03 다가 됩니다. 자, 밑에 볼게요.
11:07 자, 여기 밑에 생기 오른쪽 보면은
11:09 자, f가 x에서 y인데 자, 얘
11:10 지금 함수니? >> 아니요.
11:11 >> 아니요.
11:12 >> 아니지. 그 함수가 되기 위해서 누가
11:13 출발해야 돼? >> 3.
11:14 >> 3.
11:16 >> 3이 출발하는데 역함수가 되려면
11:18 역함수 존재하려면 어디로 가야 돼?
11:20 >> 5로 가야 돼. 1대 1 대응이 돼야
11:22 되기 때문에 그 5로 가고 그 말은
11:25 f 역함수 5는 누가 돼?
11:27 >> 3이 되겠지. 거꾸로 가면은 f
11:30 역함수 5는 3이 됩니다. 자, 밑에
11:31 2번, 3번 바로 나오네. 답이
11:33 뭐야? 2번의 답은
11:37 >> 4고 그다음은 1이 되겠지?
11:38 넘어갈게요. 뒤로. 자, 이렇게
11:40 숫자를 넣었을 때 역함수의 값을 찾을
11:42 수 있어요. 그러면 이제는 그다음
11:44 단계 뭐냐면 역함수를 구하자라는
11:50 >> 음. 어 얘들아 잠깐 앞장 넘어와서
11:51 이거 좀 별표만 몇 개 치자. 아
11:54 이거 빨간색으로 좀 체크만 할게요.
11:56 어 기호적인 거 조금 알고 넘어가야
11:59 돼서이 빨간 네모 친 거는
12:01 원래 교과선 따로 다 모여서 정리돼
12:03 있거든. 따로 쓰기 귀 귀찮
12:05 귀찮으니까. 그래서이 정도는 쓰자.
12:08 어 얘네들이 쓰는 것들은 다 중요합니다.
12:10 중요합니다.
12:12 기호적인 표현들이라.음
12:14 음. 얘네들만 네모 치고 뒤로 넘어갈게요.
12:21 자, 뒷장 이제 실제 역함수를 구해
12:23 봅시다. 이제 오늘 중요한 거 세 개
12:25 중에 두 번째 거 들어갈게요. 두
12:28 번째 거.
12:30 자, 역함수도 함수죠. 그 함수를
12:32 구하기 위해서 우리 그 함수는 y는
12:34 하고 표현을 해야 돼. 근데 어떤
12:36 함수인지를 생각을 해 볼게요. 자,
12:40 우리 원래 있던 x를 집어넣으면 y가
12:42 되지. 그 식에 근데 y를 넣으면
12:45 만족하는 x를 찾아야 돼요. 맞지?
12:47 그러면 x가 궁금한 거잖아. 그 원래
12:49 식을 x는 하고 정리하는게
12:52 최우선입니다. 그래서 우리는 아,
12:54 원래 식을 우리 역함수 우리 x는
12:56 하고 표현을 하고 자, 이렇게
12:58 표현했어. 이제 여기서 우리 y
13:01 숫자를 집어넣고 결과값이 x가 나올
13:03 거잖아. 맞지? 오른쪽에 숫자
13:04 집어넣고 결과가 x가 나오지. 근데
13:07 우리 이제까지 수학을 배우면서 우리는
13:09 뭘 집어넣을 때 x에다 집어넣고
13:11 결과는 y가 나왔지. 맞지? 그래서
13:14 이렇게 표현한 다음에 xy를 바꿔서
13:18 표현을 할 거야. 그러면은 원래 있던
13:21 함수와 역함수를 동시에 다룰 수 있게
13:23 됩니다. 같은 정의역에서 다룰 수
13:25 있게 돼요. 뭐 두 개를 같은 뭐
13:27 좌표 평면에서 나중에 표현할 거기
13:30 때문에 그래서 x는 하고 정리한
13:32 다음에 그다음에 xy 자리 바꾸면
13:35 우리는 y는
13:38 f 역함수 x와 같이 나타낼 수
13:39 있습니다. 이렇게 말만 들으면
13:41 헷갈리지? 자, 지금 중요한 거
13:43 할게요. 그러면 역함수를 구하는
13:45 방법에 대해서 얘기를 할게요. 첫
13:48 번째 우리 y는 fx라는식이 있으면
13:50 뒤에 fx가고 몇 x + 변 이렇게
13:52 돼 있을 거 아니야. 걔를 x는 하고
13:55 정리할 거야. 그래서 x를 y에 대한
13:58 식으로 나타낼 거야. 원래 y는
14:01 fx가 있는데이 식을 x는 하고
14:05 정리하는 거야. 그러면 x는
14:08 f 역함수 y가 됩니다. 그리고 이제
14:11 y 숫자를 만 보면 x가 튀어나올 거야.
14:17 근데 집어넣는 숫자를 우리 y는
14:19 아니고 x라고 생각을 해 볼게요.
14:22 그래서 두 개 자리를 바꾸세요. x와
14:24 y를 바꿔 쓰는 거야. x 그대로
14:26 떼내고 y. y 떼내고 x. 그러면 y는
14:28 y는
14:33 f 역함수 x가 됩니다.
14:36 보통 정의역을 보통 다 실수 전체를
14:38 다르기 때문에 어차피 실수 넣을 거
14:41 변수를 다 통일하자. 결과값을 다
14:43 y도 통일하자. 어차피 문자는 그냥
14:45 표기의 영향이기 때문에 이렇게 쓸 수
14:47 있는 겁니다. 그러면 왼쪽에 보면은
14:49 다음 함수 역함수를 선생님하고 1번
14:50 한번 같이 해보고 여러분들은 2번 해
14:52 보면 돼요. 자, 되게 중요한
14:55 내용입니다. 자, 첫 번째 우리
15:00 역함수 구할 때 첫 번째는
15:05 x는 꼴로 정리합니다. 꼴로 정리.
15:07 이게 첫 번째예요.
15:10 자, 얘를 x는 꼴로 정리하기 위해서
15:12 -4x는 왼쪽, y는 오른쪽
15:16 넘길게요. 그러면 4x는
15:20 -y + 1이 되고 4까지 나누면
15:22 x는 -4y
15:25 + 1/이 됩니다. x는 꼴로
15:27 정리하면 당연히 오른쪽에 x가 있으면
15:28 안 돼요. 자, 이제 이게 첫 번째
15:30 단계라고 두 번째 단계는 x y
15:32 자리만 바꿔 쓰면 돼요. x 대신
15:35 y, y 대신 x. 그래서 얘는 그다음
15:37 그다음
15:40 두 번째
15:49 그러면 y는
15:53 -1 x + 1이 됩니다.
15:55 됩니다.
15:57 자, 오늘 하는 거 첫 번째 아까
15:59 역함수의 존재성에 대한 얘기를 했고
16:01 1일대일 대응. 두 번째 역함수를
16:03 구하는 거야. 이거 쉬워. 어렵지
16:05 않아. x는 하고 정리하고 바꿔
16:07 쓰기만 하면 돼. 어, 우리 세 개
16:09 중에 중요한 두 번째게 나왔습니다.
16:11 매우 중요해요. 이거 꼭 알아야 돼.
16:14 계속 강조하지. 너희들 내년에 내
16:16 후년에 역함수 얘기가 나오면 오늘
16:18 얘기가 계속 반복이 됩니다. 역함수
16:20 얘기 나오면 아, 1대 1 대응인가
16:23 그 얘기가 나오고. 어, 그리고 아,
16:25 역함수를 구해야 되네. x승하고
16:28 정리하고 바꿨으면 돼요.
16:29 그리고 이제 좀 있다가 세 번째
16:31 중요한 것까지 나옵니다. 자,
16:33 그래서이 방법 그대로 우리가 적용해
16:36 가지고 문제 2번에 2번을 할 수
16:39 있어요. 이거 한 1분 드릴게요. 오른쪽에
16:40 오른쪽에
16:42 문제 2번에 2번 역함수 한번 구해
16:46 봅시다.이 이 빨간색 순서대로 그대로
16:48 그대로 정리하고 병훈아
16:51 병훈아
17:07 2번 거대로 2번에 2번
17:10 처음에 x는 하고 식을 정리하고
17:13 그다음에 바꿔 쓰기만 하면 돼요.
17:23 어렵지 않아요. 그대로 따라가면 돼. 어
17:25 어 같은
17:52 자, 바로 볼까요? 우리 x는하고
17:54 정리하기 위해서
17:56 우리 2를 곱할게요. 양변에 2를 곱하고
17:58 곱하고
18:00 그다음에 여기 아, 넘긴 다음에 2를
18:02 곱할게요. 하나씩 해 보자. 그 첫
18:05 번째, 두 번째 뭐 x는 꼴 이런
18:09 한글릇 좀 제외하고 그럼 1 x는 y
18:13 - 5고 양변에 2 곱하면 x는 2y
18:16 - 10이죠. 그리고 자, 두 번째 단계
18:18 단계
18:21 x하고 정리했으면 그다음은 자리 바꿔
18:23 쓰세요. y는
18:25 2x - 10이죠.
18:28 음. 여러분들이 어떤 함수가 주어지면
18:32 역함수를 구할 수 있어야 합니다.
18:34 물론 이제 역함수 구하는게 지금은
18:36 1차 함수라도 쉬운데 정의역이 조금
18:38 제한돼 있고 정의역 공역이 좀 제한돼
18:40 있는 2차 함수 이런데 구하는 경우도
18:42 있어요. 근데 그거는 여러분들 유리
18:43 함수 무리 함수 할 때도 추가로
18:45 나옵니다. 자 그다음 밑에 볼게요.
18:48 생명 넓히기 볼게요. 자 생넓기는
18:49 쓸게 좀 많아. 근데 다 쓸 거야.
18:52 일부러. 어 자 우리 역함수의 성질에
18:55 대한 얘긴데 자 첫 번째이
18:59 글을 보고 자 두 함수 fg의
19:03 역함수가 존재할 때 란 얘기가 나오면
19:05 아무 생각 없이 보지 말고 여기서 꼭
19:06 알고 가야 되는 내용이 있어. 자
19:10 역함수가 존재하려면 뭐야 돼? 1대
19:13 1 대응이 자동적으로 튀어나와야 돼.
19:20 자, 1대 1 대응에서 하나 더
19:22 여러분들이 알아야 돼. 1대 1
19:24 대응을 우리가 어떻게 확인할 수
19:25 있어? 그래프에서 >> 가로부터
19:26 >> 가로부터
19:28 >> 가로선을 그으면
19:31 >> 이제 한 한 지점에서
19:33 >> 가로선 그었을 때 교점이 오로지
19:35 >> 한 개씩 있어야 1대 1대응이라
19:38 그랬죠. 그래서 우리가 저번 수업 때
19:40 어떤 얘기를 했었냐면 요런 얘기를 했었어.
19:41 했었어.
19:44 이런 그리 그래프가 나왔을 때. 자,
19:47 가로선 그으면 한 번씩만 만나지네
19:49 대응이야. 가로선 그으면 두 번
19:51 만나거나 안 만나지. 1대 1 대응이
19:53 아니야. 가로선 그으면 한 번씩
19:55 만나지. 1대일 대응이야. 그 1대
19:57 1 대응이 어떤 모양인지를 파악을
19:59 해야 돼. 어떨 때 1일대일
20:02 대응이야. 그러면 딱 봤을 때
20:04 한 방향으로만
20:07 이게 오른쪽 위로 쭉 가거나 또는
20:08 오른쪽 아래로 쭉 가거나 수학에서는
20:10 이제 증가한다. 감소한다라고 얘기를
20:12 하거든. 좀 더 유식하게 내년가면
20:14 이제이 얘기를 다를 거야. 근데
20:16 어쨌든 1대 1 대응이면 얘가
20:19 증가하는 꼴이거나 처음부터 끝까지
20:20 끝까지 증가하는 꼴이던가 아니면
20:22 처음부터까지 감소하는 꼴이던가 둘 중
20:25 하나예요. 감소했다가 올라가는 2차
20:27 함수 형태는 안 됩니다. 1대 1
20:29 대응이 안 돼. 그래서 무조건 1대
20:31 1 대응이 되려면 항상 증가하거나
20:34 항상 감소해야 돼까지 머릿속에
20:36 익혀놔야 돼요. 그래서 방금 했던
20:38 거를 여기서 1대 1 대응해서 끝내면
20:41 안 되고 1대일 대응이면은
20:45 항상 머릿속에서 항상
20:49 증가 또는 감소
20:53 꼴이 됩니다. 둘 중에 하나예요.
20:56 항상 증가하거나 항상 감소하는 꼴만
20:59 일대일 대응이 됩니다. 머릿속에 이런
21:01 얘기를 좀 집어넣어 봤고. 근데 이제
21:03 생관 넓기에서는 수식적인 얘기를 좀
21:05 해 볼게요. 자, 다음이 성립한다라고
21:07 되어 있는데 1번 2번이야. 1번은
21:10 여러분들이 바로 보자번 파악하거든.
21:13 역함수의 역함수야. 역함수는 거꾸로
21:15 가는 함수지. 그걸 또 거꾸로 갔어.
21:17 그럼 뭐랑 똑같니?
21:19 >> 원래 함수 f랑 똑같겠지. 부정의
21:21 부정 긍정 같은 거잖아. 당연한
21:23 얘기야. 두 번째 거 헷갈려. 자,
21:26 g랑 f랑 합성했어. 합성한 함수가 함수지.
21:26 함수지. >> 네.
21:27 >> 네.
21:30 >> 그 함수의 역함수를 구하면 자, 그
21:32 함수 합성한 거 역함수 구하면
21:33 옛날부터 이렇게 나오면 뭐 하고
21:35 싶어? 괜히 집어넣고 싶지?
21:38 집어넣어도 돼. -1제곱
21:41 집어넣고 집어넣고 그런데 합성 항상
21:43 특이하게 자리가 바뀌어요.까지 기억을
21:45 해야 됩니다. 그러면 실제로 어,
21:47 자리가 바뀌는게 되는지 한번 체크부터
21:49 해 볼게. 되는지 일단 알아야 될 거
21:51 아니야. 그래서 이런 생각을 해
21:54 볼게요. 아까 앞에서 우리 함수 f랑
21:57 f 역함수는 합성하면 무슨 함수가
21:59 된다 그러니? 상등 함수가 된다
22:01 그랬지. 거기에 x를 넣으면 x가
22:04 나온다 그랬지. 그래서이 두 개를이
22:07 함수와 역함수를 실제로 합성을 한번
22:09 해 볼게요. 그러면 이렇게 해
22:12 볼게요. 여기서 그냥 체크야. 한번
22:18 g랑 f랑 있고 얘 역함수라는 우리
22:22 f 역함수 g수를 합성을 해 볼게요.
22:24 두 개도 각각 함수야. 함수 함수를
22:27 합성하면 항등 함수가 일단 돼야겠지.
22:29 그래서 여기다가 x를 집어넣어 봅니다.
22:31 봅니다.
22:33 음. 실제로 괄호는 뭐 이렇게 쳐야
22:36 되는데 x를 집어넣어 봐요. 그러면
22:38 이게 막 계산했을 때 x까지 나오면
22:41 끝이겠지. 자, 근데 우리 합성이
22:44 여러 개 있을 때 교환 법칙이 된다
22:46 그랬니, 안 된다 그랬니?
22:49 함수의 합성에서 교환 법칙은
22:51 >> 안 돼요. 결합법칙은
22:53 >> 돼요라 그랬지. 결합법칙이 된다는
22:56 얘기는이 안에서이 괄호를 내 마음대로
22:58 조절해도 돼요. 괄호 위치가 막 왔다
23:00 갔다 해도 돼. 그래서이 가운데 두
23:03 개 괄호로 바꿀게요.
23:05 그리고 나서 g 그럼 합성 가운데
23:09 괄호하고 합성 g 역함수 x인데 우리
23:11 오른쪽 역함수 있으면 또 괄호로 바꿀
23:13 수 있다 그랬지? 그 작업까지 해주면
23:17 어떻게 되냐면 자, g합성
23:22 f 합성 f 역함수 이렇게 있고
23:26 우리는 여기는 여기다가 g수
23:30 x가 돼요라고 얘기할 수 있습니다.
23:33 기호적인 거야. 어려워. 여러분들이
23:35 못 해. 당연히 할 수 있는 사람
23:37 별로 없어. 근데 그래도 한 번쯤은
23:39 이제 써보는 연습은 해야지. 자,
23:40 여기 똑같아. 아, 얘는 이제 하나
23:43 숫자거든. 3이나 4 같은 숫자거든.
23:47 또 괄호로 바꿔 주면은 이렇게 돼요.
23:49 g 괄호 열고
23:52 f 역함수 아, f랑 f 역함수
23:54 합성한 다음에 여기에 g 역함수를
23:56 넣어 주세요.
23:59 근데 이거는 항등 함수기 때문에 어
24:02 여기다가 g 역함 넣으면 얘는 그대로
24:05 g 역함수 x가 되 이거는 g가로
24:09 열고 g 역역 역함수 x고 근 이거는 반대로
24:16 여기 합성한 것을 x 넣은 거고 x랑
24:18 똑같이 됩니다. 그러만은 아 두 개
24:21 실제로 두 개를 합성한 다음에 x를
24:23 넣었더니 x가 되네. 아 그럼 서로
24:25 역함수 관계다라고 얘기를 할 수 있는 거야.
24:30 사실 이제 확인해 보자. 이걸
24:32 증명하세요. 그러면 이게 증명이야.
24:34 너희도 이거 하라면 할 수 있겠니?
24:35 못 하지. 그래서 증명을 시키지
24:38 않아요. 대신 실제 함수 주어지고
24:41 되니라고 물어보는게 생각 넓히기에요.
24:44 그래서 실제로 되는지 확인해 볼 건데
24:47 쓸게 되게 많아. 여기 지금
24:49 이렇게 식을 좀 짧게 짧게 쓸 건데
24:52 한네 줄 정도의 다섯 개 칸으로
24:55 나눠서 할게요. 다섯 개 칸으로. 첫
24:57 번째 우리 1번부터 한번 보여
25:00 줄게요. 1번 f 역함수의 역함수는
25:02 f가 되는지 확인하시오라 그랬으니까
25:05 실제로 써 보자. 첫 번째음
25:09 우리 f 역함수 구하기가
25:12 볼게요. 자 우리가 1번부터 여기
25:14 다섯 개 정도 구할 건데 이거를
25:16 한꺼번에 쓰세요라고 안 해. 근데
25:18 여러분들한테 야 f역 함수 구해 봐
25:20 그러면 구할 수 있어야 돼. 어 한
25:22 줄 한 줄은 할 수 있어야 돼. 따로
25:24 주어졌을 때. 자, 그래서 f 역함수
25:26 구해 봐. 어진이 깨 있니? 어.
25:27 자, 그럼 구해 볼게요. 첫 번째.
25:31 자, 여기도 y고 gx도 둘 다
25:34 y예요. 자, 역함수 하려면 x는
25:36 하고 정리하라 그랬죠? 자, 6
25:41 -6을 넘긴 다음에 3을 나누면 x는
25:45 3y + 2가 돼요. 그래서 첫 번째
25:49 단계를 거치고 나면 x는 1y
25:51 + 2가 됩니다. 자, 그다음에 두
25:54 번째는 xy 자리 바꾸라 그랬지?
25:59 자리 바꾸면은 y는 1x + 2가
26:01 돼요. 그만은 무슨 얘기냐? f
26:03 역함수 x는
26:07 1 x + 2가 됩니다. 우리 이거는
26:09 나중에 좀 갖다 쓸 거니까 좀 이렇게
26:11 빨간색으로 나중에 찾기 쉽게 여기 써 놓을게요.
26:13 놓을게요.
26:16 첫 번째 끝이야.
26:18 자, 두 번째 볼게요. 근데 우리가
26:20 지금 구하고 싶은 거 1번은 뭐냐면
26:22 f 역함수의 역함수지이 함수의
26:24 역함수를 구하세요라는 얘기니까 얘의
26:26 역함수를 또 구할게요. 그러면 두
26:30 번째 자, f 역함수의 역함수 구하기.
26:33 구하기.
26:35 그러면 또 얘를 x는 하고 정리할게.
26:38 이게 왜 똑같으니까 이걸 x는 정 2
26:41 넘기고 3 곱하면 3y - 6이
26:47 됩니다. 그러면 우리 x는 3y -
26:51 6이고 자 xy 자리 바꾸면 y는
26:55 3x - 6입니다. 그 말은 곧 f
26:58 역함수의 우리
27:02 역함수 거기다 x를 넣으면
27:06 곧 3x - 6이고 이건 누구냐? fx랑
27:08 fx랑 똑같아요.
27:09 똑같아요.
27:13 음.이 보라색이 결론이 됩니다.
27:15 1번 얘기한 거야. 그냥 하나씩
27:17 구하면 돼. 역함수 구하세요. 그러면
27:19 그냥 구하면 되고 역함수 또
27:20 함수잖아. 걔 역함수 구하서 또
27:23 구하면 돼. 어. 자, 그다음에 이제
27:24 오른쪽 볼게. 이번에 합성 함수의
27:26 역함수도 얘기를 해 볼게요. 다
27:28 하나씩 진짜 해 보세요라는 얘기야.
27:31 두 번째.
27:34 예. 1번 끝났고. 어, 여기 이걸
27:37 좀 지울까? 얘만 지울까? 음. 두
27:41 번째. 자, g합성 f의 역함수를
27:43 구해야 되니까 g합성 f부터 구해
27:53 저번 시간에 한 거예요. 합성 함수
27:58 구하는 거. 자, 그러면 g 합선 fx는
28:00 fx는
28:04 g 괄로 열고 fx랑 똑같고 저번
28:06 시간에 얘기했지. 합성함수 구하는
28:09 거야. fx는 3x - 6이고 집어넣고
28:11 집어넣고
28:16 이거는 g 괄로 열고 3x - 6이고
28:19 자, g 3x - 6은 여기 x 대신
28:23 3x - 6을 넣어 주세요. 여기
28:26 넣으면 마이너스가 앞에 있고 3x -
28:30 6이 들어가지. 그럼 이거는 -3x
28:33 - 6 + 3 이게 합성 함수예요.
28:38 근데 이거 -하면 -3x + 9가
28:48 그 말은 곧 어떻게 되냐? g합성
28:50 f의 x는
28:55 -3x + 9가 돼요. 합성 함수네.
28:57 근데이 문제에서 원하는 건 뭐야?
29:00 문제에서는 합성 함수의 역함수지.
29:02 역함수 하나 보자. 여섯 칸이었구나.
29:04 어, 얘 역함수를 구해 볼게요. 두
29:08 번째 우리 g합성 f의 역함수 구하기.
29:11 구하기.
29:13 그럼 방금 했던 것도 반복하는 거야.
29:14 얘 구했잖아. 얘 역함수 구하는
29:17 거야. 자, 이게 y는 -3x +
29:19 9거든요. 그래서 x는 하고 정리를
29:23 할게요. 좋아요. 눈 떠 있니?
29:25 좋아. 헷갈려. 맨날 시험해 주
29:27 헷갈려. 어,
29:30 눈 떠. 자, 볼게요. y는 하고
29:32 있으니까. 자, x는 하고 정리해서
29:34 넘기고 넘긴 다음에 x는 하고
29:44 자, 여기 y가 있어. 3x 넘기면
29:48 3x제 - y + 9에서 3 나누면 -13y
29:50 -13y
29:54 + 3이고. 자, 두 번째는 우리
29:57 xy y는 -13x
30:00 + 3이 돼. 자, 그 말은 무슨 얘기냐?
30:02 얘기냐?
30:07 우리 여기 좀 나누고 g 합성 f의 -1x는
30:09 -1x는 -13x
30:11 -13x
30:13 + 3이 된다는 얘기예요. 아, 합성
30:16 함수를 아까 구했고 역함수까지 구하면
30:18 되는구나. 그냥 진짜 다 해 보는
30:23 자, 이제 마지막 남았네. 자,
30:26 마지막은 뭐냐면 이게 실제로 여기 f
30:29 역함수랑 g 역함수 합성한 거랑
30:31 똑같이 나오니 하는 얘기입니다. 근데
30:33 f 역함수는 아까 구해 놨지? 그래서
30:35 g 역함수만 구한 다음에 합성을
30:37 할게요. 자, g 역함수는 여기 또
30:39 있네요. 여기 왼쪽에 g가 있기 때문에음
30:49 우리 g 역함수 구하기
30:52 그러면 첫 번째 자,이 식을 x하고
30:54 정리하면 넘기고 넘기면 돼. x는
31:02 자, 두 번째 자리 바꾸기. y는
31:05 -x + 3이 됩니다. 그러면 얘는
31:08 무슨 얘기냐?
31:20 자, 라스트이 두 개 합성하자. 얘랑
31:22 얘랑 합성하면 끝이에요. 어, 최종
31:26 합성까지. 그래서 f에다가 b를
31:28 합성해 보자까지 하면 그게 끝입니다.
31:31 그 실제로 합성을 해 볼게요. 마지막
31:44 그러면 f 역함수 이거는 g 역함수
31:48 x랑 똑같고 자 g 역함수 x는 -x
31:50 + 3이라 그랬지 그대로 집어넣으면
31:53 돼요. 그럼 이거는
31:58 f역 역함수 -x + 3.
31:59 자, f역 역함수 아까 맨 앞에
32:00 있었지? 거기 x 대신 그냥
32:02 집어넣으면 됩니다. 자, 맨 앞에
32:06 있는 여기 1x + 2에 집어넣으면
32:11 x 대신 넣으면 되죠. 그러면
32:16 우리 1 - x + 3는 하자.는
32:17 하자.는 는
32:20 는
32:23 그 + 2까지 그럼 계산해 주면 -13x
32:25 -13x
32:27 3 약분하면 1이고 1하면 더
32:32 3이다. + 3 그러면 최종적으로 f
32:35 역함수 합성 g수
32:37 x는 -13x
32:40 + 3이 됩니다. 음.
32:42 음.
32:44 자, 그러면 여기서 여러분들이 누굴
32:47 봐야 되냐?이 이 왼쪽
32:50 g합성 f의 역함수랑 역삼수한 거
32:52 뒤집은다는 합성한 거랑 같은 값이
32:54 나오죠. 결국 돼요라고 얘기하는 거야.
33:00 자, 오랜만에 좀 많이 썼지.
33:02 여러분들이 여기서 얻어가야 되는 건
33:03 뭘까? 이거를 처음부터 끝까지 다
33:05 성립함을 확인해 보자라고 시험 문제 낼까?
33:05 낼까? >> 아니요.
33:06 >> 아니요.
33:08 >> 어, 그렇게 내질 않아. 단 이런
33:11 것들은 할 수 있지. 역함수도 구해서
33:13 역함수의 뭐 y 절편을 구해야 이런
33:15 얘기를 할 수 있잖아. 음. 또는
33:16 합성 함수의 y 절편을 구분. 그럼
33:18 합성 함수를 할 줄 알아야지. 어,
33:20 기본적으로 한 줄 역함수 구하세요.
33:22 그러면 걔는 구할 수 있어야 돼.
33:23 합성함수 구하세요. 그러면 합성함수
33:25 구할 수 있어야 돼. 어, 그런
33:27 기본적인 단편적인 것들은 할 수
33:29 있어야 됩니다. 근데 여기서
33:30 보이세요라 그러니까 다 보여줬을
33:33 뿐이야. 됐니? 넘어가도 되겠어? 다 적었어.
33:39 >> 어디로 놓쳤는지 모르겠어. 집중해야지.
33:41 집중해야지.
33:42 쓸게 많아. 내가 쓸게 많다
33:50 자, 시간 좀 남았어. 자, 이제
33:52 마지막 거 할 거야. 마지막 거.
33:55 마지막 중요합니다. 어, 맨 뒤.
33:56 오늘 세 개 한다 그랬지? 세 개.
34:00 첫 번째 역함수의 존재 가능성. 언제?
34:01 언제? >> 1대.
34:01 >> 1대.
34:03 >> 1대 1 대응일 때. 두 번째 역함수
34:05 구하는 방법. 계속했지. 계속
34:07 반복하는 거야. 첫 번째 x는 하고
34:09 정리하고 xy 자리 바꾸세요. x는
34:11 하고 정리하고 자리 바꾸세요. 그럼
34:13 반복하면 돼. 마지막 세 번째
34:14 그래프로 들어갈게요. 자, 그래프로
34:17 들어갈 건데 자, 볼게요. 자, 함수
34:21 fx의 역함수 y는 f 역함수 x가
34:24 존재할 때 자, y는 fx 위에 점
34:27 a, b가 있다고 하자. 그러면 a,
34:30 b를 넣으면 성립하지. 그럼 b는
34:35 어, 여기 파랑으로 쓸게요. b는
34:37 fa가 될 거예요. 음. a를 넣으면
34:39 b가 되잖아. 그럼 반대로
34:41 역함수에다가 b를 넣으면 a가
34:45 되겠지. 거꾸로 가니까 그러면 우리
34:49 a는 f 역함수 b가 될 거예요.
34:52 자, 그 말은 원래 a b가 원래
34:56 함수 위의 점이라면 b a는 역함수
35:00 위의 점이에요. 그 점 b a는
35:03 y는 f역함수
35:07 x 위에이 그래프 위에 점이 됩니다.
35:11 자, 근데 우리 B, A는 A, B랑
35:13 서로 자리가 바뀌었지. 우리 이거
35:15 예전에 배웠는데 대칭 이동 때 자리
35:18 바꿨으면은 뭐의 대칭이라 그랬니?
35:20 y는 x에 대한 대칭이라 그랬지. 그
35:22 말은 원래 함수에 a, b가 찍혀
35:25 있다면 걔를 y는 x에 대칭 이동한
35:27 점은 역함수 위에 찍혀 있는
35:29 점이에요. 얘기야. 모든 점들이
35:32 그렇게 가. 그러면 그 원래 함수에
35:35 있는 모든 점들이 대칭 이동했어.
35:37 그러면 그 그래프 자체도 대칭 이동한
35:39 거랑 똑같이 생겼어요. 그래서 직선
35:42 y는 x에 대해서 대칭 이동하기
35:45 때문에 한 점이 모든 그래프 위의
35:48 점이 y는 x 위에 대해서 대칭이기
35:53 때문에 우리는 함수 자체가
35:55 대칭이다라고 얘기할 수 있습니다.
35:57 여기서 오른쪽을 보면 이제이 그림이
36:00 나와. 자 우리가이 파란색이 있어.
36:03 자 파란색은 1대 1 대응이니?이
36:05 파란색 1대 1 대응이야.
36:06 일때 대응이 이제 옆으로 그을 때마다
36:08 하나잖아. 맞지? 그럼 역함소가
36:10 존재해. 역함소가 존재하는데 역함수를
36:13 그리세요라 그러면 아 식을 찾은
36:15 다음에 그 식을 그리고 싶어. 근데
36:17 그게 못 그리는 경우가 많아. 식잡를
36:18 못 찾는 경우가 많아. 하지만 그림은
36:21 그릴 수 있어야 돼. 왜? 파란색이
36:23 있고 y는 x는 왜 그릴 수 있잖아.
36:25 45도 그리면 돼. 접었다 피면
36:27 역함수 그래프예요. 그래서 역함수
36:29 얘기가 나오면 여러분들이 그래프를
36:31 써야 되는 경우가 되게 많아. 그럴
36:33 때는 y는 x에 대한 대칭성을 꼭
36:36 이용을 합니다. 여기까지 이해했니?
36:38 무슨 말인지? 자, 그래서이 밑에도
36:41 똑같아.이 파란색, 빨간색도 결국에
36:43 아,이 파란색이 있으면 얘를 y는
36:44 x에 대칭 이동하세요. 그러면
36:47 빨간색이 나오겠지? 어, 그래서
36:49 빨간색이 나와서 아, 대칭이다라고
36:51 되어 있어.
36:54 자, 밑에 문제 3번에 1번, 2번도
36:56 그렇게 그리세요란 얘긴데 근데 여기선
36:59 그리세요까지만 하면은 내가 이게
37:02 중요하다고 얘기한 거랑 크게 관련이
37:04 없어 보이지. 이제 중요한 얘기를 좀
37:06 해 볼게요. 자, 우리가 함수가 여러
37:08 개 나오면 그래프에다 함수가 여러 개
37:12 나오면 뭘 찾고 싶어요? 보통
37:13 >> 함수가 막 여러 개 나와. 우리 막
37:15 2차 함수도 나오고 1차 함수 나오고
37:17 그러면 뭘 찾니? 보통 많이 찾는 거.
37:18 거.
37:21 >> 교점을 많이 교점. 맞지? 함수가
37:23 요렇게 나온다는 얘기는 그 함수의
37:25 교점을 찾고 싶어해요. 그 말은 자
37:27 우리 원래 함수랑 역함수가 있으면
37:29 당연히 원래 함수와 역함수의 교점을
37:31 찾고 싶어 해요. 어 근데이 그림을
37:34 봐봐. 자이 파란색이 있어. 파란색이
37:36 있고 빨간색이 있어. 얘네가 언젠가
37:38 만나야 돼. 그럼 만날 때 항상 누가
37:40 같이 지나갈 것 같아?
37:43 >> y는 x 검정색도 지나가게 보일 거야.
37:43 거야.
37:44 >> 보여. 네.
37:46 >> 그래서 여기서는 우린 이런 걸 알 수
37:49 있어요. 언제 함수 y는 fx와 여기
37:51 두 점 쓸 거야.
37:56 y는 f역 역함수 x. 얘네는 y는
37:59 x에 대해서 대칭성을 가지기 때문에
38:16 그래서 이런 얘기 할 수 있어. 교정
38:17 구하세요. 여기에 결정 구하세요.
38:19 그러면은 아 그냥 원래 함수랑 y는
38:22 x랑 교점 구해도 돼. 또는 역함수랑
38:26 y는 x 교점을 구해도 돼.까지만
38:28 알면은 여기까지만 알고 있는 사람은
38:30 반만 아는 거야. 자, 그러면 이런
38:32 생각을 해 볼게.이
38:35 그림을 보면은 뭐 당연한 얘기 같아.
38:37 그이 그림도 보면은 얘가 지금 y는
38:39 x를 안 만나기 때문에 교점이
38:41 존재하지 않는데 조금 내려오면은
38:44 걸치면은 그 대칭 이동에도 막 걸쳐서
38:46 교점이 생기잖아. 근데 예외인 경우가 존재해요.
38:47 존재해요.
38:49 >> 네. 선생님 아까 얘기한 것 중에서
38:52 역함수가 존재하려면 1대 1 대응이고
38:55 1대 1 대응이면 그래프는
38:57 증가하는 꼴이던가. 자, 증가하는
39:00 함수의 우리 역함수는 증가하니 감소하니?
39:02 감소하니?
39:04 증가하는 함수의 역함수는
39:06 >> 그것도 증가야. 눈으로 봐. 보면
39:08 되잖아. 맞지? 증가하는 함수의
39:11 역함수는 증가하고 있어. 근데
39:14 감소하는 함수의 역함수도 감소해요.
39:16 그럼 그거를 한번 그려 볼게.
39:18 그려보면은 이런 얘기가 나와. 그려
39:20 보면은 자, 감소하는 걸 하나쯤 그려
39:23 볼게요. y는 x를 먼저 그리고
39:28 만약에 역함수가 요런 식으로 생겼어. 이렇게.
39:36 자, 보면은 얘가 좀 대칭이 되게 뭐
39:38 이렇게 생길까? 이렇게 생겼다고
39:41 하자. 이렇게 생겼다고 하자. 자,
39:43 그러면 얘는 지금 대칭이거든. 접었다
39:45 피면은. 그러면 얘 역함수를 그리면
39:48 어떻게 되냐? 역함수를 그리면 여기
39:50 빨간색이 똑같이 나와요. 그럼 얘의
39:53 교점은 두 개의 교점은 어떻게 돼?
39:55 y는 x 위에만 있니? >> 아니요.
39:55 >> 아니요.
39:58 >> 아니지. 다른데 있을 수도 있지.
40:00 >> 맞지? 그니까 여러분들이 문제집을
40:02 보면은 이런게 되게 많아. 그니까
40:04 증가하는 꼴만 주고장창 주어지고 y는
40:06 x랑 교점만 찾으래. 근데 아닌
40:08 경우도 존재한다는 얘기야. 아닌
40:10 경우. 그래서이 밑에 하나 더 적어야
40:12 되는게 있어요. 밑에 어떤 걸 적어야
40:14 되냐? 자,
40:17 색깔 좀 다르게 해서 아, 방금 했던
40:20 거 우리 원래 y는 fx와 y는 f
40:22 역함수의 교점 y는 x까지 여기 꼭
40:25 주석을 달아 줘야 돼. 오른쪽에 언제
40:29 함수가 증가하는
40:31 꼴일 때만 이런 얘기를 할 수
40:33 있어요. 그럼 감소하는 꼴은 이런
40:36 얘기를 해 줘야 돼요. 음. y는
40:41 f(x) 그리고 y는 f 역함수 x의 교점이
40:44 교점이
40:49 y는 x 그 대각선 직선 위에
40:59 그러면 이름들 유감이지. 아 이건
41:01 참일만 좋은데 그럼 밑에 건 어떻게
41:03 해라는 질문이 들어올 수 있어? 그럴 때는
41:05 때는
41:07 >> 너희들이 싫어하지만 그래프로
41:09 그래프로
41:13 파악해야 돼요.음 변수가 되게 많아.
41:15 어 그래프를 그려보고 아 다른 데서
41:17 저 만날 수 있네 없네를 꼭 얘기를
41:18 해 줘야 돼. 그다음에 또 수식으로
41:21 들어가야 됩니다. 여기까지 됐니?
41:23 자,이 밑에 거는 다음 시간에 방금
41:26 했던 것들을 실제로까지 구해보는 좀
41:28 연습을 해 볼게요. 여기까지 하겠습니다.
41:38 자, 이제 저번 시간에이어서 문제
41:40 3번 할 건데 걔를 확인하기를 지워서
41:42 한번 수업을 해보죠. 여기에 어떤
41:43 개인지 기억나니? >> 네네.
41:44 >> 네네.
41:47 >> y는 f(x)와 y는 f의 역함수는
41:50 어디 위에서 교정 교차한다? y는 x 위에서
41:50 위에서
41:53 >> y는 x 위에 교점이 존재한다라고
41:56 얘기를 했죠. 그런데 어느 경우에
41:59 >> 함수가 증가하는 꼴일 때는 거기 위에
42:01 존재하는데 아닐 수도 있다 그랬죠? >> 네.
42:02 >> 네.
42:03 >> 기억하니? 아닌 거는 어느 경우에? 감소하는
42:04 감소하는
42:07 >> 감소하는 경우에는 y는 x 위에
42:09 말고도 교점이 생길 수 있어요라고
42:12 했습니다. 그건 약간의 이제 어 조금
42:14 어려운 형태인데 지금 기본 형태로
42:16 문제 3번 1번 2번 한번 같이 해
42:18 볼게요. 교과서에는 그림만 그리세요가
42:20 되는데 우리는 그림 그리는 거는 크게
42:22 의미가 없고 하나 그린 다음에 대칭만
42:25 하면 돼 우리는이 함수 주어진 함수랑
42:28 역함수와의 교점을 구할게요.
42:30 선생님하고 왼쪽 같이 해보고 오른쪽
42:32 여러분들이 해보고 그리고 또 필요한
42:33 얘기도 더 추가를 할게요. 자, 문제
42:36 3번 보면은 자, 문제가 얘는 이제
42:39 이렇게 얘기를 해 볼게.이 함수와
42:47 교점을 구하세요라는
42:49 문제가 나오면 여러분들이 어떻게
42:50 풀지에 대해서 얘기를 해 볼게요.
42:53 자, 함수의 교점을 구하라는 얘기는
42:55 함수 두 개를 알면 두 개를 같다라고
42:56 해야겠지. 그래서 역함수를 먼저 구해
42:58 보자. 저번 시간에 계속 했는데
43:00 역함수 구하는 걸 기억나니? 첫 번째
43:03 단계가 뭐였니? 역함수 y
43:04 y
43:06 >> 그럼 두 번째 단계고
43:08 >> x는 하고 표현하는게 첫 번째
43:11 단계예요. 그래서 -1을 넘기면 4x
43:13 먼저 쓸게요. 4x는
43:18 y + 2고 양변에 4를 나누면 x는
43:23 1/y + 1/4는 1/이죠. 자,
43:24 첫 번째 단계 끝났네. 두 번째
43:28 단계는 뭐였니? x와 y를 바꿨을
43:31 바꿨으면 됩니다. 두 번째 단계가
43:33 y는 1/x
43:37 + 1이 돼요. 그러면이 마지막 두
43:39 번째 단계가 끝나고 나면 이식 1/4
43:42 x + 1/이 f역 역함수 x가
43:45 됩니다. 자, 그러면은 두 개의
43:47 교점을 구하세요? 역함수와 원래
43:48 함수의 교점을 구하세요. 그 얘기
43:51 뭐냐? 곧 fx랑
43:55 f 역함수랑 서로 같아요. 이걸
43:58 만족하는 x값을 찾으면 교점 x
44:00 좌표지. 자, 원래 함수는 4x -
44:03 2 y는 그리고 역함수는 y= 1/x
44:05 + 1/이니까 두 개를 같다라고
44:11 줍니다. 그러면 4x - 2랑 1/x
44:13 + 1을 같다라고 두고서 이걸
44:16 만족하는 x를 찾으면 교점의 x
44:18 좌표예요. 그래서 계산을 해 볼게요.
44:21 1/x 왼쪽 넘기면 4 4에서 1/4
44:23 빼면 15x고
44:26 -1 넘기면 1/에서 2하면 5가
44:30 돼요. 그러면 어떻게 되냐? 15x는
44:31 15x는
44:34 5가 됩니다. 근데 우리 x 구하는게
44:37 목적이기 때문에 15를 나누고 4를
44:40 곱하면 15 나누면 5 약분
44:43 >> 4 곱하면 2 약분 2가 나와서 2가
44:49 돼요. 그러면 여기에 x는 2가 되고
44:51 교점이니까 y 좌표 구해야 되지.
44:54 여기 y는 fx 집어넣어. 넣으면
44:55 넣으면
44:58 - 2라서 2가 돼요. 그래서 y도
45:02 2가 됩니다. y는 2 그러면 교점의
45:05 좌표는 누가 되냐? 2가
45:07 될 거예요.
45:10 자, 이게 원래 함수와 역함수의
45:12 교점을 구하세요. 그러면 아무 생각
45:14 없으면 이렇게 풀 거야. 근데 뭐가 길지?
45:15 길지?
45:17 기 때문에 이걸 조금 더 간편하게
45:19 어떻게 풀 수 있을까를 생각해 보면
45:21 역함수와 원래 함수 그래프의 성질을
45:23 이용할 거예요. 자, 원래 함수와
45:26 역함수와의 교점은 우리 어디서 만난다 그랬어?
45:27 그랬어?
45:28 >> y는 x. 네.
45:34 >> 그래서 얘는 원래 함수 y는 fx와
45:37 y는 x의
45:40 교점이랑 똑같아요.
45:42 역함수를 구할 필요 없다는 얘기예요.
45:45 굳이 구하지 않아도 형야
45:48 눈 떠 돌림 화장실 갔다 오던가.
45:50 자, 그래서 교점을 구하면 됩니다.
45:52 그러면 역함수를 구할 길이 없이 y는
45:54 fx 주어졌잖아. 그 y는 x는
45:56 주어졌잖아. 그래서 fx는 x라고
46:00 얘기를 할게요. 그러면 fx는
46:02 x를 만족하는 x를 찾으세요
46:04 얘기입니다. fx는 맨 처음 줄었죠.
46:07 얘는 4x
46:10 - 2는 x고 그러면 2 넘기고 x
46:13 넘기면 3x는 2라서 x는 23예요.
46:17 x는 2고. 자, 그다음에 이을 다시
46:20 원래 함수에 넣어도 되지만 우리는
46:22 y는 x가 있잖아. 여기 집어넣어도
46:24 돼요. 그럼 y는 똑같이 2가
46:28 됩니다. 그래서 y도 2
46:31 답이 똑같이 나오게 돼요. 그 말은
46:33 우리 원래 함수와 역함수의 그래프
46:36 특징을 기억하고 있다면이 빨간색 한
46:37 줄, 두 줄, 세 줄,네 줄만의 답이
46:40 나와요. 근데 이거를 모르고 있으면
46:42 역함수 구하고 서로 같다라 그래서
46:44 계산을 해야 돼. 근데 지금은 1차
46:46 함수가 더 충분히 할 수 있거든.
46:47 근데 2차 함수 나오기 시작하면
46:49 여러분들이 계산하는 과정에서 막
46:52 4차가 나오고 되게 어려워집니다.
46:54 정의역을 생각해야 되고. 음. 그래서
46:58 우린 기본 성질 원래 함수 교점은이
47:01 원래 함수 y는 xy 교점과 똑같다.
47:02 자, 이걸 그대로 이용해서 오른쪽
47:05 2번 한번 해결해 볼게요.이 빨간색만
47:08 이용해서이 방법 그대로이
47:12 함수 y는 -3 1x + 1과
47:15 역함수와의 교점을 구해 봅시다. 시간
47:35 함수화의 교점을 구해 봅시다. 방금
47:38 했던 거랑 똑같은 방식대로 얘기를
47:41 할게요. 성호야
48:33 바로 할게요. 자, 얘 보면은 자,
48:35 원래 함수와 역함수와의 교점을
48:37 여러분들이 보자마자 이런 생각을 해야
48:41 돼. 아, y는이 원래 함수와 3분의
48:44 -3 + 1과
48:47 y는 xy의
48:49 교점을 찾으세요.라는
48:52 얘기랑 같구나.라고 라고 생각을 하고
48:54 두 식을 같다라고 둘 거예요.
48:57 그러면은 두 식을 같다라고 두면 -13x
48:59 -13x
49:03 + 1은 x가 되고 자 -3x 넘기면
49:07 + 13 4x= 1 그러면 4 나누고
49:11 3 곱하면 x는 3이 됩니다. 그러면
49:16 자 x는 3 그리고 y는요 y는 xy
49:17 교점이기 때문에 집어넣으면 y는
49:22 34이네요. y 34
49:25 그러면 교점의 좌표는 34이 됩니다.
49:27 됩니다.
49:29 >> 음. 왜? 왜?
49:31 >> 6이 나
49:37 >> 자, 그래서 답은 이렇게 나오는데
49:39 이제 여기서 하고 싶은 말 있어. 어
49:42 저번 시간에 분명히 선생님이
49:46 함수가 증가하는 꼴일 때는 y는 x
49:48 위에 무조건 있다 그랬는데 감소하는
49:51 꼴에서는 모른다라 그랬지. 지금이
49:54 함수 보면은 기울기가 음수잖아.
49:56 오른쪽 아래로 내려가는 형태예요.
49:59 그러면 y는 x 위에 말고 다른데
50:02 있을 수도 있어요. 교점이. 그래서
50:03 뭐 하라 그랬어? 뭐로 파악한다
50:05 그랬어? 그래프를 그리세요라
50:06 그랬습니다. 오른쪽에 살짝 그려
50:09 볼게요. 그러면 자 실제로 y는
50:12 -3에서 + 1을 그린다. 그러면
50:15 절편만 좀 찍어 볼게요. 자 x가
50:18 0일 때 y는 1. x가 y가 0일
50:22 때 x는 3이에요. 그래서 0 1이고
50:24 그리고 여기는 3 0이 됩니다.
50:28 그러면 요런 직선이 될 거야.
50:30 자, 그리고 우리 y는 x라는
50:32 기준선이 있고 여기 대칭이니까 y는
50:36 x를 한번 그릴게요. y는 x.
50:40 그리고 이렇게 대칭 이동을 시키면
50:42 빨간색인 역함수가 나오겠죠. 네.
50:46 빨간색이 얘는 우리 여기 점들도 같이
50:50 대칭해니까 3 0은 0 3으로 0
50:53 1은 1 0으로 대칭 이동이 됩니다.
50:55 그래서 여기서 여기 1이 되고 여기
50:59 3이 돼서 이렇게 이으면 얘가
51:02 역함수가 돼요. 자, 파란색이 원래
51:04 함수, 빨간색이 역함수예요. 얘네의
51:07 교점은 눈으로 봤을 때 y는 x 위에
51:10 있죠. 보이지? 그래서 아, 얘는
51:11 y는 x 위에 있다라고 생각을 할 수
51:15 있어. 그런데 대부분 직선이 이렇게
51:17 돼. 이런 모양이야. 어, 그래서
51:19 y는 x랑 직선을 직선 교점을 찾으면
51:21 되는데 이제 아닌 경우가 존재하겠지.
51:23 어, 여기서 만나지 않는 직선이
51:26 존재해요. 우리 이거 중간고 때 생각
51:27 넓히기에서 한 적이 있습니다. 보연아.
51:29 보연아.
51:32 깨세요. 어, 생각 넓히기에서 이런
51:33 얘기를 한 적이 있어. 우리 직선의
51:36 방정식이 있는데 얘를 y는 x에
51:38 대해서 대칭 이동했을 때 자기 자신이
51:41 되는 경우가 있어. 기억하니?
51:43 언제 자기 자식됐니? 우리 한 적
51:45 있는데 중간공사 내용이야. 생각넓게
51:49 있었어. 직선 중에서
51:52 >> 기울기가 -1인 거는 대칭 이동을
51:54 해도 자기 자신이냐 그랬지? >> 네.
51:55 >> 네.
51:57 >> 그런게 있었습니다. 절편은 상관없이
52:00 기울기 -1이면 접었다 펴도
52:01 똑같잖아. 자기 자신이잖아. 그
52:05 말은이 원래 함수와 역함수는 교점이
52:07 y는 x 말고도이 수많은 곳에서 생겨요.
52:09 생겨요.
52:10 여기까지 됐어.
52:12 또 다른 트리 케이스도 있어. 트리
52:14 케이스 뭐냐면 그냥 기울기 1짜리는
52:16 접었다 피면 자기 자신이지. 그 얘는
52:18 교점이 여러 개 생겨요. 무습이 많이
52:20 생깁니다. 그런 케이스들이 있기
52:22 때문에 그 두 개만 조심하면은
52:24 나머지는 무조건 y는 x랑 교점이 생깁니다.
52:26 생깁니다.
52:29 이해됐니, 서준아?
52:32 자, 그러면이 직선 말고도 그러면 또
52:35 다른게 있어요. 또 다른 예시 하나만
52:36 들고 이제 뒤로 넘어갈 거예요.
52:39 예시가 뭐냐면 아, 그래프가 감소하는
52:42 꿀인데 역함수랑 교점을 구했을 때
52:45 y는 x 말고 생기는게 어떤게 있나
52:46 이런 것들이 있습니다. 이제 이런 건
52:49 예시 하나만 딱 보고 넘어갈게요.
52:51 음. 한번 알 한번 본 거랑 안 본
52:54 거랑 달라요. 자, y는
52:56 -x제 + 1이라는 함수가 있다고
52:59 치자. 근데 정의역 공역을 좀 설정해
53:03 줄게. 정의역을 x는 0보다 크거나
53:05 같고 1보다 작거나 같아요. 0에서
53:08 1까지만 경역을 할게.
53:10 그리고 1대 1 대응을 만들기 위해서
53:11 공역도 설정을 할게요. 공역을 이제
53:14 y의 범위라 그러면 0보다 크거나
53:17 같고 1보다 작거나 같은이 범위
53:20 내에서만 얘기를 할게요. 공역.
53:22 자, 그리고 나서 얘를 그리면 물론
53:24 함수는 되게 많지만 얘는 예시를 준
53:27 거야. 이걸 그리면 어떻게 생겼냐?
53:30 얘를 그렸을 때
53:31 자 이거는 2차 함수니까 위로
53:34 볼록이죠. 위로 볼록인데 꼭짓점이 0
53:38 1이고 그리고 얘는 0 1을 지나고
53:39 1 넣으면 0이 돼. 그럼 1
53:42 0을지나 그러면 실제로이 그래프는
53:45 여기가 1이고 여기가 1일 때 요런
53:48 식으로 생겼어. 요런 식으로 생기냐?
53:50 음. 원래는 이제 위 밑에서 올라와서
53:52 외곡 시점 찍고 쭉 내려가는 앤데
53:54 얘는 이렇게 생겼습니다. 자, 얘를
53:56 우리는 역함수를 만들기 위해서 먼저
53:58 역함수가 존재하는지부터 볼게요. 얘
54:00 1대 1 대응이 >> 네.
54:01 >> 네.
54:03 >> 1대 1 대응이 뭐야? 옆으로 그었을
54:07 때 한 번씩 만나야 돼.이 밑에는요?
54:08 공역 내에서 옆으로 그는다 그랬지?
54:10 공역이 0에서 1 사이지? 0에서 1
54:12 사이에서 옆으로 그을 때마다 무조건
54:13 한 번씩 만나죠. 1대 1
54:15 대응이에요. 그러면 역함수가
54:16 존재해요. 역함수를 우리는 어떻게
54:20 그렸어? y는 x 직선을 그은 그은 다음에
54:22 다음에
54:26 응 그은 다음에 얘 대칭 이동을
54:29 시키지. 자, 그런데 우리 1 0인
54:31 점은 대칭 이동해도 0 1로 가고
54:33 얘는 대칭 이동하면 1로 가지.
54:35 그리고 여기선 똑같이 만나겠지. 대칭
54:37 이동해 봤자.이 점은 그러면 요렇게
54:42 생깁니다. 얘가 요런 식으로 생겨.
54:45 그러면 교점이 하나, 둘, 세 개의
54:48 교점이 나와요. 근데 y는 x에 있는
54:51 건 당연히 있겠지만 나머지 두 군데서
54:54 생길 수 있단 얘기예요. 이런게 단인
54:56 예야. 이거 전혀 제가 배우는 거는
54:58 상관없는 거 아니에요? 상관 있어요.
55:00 우리 빨간색을 좀 있으면 배우거든
55:02 뭐라 부르게?
55:06 2차 함수의 역함수는 무슨 형태게?
55:07 이제 뒤에서 배울 건데 무리 함수 형태예요.
55:08 형태예요.
55:10 >> 어, 루트가 나오거든. 그래서 무리
55:12 함수 형태기 때문에 다른 분명히 나올
55:15 수 있는 얘기입니다. 어 그래서 이런
55:17 예시들도 알고 있으면 좋습니다.
55:19 넘어갈게요. 오늘 받은 거 한번 펴봅시다.
55:21 펴봅시다.
55:24 오늘 받은
55:26 유리 함수와 무리 함수를 한번 해 볼게요.
55:29 볼게요.
55:32 이거를 녹화 잠깐 끊고 위험할까? C
