This content is a detailed explanation and practice session for rational and radical functions, covering their calculation, graphing, domain, range, asymptotes, and inverse function intersections.
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자, 수업 시작합니다. 우리 유리
함수, 무리 함수 단언 할게요. 기본
문제 1번부터 봅니다. 다음 식을
계산하시오라고 되어 있는데 우리 유리
함수 덧셈 뺄셈은 통분이고 그리고
곱셈 나눗셈은 약분이라 그랬죠. 자,
통분합시다. 우리 왼쪽에 있는 x제
- 3x x + 1이 이제 분모가 x
x - 3으로 인수 분해가 되죠.
자, 오른쪽은 원래 x - 1인데
자, 분모를 똑같이 맞추기 위해서
분모 분자의 x를 곱할게요.
자, 그러면 통분이 끝났죠? 이제
분모가 똑같으니까 x - 3분의
자, 위에가 x에서 -x를 빼니까
사라져서 1이 되겠네요.
다음. 자, 이번은 우리 곱하기
나누기는 약분하세요라 그랬지? 그러기
때 인수 분해합시다. 자, 왼쪽 아래
분모는 x - 3x + 1로 인수
분해가 되고 x자
분자는 x + 2고 곱하기 자,
오른쪽에 있는 우리 x제곱 +
2x라는 분모는 x 묶으면 x +
2가 되고
분의 자 위에 분자는 또 인수분해
되죠. x자 하면은 1 - 4에서 x
+ 1 x - 4가 될 거예요.
열심히 약분을 합시다. 약분을
합시다. 그 남은 걸 써 주면
됩니다. 자, 오른쪽 아래 이제
분모는 x 먼저 쓰면 x x - 3분의
3분의
x - 4 이것들이 답이 되겠네요.
자, 넘어갑니다. 2번. 자, 유리
함수의 그래프를 그리고 자, 그래프를
그리고 정의역 취역 정근선 방정식을
구하세요. 자, 유리 함수 그래프는
선생님이 세 개 기억하려. K, p,
q를 찾으라 그랬죠? 자, 여기
1번에서 보면은 아, 여기
마이너스까지 해서 1번은 자, k는
-1. 자, p는 이제 분모가 0이
되는 p는 -3. 그리고 오른쪽에
있는게 q라 그랬죠? q는 -2라 그랬습니다.
그랬습니다.
자,이 상태로이 세 개만 알면
그래프를 그릴 수 있어요라 그랬지.
그래서 우리가 x축, y축을 하고
점근선을 그는다 그랬어요. 점근선은
우리 점근선 하라 그랬으니까 x는
p, y는 q예요. 그래서 x는 -3
그리고 y는 -2
점근선이 됩니다.
자, 그럼 실제로 그려 보면은 x는
-3이고 왼쪽으로 세 칸. 여기 원점
x축 y축 그리고 y는 -2 아래로
두 칸.
그래서 이게 -3 -2. 자, 이제
k에 따라서 k가 양수면 오른쪽이
왼쪽 아래. 음수면 왼쪽이 오른쪽
아래인데 우리 k가 음수기 때문에 왼쪽이
왼쪽이
오른쪽 아래가 됩니다. 요렇게 흘러가겠죠?
흘러가겠죠?
y 절편 정도 생각해 줄까요? x에다
0을 왼쪽에 집어넣어 주면 -13
-2라서 여기 y 절편값은 -3이
되겠죠? 그럼 다 그렸네요. 자,
여기서 정의역과 치역까지 해 볼까요?
자, 정의역은 우리 식에서 넣을 수
없는 x값을 빼면 돼요라 그랬지?
유리 함수는 분모가 0이 되는 값을
제외해 줘야 돼요. -3을 제외하죠.
x바 x는 -3인 실수고.
자,이 그림에서 치역은 누구니?
치역은 나올 수 없는 y값을 빼 주는
거예요. 자, 근데 우리 치역은
점근선 y 좌표 빼고 나머지 전체라
그랬죠? 여기다 치역은
y바 y는 -2인 실수가 됩니다.
이게 1번에서 이제 원하는 걸 다
했죠. 자, 똑같은 방식으로 2번 할
건데 우리 2번은 우리 얘가
일반형으로 되어 있죠. 일반형을
표준형으로 바꿔 봅시다라고 얘기를
했죠. 그럼이 식을 먼저 바꿔 볼
거예요. 1번은 좀 이렇게 구역을
나눠 주고. 자, 이번도 같은
방식으로 할 건데.
자, 첫 번째 y는 변형할 거예요.
x - 2분의
자, 이게 쭉 어떻게 변형하냐? 4
가로 열고 x - 1을 쓰세요라
그랬지? 4는 여기서 나온 거예요.
자, 근데 뒤에 숫자를 찾아야 되는데
우리 전개했을 때 4x - 8인데
1이 되려면 9가 필요해요라고 했었죠.
했었죠.
자, 그리고 나서 우리 분수를 왼쪽
따로, 오른쪽 따로
분리해서 씁시다. 근데 오른쪽을 먼저
쓰면 그러면 y는 x - 9고. 자,
왼쪽은요 x - 약분하면 + 4가
되겠죠? 자, 그럼 똑같은 방식으로
아까처럼 kpq를 찾을 수 있습니다.
K는 분수 위에 있는 분자인 9.
자, p는 분모가 0이 되는 2.
자, q는 오른쪽 튀어나온 4가
되겠죠? 그럼 그대로 그리면 되겠죠?
똑같이 우리 x축, y축을 그리고
자, 점근선은 x는
x는 p, y는 q가 점근선이 아,
q래 4지. q가 4가 돼서 자 x는 2고
2고
y는 4가
4가 되면은 원점 x축 y축에서 k가
0보다 크기 때문에 오른쪽 위
그다음에 왼쪽 아래가 될 텐데 y
절편만 좀 볼까요? y 절편는 x에
0 넣으면 점인 위에 식에다가 -1이죠.
-1이죠.
그래서 y 절편이 - 1이 되도록
왼쪽 아래에 그려져요라고 얘기할 수
있습니다. 점근선 기준으로.
자, 그리고 나면 이제 마지막 정의역
분모가 0이 되는 2를 제외한
x는 2가 아닌 실수고.
자, 치역은
y는 q를 제외한 나머지가 됩니다. y는
y는
4가 아닌 실수가 될 거야. 차분히
여러분들이 하나씩 다 할 수 있어야
합니다. 수업 때 많이 반복해서
했죠. 자, 3번 넘어갈게요. 자,
이번엔 무리식이네요. 자, 무리식
간단히 하시면은 우리가 알던 대로 뭐
유리화를 하든지 전개를 하든지 하나씩
하면 됩니다. 우리 3번에 1번 보면
합차가 보이죠? 2 + 루트 3x + 2
2
- 루트 3x + 2 그건 합차죠.
그럼 얘는 2의 제곱에서 루트 3x
+ 2의 제곱을 빼줍니다.
자, 그럼 얘는 바로 4에서 자,
루트를 제곱하면 사라지니까 3x +
2를 빼고 그러면 -3x 자, 4 -
자, 다음 2번은 우리 얘는 어떤 걸
물어보는 거냐면 유리화를 물어보는
거예요. 그래서 유리화 물어보기
위해서 루트 x - 루트 3분의 루트
x - 루트 3을 분모 분자에
곱할게요. 왜? 분모는 합차를 이용할
거니까. 자, 그럼 분모 보면은 앞에
거 제곱 하면 루트 x제곱이지 x에서
뒤에 거 제곱 루트 3의 제곱은 -
3. 자, 위에 분자는 똑같이 x -
3이 있는데 여기다가 루트 x -
루트 3을 곱하면 되겠죠? 자, 그럼
약분하고 나면 누가 남냐? 루트 x
무리식에 정리가 되겠죠? 자, 이제
무리 함수로 들어갈게요. 4번 보면
무리 함수 그래프 그리고 정의역
취역을 구하세요. 이것도 선생님이
기억을 하라 그랬지. 우리 유리 함수에서는
함수에서는
kpq를 구한다 그랬어. 이제 무리
함수는 어떤 걸 찾으라 그랬냐? 첫 번째
번째
두 번째. 그리고 x 앞에
부호를 찾고 세 번째 루트 앞에
부호를 찾으면 우리가 그릴 수 있다
그랬죠. 자, 그래서 1번 같은
경우는 출발점 p q인데 자, p는
누구냐? 루트 안이 0이 되는게 p고 그러면
그러면
자 p q는 첫 번째 p q는 -
루트 아는 x가 -2일 때 0이
되죠. 루트 밖에 있는게 q라
자, 그리고 나서 이제 두 번째 x
앞에 부호는 x의 부호는 x 앞에는
2가 달려 있죠. 양수네요.
양수네요.
그리고 세 번째 루트의 부호는 루트
앞에 아무것도 없으면 1이 있는
거죠. 양수가 됩니다. x 앞에
부호가 플러스면 오른쪽
루트 앞에 플러스면 위라고 얘기했죠.
그러면 최종적으로 그리려면 어떻게
그리냐? 우리 x축, y축에 있을 때
출발점인 -1을
찍고 자,이 점이 - 3, -1이 되겠죠.
되겠죠.
원점, x축, y축. 그리고
오른쪽이로 쭉 뻗어 나가면 돼요.
근데 하나만 좀 조심할까? 우리 y
절편이 x에 0을 넣으면 루트 3 -
1이라서 양수가 됩니다. 그러면 요쯤에
요쯤에
루트 3 - 1이 있고 오른쪽으로 쭉
뻗어 나가는 모양이네요.
자, 다 그렸습니다. 그럼 이제 또
그다음 뭐냐? 정의역과 치역을
구하세요. 자, 정의역은이 함수가
그려지는 왼쪽 오른쪽 중에서 -2
기준이 오른쪽이죠. 그래서 정의역을 x바
x바
x는 -2보다 크거나 같아요.
자, 치역은요. 치역은
자,이 그래프는 위아래를 보는데 -1
기준 -1보다 크거나 같죠. 그래서
y바 y는 -1보다 크거나 같다가 됩니다.
됩니다.
정의역 치역까지 다 그리게 됐습니다.
자, 한번 더 그려 볼까요? 이번에
왼쪽에 있는 아 2번에 있는 y는
루트 아 y는 - 루트 4x - 2
+ 5를 해 볼게요. 똑같이 1번부터
볼게요. 자, p q를 찾자.
자, p q는 p는 루트 아닌 0이
되는 거예요. 그러면 1이죠.
1이고. 자, q는 오른쪽 + 5
튀어나온 애죠.
자, 두 번째 우리 x 앞에 부호가
x 앞에 4가 달렸기 때문에 플러스고.
플러스고.
자, 세 번째 루트의 부호가
루트 앞에 마이너스에 달려 있죠?
자, 그러면 x의 부호는 이제 오른쪽
의미하고 루트 앞에 마이너스면 아래를 의미하죠.
의미하죠.
y 절편만 또 찾아볼까? y 절편
여기 0 집어넣으면 어, 루트
-2인데요. 허수죠. y 좌표는 이제
만나지 않는 거예요. y축하고 허수는
우리 그리지 않죠. 자, 그러면
실제로 1 5를
여기 y가 5고 x는 1이고
1 5에서 오른쪽 아래로 가는 이런
함수가 무리 함수가 됩니다.
자, 그럼 정의역하고 치역을 써
루트 안이 플러스가 돼야 돼.이
그래프에서 보면은 그래프가 막 1보다
오른쪽이 그려지죠. 그래서 x바 x는
1보다 크거나 같아요. 자, 치역은
5 기준 아래를 얘기하죠. y바 y는
5보다 작거나 같아요가 됩니다.
이렇게 차례대로 여러분들이 무리
함수도 그릴 수 있어야 되고 아까
위에 2번에서 봤던 유리 함수도 그릴
수 있어야 합니다.
자, 다음 넘어갈게요.
자, 5번. 자, 다음 보기에서
그래프를 평행 이동했을 때 유리 함수
y는 x + 1의 그래프와 겹쳐질 수
있는 것이라고 얘기했습니다. 자,
평행 이동이죠.
자, 그러면 밑에 있는 걸 평행
이동해서 위로 된다는 얘기는 위에
있는 걸 평행 이동해서 아래쪽에
보기도 될 수 있다는 얘기죠. 그럼
실제로 가능한지 볼게요. 자, 그러면
얘를 평행 이동은 우리가 위에 있는
q만큼 평행 이동하면 어떻게 생기냐?
그럼이 식은 요렇게 바뀌어요. y는
x - p + 1 x 대신 x -
p죠. 그다음 y 대신 y - q인데
-q를 넘기면 더하기 q꼴이 됩니다.
여러분들이 집중해서 봐야 되는게 아
그러면 모양이 바뀌는게 뭐고 안
바뀌는게 뭔지 봐야 돼요. 자, y
바뀌지 않죠? 위에 있는 1도 바뀌지 않아요.
않아요.
우리가 유리 함수에서 kpq 세 개
찾으라 그랬잖아요. 그중에서 저 위에
있는 1은 바뀌지 않습니다. 바뀔
수가 없어요. 그 말은 오른쪽에 기역
니은 디귿 리을 보면은 애초에 디귿은
되지 않습니다. 왜? 위에 있는 값이
4가 되잖아요. 그 디귿은 바로 탈락이에요.
탈락이에요.
자, 그러면 어, 다음에 서로 이제
될 수 있는지 볼게요. 기억은 될 수
있나요? 아, 기억은 x - p +
2는이 오른쪽은 p에 따라서 어느
값도 될 수 있어요.
그럼 -3도 가능하겠죠? 그 q가
0이면은 기억이 나오죠. 그래서
이때는 어떤 얘기냐? 이때는 p가 5고
5고
그래서 p는 5, q는 0. 그래서
y는 x + 1/을 x축 방향으로
y축 방향만큼 옮기면 기억이 된다.
물론 이제 기억에서이 식은 반대로
평행 기동이 되겠죠. 그래서 기억은 됩니다.
됩니다.
자, 그다음 또 보면 니은을 볼게요.
자, 니은 될까 안 될까 보면은
니은은 이제이 왼쪽에 빨간 네모친
식이랑 비교해 보는 거야. 자, 근데
x 앞에 계수가 바뀌지 않았죠. 그
말은 오른쪽에 있는 니은도 x 앞에
계수가 존재하면 안 됩니다. 그래서
니은 땡이 될 거예요. 물론 위에가
만약 2 이렇게 되면 약분해서
되겠지. 하지만 그런 모양도 안 되기
때문에 니은도 이제 볼 필요 없이
탈락이죠. 자, 마지막 리을 좀
볼까요? 자, 리을은 지금 왼쪽에
빨간 네모하고 비교해 봤을 때 표준형과
표준형과 일반형이죠.
일반형이죠.
우리 서로 비교하려면 그 모양을
맞춰야겠죠? 그래서 리을 표준형으로
바꿔 볼게요. 그러면 y는
x + 2 괄로 열고 x + 2는
앞에 있죠. 그리고 우리 2x +
4인데 원래 5니까 + 1이 필요하죠.
필요하죠.
표준형 바꾸는 거예요. 수업때 열심히
했죠. 그러면 왼쪽 따로 오른쪽
따로인데 오른쪽 먼저 써 주면 y는
x + 1 + 자 왼쪽은 x +
약분하면 2가 되네요. 자 그러고
나서 이제 여기 빨간색하고 비교해
보면 아 서로 모양이 딱 맞네요.
그래서 p - p + 2랑 2랑 같고
그리고 q는 2가 되면 되겠죠.
그래서 실제로 p는 몇이냐? P는
0일 때
그리고 Q는 2일 때 되겠네요.
다음 넘어갑니다. 6번 볼게요. 자,
유리 함수 x + ax + b의
그래프가 오른쪽과 같다라고 되어
있습니다. 자, 오른쪽에서 우리
그래프가 주어지면 어느 정도 알 수
있는 걸 뽑아내면 됩니다. 자, 첫
번째이 점근선이 x는 2죠. 자, 얘
위쪽에 있는 건 y는 -3이죠.
그러면이 값이 곧 p고이 값이 곧
q가 될 거예요. 그 실제로 유리
함수 그래프는 y는 자, x - p
x - 2분의 k + q인 q가
-3이죠. 이게 됩니다. 그 x -
k - 3이 되는데 하나 더 여기
문제에서 봐야 되는게 있죠. y
절편이 -5래요.
y 절편은 언제야? x가 0일 때죠.
실제로 x의 0을 대입해 보면
자, y는 -5는
이제 0 넣으면 사라지니까 -2 k
- 3이고
자, -3 넘기면 +3 돼서음 그러면
그러면
-2는 -2 k 양변에 -2 곱하면
k는 4가 됩니다.
자, 그러면 실제로 식은 어떻게
되냐? 여기서
얘를 보라 아, 빨간색으로 끌고
올게요. 끌고 와서 집어넣으면
집어넣으면
y는 x - 4 - 3이고. 자,
근데 문제에서 우리 일반형으로 되어
있죠. 표준형을 일반형으로 바꿔
볼게요. 자, 표준형을 일반형으로
바뀌는 거는 통분이야. 통분.
자, 그러면이 식을 통분해 주면 곧
x - 4는 원래 있고 -3 * x
- 2의 x - 2가 되고
통분 과정이에요. 자,이 -3은 안에
하나씩 다 곱해 줘야 돼.
그러면 합쳐 줘서
x - 2분의 자 왼쪽은 4 -3x
+ 6이 됩니다. 그러면
x - 2의 -3x + 10이 될
거예요. 자, 그러고 나서 원래 있는
a, b, c랑 비교해 볼까요? 자, A리에는
A리에는 -3이네요.
-3이네요.
B 자리에는 10이네요. C 자리에는
-2가 되겠네요.
A는 -3, b는 10, C는 -2가 됩니다.
됩니다.
다음 7번으로 넘어갈게요. 자, 무리
함수에서 최댓값, 최소값을
물어봅니다. 이거는 여러분들이 앞으로
어떤 함수를 봐도 그 함수 기본 꼴에
최댓값, 최솟값 항상 얘기를 할
거예요. 자, 근데 우리이 7번을
한번 그려 볼까요? 먼저 그릴 수
있으니까 우리 그림이 동반에 대한
최대수 얘기할 수 있죠. 자, 첫
번째 우리 p q를 찾자.
자, p는 루트 안이 0이 돼야
돼요. 근데 루트 안이 0이 되려면
x는 a죠? 어, 저 a 모르는데요.
상관없습니다. 그냥 a라고 둘게요.
자, q는 오른쪽에 있는 2죠? a
2가 곧 p q가 돼요. 자, 두
번째 x 앞에 부호 x의 부호를
볼까요? x 앞에 마이너스 달려
있죠? 세 번째 루트의 부호를
볼까요? 루트 앞에 마이너스 달려
있죠? 그러면 왼쪽 아래가 됩니다.
자, 그럼 어딘지 모르지만 여기 a
2라는게 있으면
왼쪽 아래로 뻗어 나가는 이런
그래프가 fx가 될 거예요.
자, 그때 우리 x의 범위가 -4부터
4라고 합니다. 근데 a가 지금 단
a가 4보다 크거나 나왔기 때문에
실제로 -4랑 4랑 표현을 해 보면
자, -4는 요쯤에 있을 거예요.
-4고 그리고 4는 요기 어딘가 있을
거예요. a가 4보다 크거나 나왔기
때문에 a는 더 오른쪽에 있어야겠죠?
자, 그 사이에서 무리 함수의
최댓값, 최소값을 물어봤습니다.
자,이 점선 사이에서 무리 함수만 딱
그려 주면이
빨간색에서의 최댓값, 최소값을
물어보는 거랑 똑같아요. 근데 무리
함수는 쭉 왼쪽으로 감소하든지이 한쪽
방향으로 쭉 올라가거나 감소하는
1일대일 대형의 형태죠. 그러면이
식은 언제 최대냐면 보라색을 보면
여기 x가 4일 때 최대가입니다.
그 x가 -4일 때 최소가 돼요.
그만은 곧 무리 함수의 최댓값
최소값은 그림을 그려야 된다는
x가 4일 때기 때문에 f4가 되고 최소값은
최소값은
우리 왼쪽 아래 x가 -4라서 f
-4가 됩니다.
자, 그러면 최댓값 실제로 넣어
볼까요? 우리 4를 넣은 값이죠.
왼쪽에 있는 위쪽에 있는 무리 함수에
자 f4는
- 루트 -4 + a + 2고 이게
1이라고 합니다.
계산을 조금 해야 되니까 얘를 조금
위치만 옮겨 볼게요. 최소값은 조금
밑으로 떼 떼 봅시다.
자, 그러면 여기 물결 친 거만
해결하기 위해서 자, 1은 왼쪽으로
넘기고 마이너스 루트는 오른쪽
넘길게요. 그러면 우리 2 -
1이라서 1은 루트 -4 + a고.
자, 양변 제곱하면 1은 -4 +
a고 그러면 마이너스 넘기면 a는
a는 5까지 나왔으면 다 끝났죠?
이제 5를 집어넣고 원래식에 집어넣고
최소값을 구하면 되겠죠?
자, 최솟값은 f -4인데 이제
-4를 물결친 식에 집어넣으면
- 루트 자, -x인데 x에 -4니까
마이너스 마 + 4 + a인데 a가
5라고 돼 있으니까 + 5 그리고
마지막 + 2가 되겠죠. 루트 밖에.
자, 왼쪽 보면 루트 9는 3이기
때문에 -3 + 2 그러면 -1이
자, 됐으면 8번으로 넘어갑니다.
자, 이번에 무리 함수 주어지고 어,
이제 그래프 주어지고 무리 함수
찾으세요랑 똑같이 자, 얘도 똑같이
우리가 찾는 과정을 생각을 하는
거야. 우리 무리 함수 그릴 때 p
q 찾으라 그랬죠. 출발점. 자,
출발점 p q는 x가 -2, y가
3이니까 -2, 3이 될 거예요.
자, 그리고 y 절편는 1이
되겠네요. 자, 그럼 p q에서
우리가 알 수 있는게 뭐냐면 자,
여기서 우리 식에서
자, 보면 첫 번째
p q인데 p가 의미하는게 루트 안이
0이 되는 거죠. 그래서 집어넣었을
때 -2a + b는 0이 됩니다.
그리고 c값은 q죠? 3이 될
거예요. c는 바로 나왔네요. 그 a
b에 관련된식이 하나 더 필요하지.
자, 그런데 오른쪽에서 보면은 눈에
띄는 애가 있죠? y 절편이에요. y
절편은 x에다가
0을 집어넣었을 때 y값이죠. 그럼
x의 0을 집어넣으면 y값이 지금
1이고 1은
- 루트 x에 0 넣으면 사라지고 b
+ c인데 c가 3이라고 방금
왼쪽에서 했죠.
자,이 식 조금만 정리하면 마이너스
왼쪽 넘기면 루트 b는 3 -
1이라서 2고 제곱하면 b는 4가
됩니다. b는 4를 집어넣으면
-2a + 4는 0이고 그러면
a는 2가 되고 그리고 c는 3이라고 주어졌죠.
주어졌죠.
그래서 a는 2, c는 3, b는
4가 됩니다.
자, 9번으로 볼게요.
자, 발전 문제. 우리 유리 함수
f(x)는 x + 1 ax + b가
있네요. 점 -2, -3을 지나고
자, 0에서 3 사이에서 최솟값은
2이고 여러 가지 정보들이 있죠.
우리가 아는 대로 순서들을 하는
거예요. 첫 번째이 식을 보자마자 아
얘는 일반형이네. 표준형으로
바꾸자부터 얘기를 할게요. 그래서 fx는
x + 1분의 자 a 괄로 열고 x
+ 1 하고 표준으로 바꾸는 거예요.
x 앞에 a가 있기 때문에 그냥 a로
묶어내면 됩니다. 자, 근데 이제
전개하면 ax + a거든요. 근데
b가 되려면 누가 필요하냐면 -a +
b가 필요해요. 그러면 전개했을 때
a는 사라지고 b가 남죠. 그럼 아까
계속 했던 것처럼 왼쪽 오른쪽
따로따로 하면은 자 오른쪽 먼저 쓰면 f(x)는
f(x)는
x + 1의 - a + b 그리고
왼쪽은 따로 하면 x + 1 약분돼서
+ a가 됩니다.
자, 그럼 차례대로 하면 돼. 아,
k가 누구지? k는
-a + b예요. p가 누구지?
밑에가 0이 되는 분모가 0이 되는
x는 -1이에요.
자, q가 누구지? 아, q는
a예요라고 얘기할 수 있습니다.
그러면 k의 부호도 모르는데 우리
p하고 q는 우리 얼 그릴 수 있죠?
한번 그려 볼까요?
자, 위치가 확정이 안 되면 그냥
좌표 평면을 안 그리고 허공에 그리면
돼요. 자, 이렇게 점근선이 있을 때
자, p가 -1이지? 그럼 x는 -1이고
-1이고
a죠. y는 a인 점근선이 있습니다.
자, 그럼 이제부터 두 가지 형태를
얘기할게요. 빨간색일 수도 있고
빨간색이 1번.
자, 그다음은 보라색일 수도 있어요.
보라색이 2번이라고 합시다.
빨간색은 언제? K가 양수일 때,
보라색은 언제? K가 음수일 때를
얘기하고 있죠. 자, 양수일 때 먼저
얘기를 해 볼게요.
자, 그다음 이제 힌트를 볼게요.
그래프는 점 -2, -3을 지난다
그랬습니다. 자, -2는 누구일까?
-는 -1 기준으로 왼쪽을 의미합니다.
의미합니다.
그러면이 빨간색에서는 -2를 여기
지나간다 치면 x가
x가
-2라 치면 여기기이 만나는 점이음
자, 그다음에 이제 0부터 3까지
최솟값이 2다라고 얘기하는데 아,
그럼 0은 어디지? 0은 오른쪽으로
가네요. 이때가 x가 0이고
그리고 3은 더 오른쪽에 있겠죠?
이때 x가 3이에요. 자, 그때 우리
그래프, 빨간 그래프는이 검정색만
보면은 0부터 3까지에서의 최소값에
대한 얘기를 하지. 그러면 언제
최소냐면 오른쪽 아래가 제일 작죠?
제일 낮게 있지? 최소값이에요.
x의 3을 넣은 f3이 될 거예요.
근데 이게 몇이냐? 2라고 되어
자, 그러면 두 가지 정보를 볼
거야.이 -2, -3을 지나. 근데
여기서도 할 수 있는 말이 무엇이냐?
-2, -3은 우리 f -2가 x가
-2일 때 y값은 -3이다.이
얘기입니다. 그럼 두 식을 연립을 할 거예요.
거예요.
어떻게 연립해? 원래 있는 식에
집어넣어서 연립을 합니다.
자, 저 위에 있는 식에다가 x 3을
집어넣으면 3a + b네요. 그러면
3a + b가 2고.
자, 그리고 또 누가 있냐? -2,
-3을 집어넣으면 -1 집어넣으면 -1분의
-1분의
-2a + b네요. -1의 -2a +
b 이게 -3이 됩니다. 자, 두 개
연립하는 a를 찾으세요가 되겠지?
그러면 연립해 보자.
자, 양변에 4 곱하면 3a + b는
8이고 양변에 -1 곱하면 -2a +
b는 3이 됩니다. 그럼 빼주면
5a는 5가 되고 그래서 a는 1이
될 거예요. a가 1이면 자연스럽게
넘어주 여기 넣어 주면은 3 + b는
8 그래서 b는 5가 됩니다.
그래프에서 전혀 문제가 없죠. 그래서
실제로 이게 답이 될 거예요.
자, 그러면 저기 보라색으로 그린이
보라색 k가 음수인 경우는
어떻게해요? 그 음수인 경우를 실제로
한번 해 볼게요. 물론 이제 a는
1, b는 5도 실제로 넣어 봐야
돼요. 넣어봐서 k값이 양수가 되는지
확인해야 됩니다. 자, 두 번째
보면은 이제 자,이 -2, -3이
우리 여기 위쪽을 말하죠. 위쪽 왼쪽
위에 있는 점을 -2, -3이라고
얘기할 수 있습니다.
자, 그리고 0부터 3까지 최소값에
대한 얘기를 하는데 이것도 이제
오른쪽 보라색에서
0부터 3 사이 최소값은이 검정색
그림이 되고 자, 이때 제일 낮은
값은 f(0)이 되겠죠. 이게
최솟값이 됩니다. 그다 보라색일 때는
어떤 얘기를 할 수 있냐? 뭐라색일
때는 f 0이 최소값이 되는데 2가 되고
되고
이게 최소값이고
그리고 f - 2는 -3이 됩니다.
이거를 계산해야 돼. 자, 근데 이걸
막 계산하려고 봤더니 이제 그림상
이상한게 있죠. 왜? 이제 f(0)의
최소값은 2라고 되어 있죠.
근데 왼쪽 위에 있는 점이 y값이
-3이에요. 오른쪽에 있는 점이 더
작은데 2고 말이 안 되죠. 크기
자체가 말이 안 됩니다. 그래서 사실
이제 f0은 2, f -는 -3을
계산할 필요 자체가 없어요. 그림
자체가 그래프 자체가 성립하지 않습니다.
않습니다.
그래서 둘 중에 하나 누구지에서
계산하다 보면은 그래프를 그리다
보면은 하나가 제외돼서 빨간색만 답이
되겠죠. a는 1, b는 5가 됩니다.
자, 중단은 마무리 문제. 아,
마지막 문제 10번 볼게요. 무리
함수 f(x)는 루트 x + 3 +
k 그래프와 역함수의 그래프가 서로
다른 두 점에서 만나도록. 자,
이거는 선생님 수업 때 얘기를 했죠?
우리 원래 함수와 역함수의 교점은
다른 두 점에서 만나는 뭐 어쨌든 교점은
교점은
fx와 f 역함수의 교점은 누구랑 똑같냐?
똑같냐?
y는 x와의 교점과
교점과
똑같다 그랬어요. 언제? fx가
증각꼴일 때.
자, 근데 아닌 경우도 있다 그랬지?
y의 교점이
우리 이거 수업 때도 얘기했었죠?
자, 그러면 실제로이 함수를 그려
볼게요. 우리 fx가 p q부터 해서
그려보면은 우리 여기 쭉 그려보면
자, 첫 번째 p q는
루트가 0이 되려면 -3 그리 뒤에
튀어나오면 -3 k고 두 번째 x
앞에 부호는 플러스고 아무것도 없으면
1이죠. 세 번째 루트 앞에 부호는
루트 앞은 지금 플러스죠.
자, 그러면 실제로 그래프 그리면
이렇게 그릴 수 있어요. 아, -3
k가 있고 k가 누군지 모르니까
좌표축은 안 그릴게요. 자, 2번,
3번 봤을 때 x어플러스, 루트어
플러스면 오른쪽 위로 갑니다. 오른쪽 위로.
위로.
얘를 조금만 당겨 볼까? 가운데로.
자, k값 따라서 이제 위치가 정확히
고정이 되겠죠? 자, 그때이 그래프가
역함수와 서로 다른 두 점에서 만나야
된대요. 역함수를 그렸을 때 요런
식으로 생겨야겠지.
자, 근데 우리이 그래프는 증가꼴이죠.
곧 증가하는 꼴은이 함수와 역함수는
무조건 y는 x와의 교점에서 만나요.
y는 x가 요렇게 생기면
세 개가 무조건 직선에서 만나요.
아, 세
도형의 교점이
원래 함수와 역함수의 교점하고
똑같겠죠. 자, 이렇게 되는데 그럼
이거랑 똑같아요. 여기 빨간색을
그리고 어, 왜 넘어갔어?
파란색을 1번, 검정색을 2번이라고
할 때
여기 우리가 알 수 있는 건 뭐냐면
어, 다시 좀 왼쪽으로 갖고 와 볼까?
알 수 있는 건
곧 그림에서 1과
2의 교점이고
그건 곧 2와 3의 교점이에요.
내가 어떤 걸 갖다 이용할지 모른다는
얘기예요. 근데 문제에서 물어보는 건
뭐냐면 원래 함수와 역함수의 그래프의
교점이죠. 원래 함수는 1번,
역함수는 빨간색인 3점이에요. 그래서
1과 3의 교점이이 문제에서 물어보는
것이에요. 근데 1과 3의 교점을
바로 구하는 건 어렵기 때문에 우리는
어떤 걸로 돌려서 구하냐? 우리 1과
2의 교점으로 구해 볼 거예요.
어차피 같은 점이거든. 자, 1과
2의 교점은 누구냐? 그러면
결과적으로 y는 자이 1번 그래프는
원래 있던 그래프죠. 루트 x + 3
+ k
얘와 자 검정색 2번은 y는 x의
교점하고 똑같아요. 이제 그게 몇
개냐? 두 개가 된다 얘기할 수 있습니다.
자 됐나요?
자, 그럼 이제 교점이 두 개인
경우가 어떤 경우인지 한번 그래프로
한번 볼게요. 자, 여기 왼쪽에서
자,이 왼쪽 아래에 좀 더 그려
자, 1번하고 2번 교점인데 1번을
다시 그리고
여기가 마이너스 3, k가 되고
그다음에 2번을 다시 그려 보면
2번을 다시 그려보면 교점이 두 개죠.
개죠.
어 그러면이 그림 같은 경우에는
파란과 검정이 교점이 두 개기 때문에
파란과 빨강 물어보는 거의 교점도 두
개가 될 거예요. 자 그러면이
검정색이 또 언제 가능하냐? 자
검정색이 이렇게 위로 올라오면 안 되죠.
되죠.
자 그리고 여기 접해도 안 돼요.
접해도 파랑하고는 하나밖에 안
만나죠. 자, 그러면 쭉 내려오다가요
끝에 출발점 지나는 것도 되죠.이
파랑은 더 오른쪽으로 쭉 뻗어 나가니까.
나가니까.
자, 그런데 그 밑으로 내려가는 것도
안 되죠.
자, 그럼 위에서 1번, 2번,
3번, 4번, 5번 중에서
검정색과 파란색이 서로 다른 두
점에서 만나는 경우는 언제냐면
여기서 3번, 4번이 되겠네요.
3번, 4번 경우
가이 됩니다. 그 3번은 언제냐면 3번은
3번은
우리 루트
두식이 있지. 두 식을 같다라 그랬을
때 만족하는 x가 두 개 있는
경우예요. 두 개 있는 경우.
그럼 실제로 두 개 있는 경우를
얘기를 해 볼게요. 3의 경우
우리 교점의 개수에 대한 얘기를
하니까 루트 x + 3 + k랑 y는
x인 x랑 같다라고 두었을 때
그때 우리이 식을 좀 계산해 보면 k
오른쪽 넘기면
루트 x + 3은 x - k고 양변을 제곱하면
제곱하면
x + 3은 자 완전식이 바로
할게요. x제 - 2kx + k² 다
오른쪽으로 넘겨서 먼저 쓰면 x제곱
- 2kx인데 x 넘기면 -1이라서
마이너스 묶으면 2k + 1x
k 있고 -3은 0이 됩니다. 3이 넘었으니까.
넘었으니까.
자, 이때이 교점의 x라는 얘기는이
2차 방정식의 x랑 똑같아서 2차
방정식의 근이랑 똑같아요.
자, 그만은 뭐냐? 자, 2차 방정식
근이 두 개가 돼야 돼. 판별식 d가
0보다 커야 돼라는 얘기입니다.
2차 방정식의 근이 두 개 해야지.
두 점에서 만나니까. 그러면
그게 0보다 커야 돼요. 정리 좀
할까요? 그러면 4k² + 4k +
1 - 4k² + 13이
아 12가
0보다 크고 사라져서
자 숫자끼리 더하면 13 넘기면
-13보다 크다. k 앞에 4 나누면 k는
k는 -4분의
-4분의
자, 그러면 이게 어느 경우냐면 3의
경우예요. 3의 경우. 자, 3의
경우는 이렇게 관통해서 만나는
경우인데 실제로이 3의 경우는 k가
-43보다 크면은 어느 경우도 되냐면
만약에이 무리 함수가 밑에도 이렇게
이어져 있다면 그러면 이런 경우도 다
3번이 될 거예요. 3번 경우, 3번
경우 다 가능합니다. 실제로.
그러면 이제 원래이 2차 함수 옆으로
눕힌 모양에서 두 점에서 만나기
때문에 그런데 우리는 파란색에서만
얘기하고 싶죠. 파랑만 얘기하기 싶기
때문에 자이 3번을 만족하면서 동시에
4번도 만족해야 돼요. 자 4 경우는 뭐냐?
뭐냐?
왼쪽에서 보면은이 그래프의 출발점을
지나는 경우예요. 그래서 -3 k를
k를
누가 검정색이 자 검정색이 y는
x죠? 대입해 주면 그러면 y는
- x니까 k는
자, 그러면 어 -3이 의미하는게
뭐예요? 자, k값에 따라서 자,이
초록색을 좀 집중하면 k값에 따라서
얘가 이제 위아래로 왔다 갔다
올라갔다 내려갔다 하겠죠. 그 y은
실제로 가만히 있고. 자, 그러면
실제로 우리가 k값이 여기서 더이
끝에 있을 때
우리 4번 직선과
4번 직선일 때 볼게요. k값이
지금은 여기일 땐데 올라가게 된다면
4번하고는 한 군데서밖에 안 만나죠.
그죠? 그래서 k는 -3보다 작아야
돼. 근데 너무 내려가다가이 2번처럼
파란색이 너무 내려와 버리면은 안
되죠. 2번 전에 멈춰야 돼요.
그래서 4의 경우는 언제냐?
우리 실제로는 k가 -3보다 작을
때예요. 그러면 3번, 4번을 동시에
만 -3보다 작거나 같을 때예요.
만나는 것도 되니까.
그래서 k값은 마스
4의 13보다 크고
-3보다 작거나 같다라고 얘기할 수
있습니다. 이제이 문제의 핵심은 두
가지를 고려하세요가 됩니다. 3의
경우 이때는 판별식을 갖다 쓴다.
자, 4의 경우 4의 경우는 끝점을
지나기 때문에 대입이에요. 대입한다.이
대입한다.이
이 두 가지를 기억해서 여러분들이
서로는 두 점에서 만나는 경우를
생각을 해야 됩니다.
물론 이제이 그림에서 만나지 않는
경우는 1번이죠.
음. 그리고 한 점에서 만나는 경우는
2번, 5번이죠. 이런 경우도 한번
생각을 해 보셔야 돼요.
자, 뒤에 이제 대단원 마무리로 넘어가겠습니다.
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