This lesson focuses on understanding and graphing radical (무리 함수) and rational (유리 함수) functions, emphasizing the ability to sketch these graphs accurately for problem-solving in exams.
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자, 수업 시작합니다. 우리 이제
오늘 무리 함수 마지막 그래프 그리는
거 얘기를 할게요. 너희들 그래프 다
그릴 줄 알아야 돼. 유리 함수도
그렇고 무리 함수도 그렇고. 어,
그래야 어, 시험 문제에 대해서
문제를 좀 해결할 수 있겠지. 시험
문제가 거의 다 나왔습니다. 사실 다 나왔어.
나왔어.
난이도는 중간 비슷할 거 같아. 쉬운
건 쉽고 조금 어려운 거는 계산 좀
열심히 해야 되고.
자, 근데 이제 무리 함수는
기본적으로 그래프를 그릴 수
있어야겠지. 유리 함수도 똑같고.
그래프 그리는 거 저번 시간에네 개
했는데 기억나니? 세상의 모든 무리
함수는 넷 중 하나라 그랬어요. 넷
중 하나. 그래서 여기 출발점
기준으로 오른쪽 위로 가냐, 왼쪽
위로 가냐, 오른쪽 아래로 가냐,
왼쪽 아래로 가냐. 눈뜨자.
자, 여기서 x 앞에 부호가
플러스면은 오른쪽으로 가고 루트 앞에
부호가 플러스면 위로 간다 그랬어요.
마이너스면 다 반대로 가고 그래서
그거를 기억하라 그랬습니다. 오늘
이거 이용해서 그래프를 그릴 거야.
무리 함수 그래프는 유리 함수보다
훨씬 간단하게 얘기할 수 있습니다.
그 실제로 우리 무리 함수
그래프를이네 개를 문제 5번에 1번
2번 3번 4번 한번 그려 봅시다.
여선님 시간 한 1분 2분 정도
드릴테니까 방금 했던 걸 토대로 문제
5번 한번 그려 볼게요. 부호만
따져서 x 앞에 부호 루트 앞에
부호만 따져서이 넷 중 하나야 무조건
그래프를 그려 봅시다.
그냥
어디로 가는지만 결합에
있는 숫자의 구에 있는 숫자의 도로네
자, 한번 같이 볼까요? 얼추 잘
그리네. 우리 1번, 2번, 3번,
4번 보면은 저게네 개 중에
하나예요. x 앞에 95 그리고 루트
앞에 95만 따지면 됩니다. 1번만
조금 자세하게 하고 나머지 그대로
갈게요. 자, x의 부호가 있어요.
x 부호는 플러스니 마이너스니
1번에서 플러스지. 자, 플러스면
오른쪽이라 그랬어. 오른쪽.
자, 루트 앞에 부호는 플러스야, 마이너스야?이
마이너스야?이
1번에서 플러스죠. 아무것도 없으면
1이 숨어져 있는 거지. 얘는 위로
가요. 그러면 오른쪽 위로 가는
그래프를 그리면 됩니다. 원점에서 출발해서
출발해서
오른쪽 위로 가는 애를 그려 주면
돼요. 이게 끝이야. 근데 너무 뭐가
횡하잖아. 그래서 원점 x축 y축
하고 이렇게 아무것도 없으면 한 점
정도 찍어 줘요. 1 넣으면 1 루트
5요 정도 찍어 줍니다. 이제 좀 덜
허전하지. 자, 정의역과 치역을
얘기해 볼까요? 경역은 넣을 수 있는
x값 같은데 그래프를 그렸으면 이제
우리 대응되는 x가 다 존재하면 되고
오른쪽에 대해서 다 존재하지. 그럼
0보다 크거나 같은게 정의역이
됩니다. 취역은요. 나올 수 있는
y값들이야. 우리 0보다 위쪽에
높이가 더 존재하지. 함수값이.
그래서 우리는 치역은 0보다 크거나
같다가 돼요. 그래서 정의역은 x바
x는 0보다 크거나 같고
치역은 y바 y도 0보다 크거나
같고가 됩니다.
같은 방식으로 나머지 그려 볼게요.
자 2번 보면은 자 2번은 x의
부호어가 x 앞의 부호가 지금
마이너스지. 마이너스면 왼쪽으로 가고
루트 앞이 플러스지. 플러스면 위로
간다 그랬어. 그래서 왼쪽 위로 가는
모양이에요. 그러면 그래프를 그리면
얘는 왼쪽 위로 간다. 그리고 여기
한 점 정도만 찍어 줄까? 자, -1 넣으면
넣으면
여기 루트 3이 돼요. 한 점 정도
찍어 주는 거. 1은 못 넣어. 어,
우린 정의역이 왼쪽이요. 정의역은
0보다 작거나 같죠.
그래서 x바 x는 0보다 작거나
같다. 그다음에 y바 치역은 위쪽에
자, 원래는 이제 경의역 치역을
공격을 먼저 생각하고 그린 다음에
비교하는 건데 이제 우리는 그래프
그리는 걸 알기 때문에 그리고 나서
정의역 채형 내기를 해도 됩니다.
다음 3번. 3번 보면은 x 앞에는
플러스기 때문에 오른쪽으로 갈 거야.
루트 앞에 마이너스기 때문에 아래로
갈 거예요. 오른쪽 아래로 가는
모양이다라고 생각하면 되겠죠? 그러면 3번은
3번은
오른쪽 아래로 요렇게 가는 모양일
거예요. 그리고 정의역은 x바 x는
0보다 크거나 같고
치역은 y는 0보다 작거나 같고이
밑에죠. 0이니까
이게 치역이에요.
자, 그리고 여기 1 넣으면
- 루트 5가 되겠지?
자 그런데 우리 1번하고 3번 좀
비교해 보면 사실 얘네 둘은
대칭이 왜 여기랑 풀리 붙이면
y 대신 - y가 들어간 거기 때문에
사실 x축에 대해서 대칭이에요. 그
말은이 오른쪽도 똑같이 생겼을 거야.
루트 앞에가 플러스 마이너스지. 얘도
똑같이 대칭 모양이 됩니다. x축에 대해서.
대해서.
똑같이 그려 주면은이
아래로 이렇게 내려가고 자 여기가 -1
-1
넣으면 - 루트 3이 되고
자 정의역은 우리 어 f 앞에
마이너스니까 왼쪽이고 루트 앞에
마이너스는 아래 왼쪽 아래예요. 그
정의역은 x바 x는 0보다 작거나 같다.
같다.
왼쪽이니까 그다음에 치역은 아래니까
우리 y바
y는 0보다 작거나 같다가 됩니다.
이렇게네 개를 여러분들이 부호만
이용해서 그릴 수 있으면 성공입니다.
어려운 내용이 아니야. 내 하나. 자
그런데 우리 무리의 함수는 이렇게
가장 기본적인 꼴만 있는 건 아니지
실제로 이제 뭐 할 거냐면 오늘은
얘네들을 평행 이동할 거야. 근데
그것도 어렵지 않아. 훨씬 쉬워요.
그래서 평행이 통해서 아 오른쪽으로
p x축 방향으로 p만큼 y축 방향
q만큼 옮기고 나도 그래서 모양
바뀌지 않지. 그럼 무리 함수를
결정하는 건 딱 두 개만 알면 돼.
첫 번째 얘네가 지금 얘네네 개는 다
원점에서 출발하죠. 어 근데 평행
이동하면 출발 지점이 바뀔 거
아니야. 첫 번째 출발 지점. 두
번째 방향만 찾으면 돼요. 방향은 넷
중 하나죠. 어디서 출발할지 정하고
그다음에 방향 타자가 됩니다. 자,
밑에 보면은 자, 실제로 y는 자, 루트
루트
ax - b + q는 y는 루트
ax의 그래프를 얘네 보면 x 대신
x - p 넘기면 y 대신 y -
q죠. 그래서 x축 방향으로
p만큼 그리고 y축 방향으로
크만큼 평행 이동한 그래프가 됩니다.
그말은 그 무리 함수 y는 루트 a
x - 1 + 2가 누구라 부를 수
있냐면 표준형이라고 부를 수 있어요.
어 평행이동꼴로 나오면 그리고 그
위에 있는 y는 루트 ax + b +
c는 우리는 일반형이라고 얘기를
하는데 이제 무리 함수는 요것까진 써
줘야 돼. 선생님은 여기서 앞에 꼭
하나 더 추가해 줍니다. 루트 앞에
K를 하나씩 추가해 줄게요. 어,
이게 2가 붙을 수도 있고 3이 붙을
수 있고 마이너스가 붙을 수도 있죠.
여러 가지가 붙을 수 있기 때문에
k가 있을 수 있다라는 걸 생각을 해
줘야 돼요. 우리가 좀 전에 루트
앞에서 플러스니 마이너스니 얘기를
했잖아. 여러분들도 항상 의식은 하고
있어야 돼. 그래서 뭐가 있을 때 아
뒤집힌다 집이다 얘기를 해야 됩니다.
자 일단 기본적으로 우리 y는 루트
ax - b + q의 그래프를 한번
그려 보자라는 겁니다.
려고. 어 자 그래서 a가 0보다
크면은 자 a가 0보다 클 때는 원래
y는 루트 ax는 오른쪽 위로 가는
오른쪽 위로 가는이 그래프를 그리고
얘가 누구냐면 y는 루트 ax의
그래프가 돼요.
근데 이거를 x축 방향으로 p만큼 y
방향으로 q만큼 평행 이동하면은
여기에서 출발한다라고 생각하면
됩니다. 그냥이 빨간색이 되겠지. 그
얘는 y는 루트 ax - p +
q꼴이 될 거예요. 어려운 내용
아니야? 자, 오른쪽도 똑같아요.
a가 0보다 작을 때도 자, 똑같은
방법으로 원래 y는 루트 ax를 그린다면
그린다면
여기서 왼쪽으로 가겠지. 이게 y는
루트 ax인데
자, 이것도 똑같이 x축 방향
p만큼, y축 방향 q만큼 평행
이동을 하면은이 어떻게 생기냐?
오른쪽으로 P, 위로 Q. 물론 이제
왼쪽 오른쪽 갈 수 있지. PQ가 음수면
음수면
자, 여기서 이제 왼쪽으로 이렇게
뻗어 나가면 됩니다. 똑같이. y는
루트 ax - p + q가 돼요.
우린식이 주어졌을 때이 빨간색을 바로
구할 수 있어야 돼.이 파랑 그린다면
언제 옮길 거야? 힘들잖아. 그래서
우리는이 그래프 그리는 방법을 이제
익힐 거예요. 근데 어렵지 않아.
쉬워. 이거 하나 익히면 밑에 다 할
수 있습니다.
자, 보면은 결국에 아, 얘가
어디선가 출발하지? 그 출발 지점
찾는게 첫 번째예요. 그래서 P,
Q를 찾아야 돼.이 출발 지점. 그이
지점이 어디냐? P Q예요.
여기도 P Q예요.
그러면 P, Q를 어떻게 찾냐? 자,
이런 그래프식이 나왔을 때 자, q는
바로 나오지. 오른쪽에 있는게 q야.
오른쪽에 있는게 q야. 자, p는
p는이 안에 a 묶었을 때 x -
p거든요. 그럼 너무 어렵잖아. p는
실제로 누구냐면 여기 x에다가 p
넣으면 0이 되죠. 루트가 0이 되게
하는 값이 p예요. 루트 안에가 다시
루트 안에가 0이 되게 하는 값이
p고 튀어 나온게 q예요. 한번
밑에서 그냥 눈으로 다 찾아볼게요. 자,
자,
q는 바로 나온다 그랬지? q가
몇이야? 여기선
>> 2. 오른쪽에 있는게 q야. 여긴 몇이야?
몇이야?
>> 4. 여기는
>> -2. 여기는 -1. Q 바로
나왔네. P 찾자. P는 루트 안에
0이 되게 하는 x값이야. 몇이야?
>> -1. 여기선
>> 2, 여기선 >> 0선
>> 0선
>> -3이 밑에서 똑같아. 자, 여기서
p는 몇?
>> 3. 맞지? Q는
>> -3. 여기서 p는 몇?
>> 54 5. T는 2. 걔네가 다 출발
지점이야. 어, 끝났네. 출발 지점
찾는 건 어렵지 않아요? 자,
그다음에 이제 방향만 찾으면 돼.
방향 아까 했던 거랑 똑같아. x
앞에 부호, 루트 앞에 부호만 따지면
돼요. 여기 x 앞에 부호. 여기
1번 보면은 양수지. 루트 앞에
양수지. 그러면 아까 P Q에서
오른쪽 위로 가는 거야. 그래서 이걸
따 주자. 그래서 왼쪽에 이거 하나만
접을게요. 자, 무리 함수 그래프
그리면 우리 첫 번째 우리 P Q 찾게요.
p Q를 찾는게 제일 중요합니다. 첫
그 얘는 누구냐면 출발 지점이야.
출발 지점.
자, 찾았으면 두 번째 우리 x의 부호
부호
인데. 자, 플러스면 오른쪽,
마이너스면 왼쪽이에요.
x 앞에 있는 부호가.
자, 마지막 세 번째 우리 루트의
방금 했던 거 최종 정리하는 거야.
자, 플러스면 위, 마이너스면 아래예요.
아래예요.
그러면 여러분들은 어떤 무리 함수를
갖고 와도 다 그릴 수 있어. 물론
이제 그리는 과정에서 y 절편을 신경
써야 되면 y 절편 정도는 신경 써
주면 돼요. 그 실제로 이거 이용해서
우리 1번 한번 그려 볼게요. 1번
그려 보면은 자 1번은 우리 p q p자.
p자.
자 x축 y축 있고 자 p는 우리
여기서 -1이 그랬지? -1, q는
2네요. 그다, q는 -1, 2입니다.
2입니다.
-1, 2 여기네요.
그래서 -1 2라고 찍고 자, x
앞에 양수, 루트 앞에 양수죠.
그래서 x 앞에 양수기 때문에 오른쪽
루트 앞에 양수 가서 위서부터 오른쪽
위로 그냥 뻗어 나가면 돼. 뻗어
나가는데 y 절편 정도 x가 0일 때
루트 1 + 2라서 3이죠. 그래서
0, 3은 지나면서 여기가 3이죠.
그래서 오른쪽 위로 뻗어나가는 요런
곡선이 되겠네. 다이 없어. 끝이네.
y 절편까지 신경 쓰었네. 여기 원점
x축 y축이 됩니다.이 이렇게 흔들리니?
그린 거야. 근데 정의역 치역
얘기하죠. 자, 정의역 치역은 여기서
바로 보면 돼. 자, 정의역은 넣을
수 있는 x값이거든요. 넣을 수 있는
x값은 여기 1부터 오른쪽에 쫙
함숫값들이 존재하지. 그래서 1보다
아, 이게 -1부터 오른쪽 존재하죠.
그 정의역은
x바 x는 -1보다 크거나 같아요.
정의역은 좌우 중에 이제 여기
마이너스 기준 오른쪽이니까. 자,
치역은요. 나올 수 있는 y값이야.이
기준으로 위에를 의미해요.이 기준으로
위로 쭉. 그러면 y바 y는 2보다
크거나 같아요. 이게 정의역과 치역이 됩니다.
자, 했으면 밑에 2번, 3번, 4번
문제 7번에 1번, 2번 한번 다
그려 봅시다. 선생님이
한 5분 정도 드리고 같이 풀어 보고
그리고 마무리할게요.
한번 쭉쭉 그려보다. 똑같은 방식으로.
출발 지정 찍고 x의 부호 루스트의
부호 이용해서 그려 봅시다. 방향만
잡으면 돼.
출발 지점을 먼저 제일
y 절편이 있으면 y 절편을 꼭
체크해 주세요. 별편은 어려운 경우가 있는데
있는데
너무 여기다
항상 출발 출발할 때는
그래서 이제 위로 가려면 위로 아래로
아래로 나가
오른쪽으로 나가면 안 돼.
하는 어
아래로 출발하로
너 잘 그렇네. >> 근데
>> 근데
일단 저 마이너스. >> 네.
>> 네.
>> 그럼 어떻게 이로 가야 돼? 아래로 가야
가야
>> 다 그린 사람 옆 사람하고도 비교해
봐. 잘 그리고 있나?
몇 사람마다 틀리면 좀 그렇지 않겠습니다.
자, 2분 더 드릴게요. 다
>> 자 볼까요? 자, 하나씩 볼게요.
한번 다 맞춰 봅시다. 자, 먼저 p
q부터 찾을게요. 자, 첫 번째 p
q가 몇 콤마 몇이니? 여기서는 0마 음,
음,
0 -2죠. 그리고 두 번째 x 부호는
부호는 마이너스고
마이너스고
그리고 루트 부호는
플러스죠. 그러면 왼쪽 아래로
가세요라는 얘기야. 순서를 왼쪽
아래라 그래서 왼쪽부터 출발하는 사람
있는데 항상 위나 아래로 먼저 출발을
해야 돼요. 자, 그래서 0 -1을 찍고
찍고
0 - 여기죠. -2 찍고 여기서
자, x기 때문에 왼쪽 음수라서 그냥
위로 가야겠지. 그래서 이쪽으로 쭉
뻗어나가면 되지. 여기서 출발해서
위쪽으로 뻗어나가면 됩니다.
원점 x축 y축. 자, 정의역 얘기를
할까요? 자, 그래프 그리고 나면
정의역은 자, x가 몇 들일 때
함숫값들이 존재하니 0보다 작거나
같을 때죠. 그래서 x바 x는 0보다
작거나 같을 때고 치역은 나오는
함숫값들 높이예요. 높이 -2이
기준으로 위쪽에 함숫값들이 존재하죠.
그래서 -2보다 크거나 같다가
됩니다. y바 y는 -2보다 크거나
같다. 자, 다음 3번
그 넘어갈게요. 3번 보면은 얘도
똑같아. p q를 찾자. p q는 몇
콤마 몇이니?
2 4가 되겠지. 그렇지? 그리고 두
번째 x 부호는 플러스고
루트의 부호는
마이너스죠. x부호 플러스면 오른쪽
루트 부호가 마이너스면 아래로 가면
되겠지? 아래로 출발해서 오른쪽으로
뻗어나가면 돼요. 그래서 2 4를 찍고
찍고
2 4를 찍고
여기가 2 4겠죠? 그리고 오른쪽
아래를 쭉 뻗어나가면 됩니다. 쭉
뻗어나갈 때 요렇게 뻗어나면 되지.
조심해야 되는게 오른쪽으로 나가면 안
돼. 항상 우리 무리 함수 그래프는
x축과 수직하게 출발해야 돼. 위로
가든 아래로 가든 옆으로 출발하는게
아니야. 처음에 아래로 갔다가 오른쪽
왼쪽을 결정하면 됩니다.
다음 오른쪽. 자, 똑같이 4번
보면은 여기 p q는 몇 콤마
몇이니? p q는 -3 -1이고 두
번째 x 부호는
마이너스. 세 번째 루트 앞에 부호는
마이너스기 때문에 왼쪽 아래로 갈
거예요. 자, 그러면 얘를 그려보면은 -3
-3
-1이쯤 있겠지.
여기서 왼쪽 아래로 가는 그래프겠네.
다 그렸네. 자, 그러면 정의역은
x봐. x는 자, 넣을 수 있는
x값은 -3부터 왼쪽에 그리지.
그래서 -3보다 작거나 같다.
자, 그다음에 치역은 y바 y는
-1보다 작거나 같다. -1보다 아래쪽에서
아래쪽에서
왼쪽 아래쪽 얘기하면 됩니다. 자,
다음 마지막 문제 7번 볼게요. 문제
7번에서도 똑같이 하면 돼요. 다른게
하나도 없어. 자, PQ를 찾자. P
Q는 몇 콤마 몇이니? 3마 -3이
되죠. 두 번째 x의 부호는
마이너스죠. 앞에 -2 달려 있으니까
세 번째 루트 부호는
플러스죠. 자, x 부호가
마이너스라서 왼쪽 루트는 플러스 위
그 위쪽으로 가면 돼요. 자, 그래서
얘는 우리가 그려 줄 건데. 자, 3
-3을 여기 찍고 얘를 그리는데
이거는 약간 조심해야 돼. 여기
-3이고 3이 있을 때. 자, 왼쪽
위로 갈 건데 뭐 조심해야 될까?
갈 때 하나 신경 써져야 되는 거.
y 절편. 왜? 지금 여기서 -3
-3에서 뻗을 때 여기 원점 기준
위로 지나가냐, 원점으로 지나가냐,
원점 아래로 지나가냐가 완전 다른
그래프예요. 그래서 0을 한번
집어넣어 보면은 y 절편이는 루트 6
- 3이거든요. 루트 6은 2보다는
살짝 큰데 3보다 작지. 3 빼면
음수예요. 그래서 실제로 여기가
이쯤이 여기가 루트 6 -3이 될
거예요. 원점보다 아래로. 그래서
그래프가 여기서 왼쪽 위로 각인가일
건데 여기 원점보다 아래로 지나가야
돼요. 그래서 얘는 요렇게
자, 똑같이 정의역 치험 얘기하면
돼요. 정의역은 3보다 왼쪽에
그리죠. x바 x는 3보다 작거나
같다. 자, 치역은 -3보다 위로
가죠. 그래서 y바 y는 -3보다
크거나 같다가 됩니다.
자, 오른쪽 마지막.
자, 여기 p q를 찾자. 똑같아요.
p q는 몇 콤마 몇이니?
4분의 5 2가 되죠. 그리고 두
번째 우리 x의 부호.
세 번째 루트의 부호를 볼 건데 x의
부호는 마이너스 루트의 부호도
마이너스죠. 그러면 왼쪽 이거 루트
보니까 아래로 가겠네요. 그러면
똑같이 시작을 할게요. 그러면 5
1을 찍고
그러면 1/4는 1보다 살짝 크죠.
2면은 1보다 살짝 크니까 요쯤
있겠네. 5 5 2
그러면 여기서 출발해서 왼쪽 아래로
가는데 똑같아요. 갈 때 원점보다
위로 가니 원점으로 가니 원점보다
아래로 지나가니를 설정하게 봐야 되기
때문에 0 집어넣으면 - 루트 5 +
2지 양수야 음수야?
>> 음수지. 왜? 루트 5는 2보다 살짝
크잖아. 그래서 그걸 2에서 뗐기
때문에 음수의 밑으로 지나가야 돼요.
그럼 얘는이 아래쪽으로 지나가도록
그려 주면 됩니다. 얘는 루트 5 -
루트 5 + 2죠.
자, 정의역과 취역을 써 볼까?
정의역은 x 봐. 자, x는 자, 5
기준으로 왼쪽을 그리고 있지. 작은
자, 치역은요. 치역은 2 기준으로
아래지. 그래서 y바
y는 2보다 작거나 같다가 됩니다.
지금 이것들을 계속 반복했어. 일부러
여러분들이 그려 보라고. 그릴 수
있어야 돼. 얘들아. 이거 못 그리면
무리 함수 안 됩니다. 어, 할 수
있어야 돼요. 그래서 하나하나 다
그려보고 어려운 그림 아니야. 어,
몇 번만 성공하면 뒤에 다 할 수
있습니다. 나머지는 음, 이제 교과서
연습 문제만 좀 남았고. 어, 현대.
자, 다음 시간에는 이제 문제 풀이를
들어가야 되는데 우리 다 시간부터
수행 평가죠. 그래서 평가 때문에
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