This content explains the concept of composite functions, which involves combining two or more functions through sequential application, analogous to arithmetic operations on numbers. It details how to denote, calculate, and understand the properties of composite functions, including the crucial distinction between the order of composition.
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음 녹화된다 소리야. 자, 수업
시작할게요. 오늘은 이제 합성 함수에
대해서 얘기를 할게요. 저번 시간에
우리가 1대 1대 대응 1대 1 함수
항등 함수 상 함수 얘기를 했지.
그래서 하나의 단일적인 함수가 어떤
특징을 만족하는지에 대해서 얘기를
했습니다. 이제 오늘은 함수가 여러
개가 나올 때 그거를 연산에 대해서
얘기를 해 볼게요. 두 개 이상의
함수를 합쳐 봅니다. 그래서 우리가
숫자에서 더하기 빼기 하듯이
함수에서는 합성이 있습니다. 뒤에
장난치지 마세요.
다 보여.
오늘 급하다 그랬지. 할 거 많다
그랬지. 집중해서 듣자.
합성 함수에 대해서 이제 얘기를
합니다. 여러 가지 함수를 연산을 할
거예요. 연산에 대해서 한번 얘기를
해 볼게요. 여기서 이제 5타지 합성
함수예요. 생관용기 볼게요. 다음
그림은 지수 흐리니까 문화 열려는
어떤 고점 이루어지는지를 대기를
했고요. 자 우리 x하고 y한 함수
f가 존재하죠. 모두 출발해도 관련지
않았기 때문에 이거는 영의 사람이고
그리고 공연기 공연기 지역이 공연의
동명계 자 그리고이 공연들이 어디서
이루어지는도 새로운 함수 정의 y고로
공기 z인 함수 g가 됩니다. 그럼
이렇게 생각을 할 수 있어요. 아
x에서 바로 z로는다고 치면은 우리
지수는 독창을 갖다가 소극장으로 간다
그랬지. 그러면 화살표 끝이
소급장으로 생각하고 윤재도 끝이
대급장도 끝이 노천국장 생각하면은
모두 출발하고 갈라지지 않았죠. 그
이것도 새로운 함수로 생각할 수
있습니다. 그래서이 학생들이 어디서
관람하는지 자 지수는
독창애를 갔다가 소극장 가죠. 소극장이고.
소극장이고. 소극장.
소극장. 음.
음.
대극장.
그리고 효진이는
이렇게 한꺼번에 중간을 스킵하고 바로
넘어갈 수 있고요. 이렇게도 새로운
함수를 만들 수 있겠죠. 처음에 여기
왼쪽을 x라 두고 오른쪽을
우리는 z라고 두면 대문장이
되게 많고요. 자, 이렇게 쓰면은
아, 얘도 똑같은 대응이네. 다른
대응이고 갈라지지 않고 출발했기
때문에 함수다라고 얘기할 수
있습니다. 근데이 함수는 원래 f랑
g가 있을 때 두 개를 연달아 보는
함수지. 해서 f랑 g 합성 함수라고
얘기를 합니다. 그래서 이제
기호적으로 좀 더 얘기를 할게요. 그
밑에 내려가서 볼게요.
자, 여기는 오늘 조금 쓸 것도 많고
정의적으로 들어가야 되는 것들도 많기
때문에 좀 집중해서 볼게요. 자,
근데 기호로 보면은 우리 x에서 y로
가는 함수 알 수가 있고 y에서 가는
함수 2가 있다고 하자. 그러면
하나의 원수 보면 x는 여기서 f라는
함수를 채우면 fx가 되죠. 그
fx라는 어떤 숫자 숫자이 숫자를 또
g으면 g에다가 fx 집어넣으면
되겠죠. gfx라는 값이 나옵니다.
그래서 g 괄호 열고 fx 있으면
얘는 때부터 괄호 안쪽부터 얘기를
했지. 그래서이 괄호 안쪽에 있는
fx를 먼저 생각한다라고 생각하면
됩니다. 이거를 계속 할 거야.
익스테이야 되는 기호예요. 계속
나옵니다. 끝날 때까지. 자, 이때
우리 이렇게 보면은 x의 각수 x에
대해서 얘를 y로 보내고 그걸 다시로
보내면은 x가 된다. 그럼 이거를
한꺼번에 보내면은 정의역이 x가 되고
그래서 한꺼번에 대응시키면 x를 정의역
z를 공역으로 하는
이때이 함수를 f와 g의 합성 함수라
그리고 기호로 중간에 우리 더하기는
이게 플러스 기호 쓰고 곱하기는 x자
쓰지. 합성의 기호는 동그라미에요.
동그라미. 그런데 지금 보면은 f를
먼저 적용했어. g를 먼저
적용했어.이 그림에서 f를 먼저
적용했지. 어. 그러면 f가 먼저
나와야 될 거 같지? 근데 합성
기호는 특이하게 반대로 써 줍니다.
g를 먼저 써 줘요. 그래서 얘는
기호를 어떻게 쓰냐? G 동그라미 F
이제 컴포지션 이렇게 얘기하는데
선생님 합성 이런 식으로 얘기할게요.
어떤을 때 이러면은 아 오른쪽 걸
먼저 적용했구나라고 생각을 해야 돼.
합성 기호는 오른쪽 먼저 적용한
거예요. 자 그래서 지약성 x나
오른쪽에 x에서 z로 바로 가네.
중간에 y를 건너 띄고 z로 바로
가는 거야. 그럼 그 함수값을 기호를
어떻게 쓰냐? 우리 g합성 f도
새로운 함수예요. 그래서 g
합성 f 괄로하고 x로 씁니다.
우리 더하거나 곱해도 새로운 숫자가
나오죠. 이렇게 합성하면 얘 자체가
새로운 함수예요.이 자체가 f g처럼
그냥 새로운 함수라고 생각하고
자 오른쪽에서 봤지만 x가 fx로
갔다가 그 fx가 최종적으로 g
가로고 fx로 들어갔죠. 그러면은 아
한꺼번에 한꺼번에 가는 함수에서 x번
나온다.이 최정값이 같을까?
그래서 무슨 말이냐? 그러면 자 x의
z의 원소 g 괄로 열고 fx가 대응함으로
대응함으로
결과적으로 두 값이 같아요. g 합성
f x랑
g 괄로 열고 fx가
완전히 같은 기호예요. 오늘 하루
종일 나오거든.이 기호의
G 합성가 있으면이 합성 기호가
있으면 얘가 사라지면서 괄호로 바뀔
수 있어요. 다시 합성기어 나오면
사라지면서 괄호로 바뀝니다. 얘는
정의적인 표현이고 오른쪽이 계산할 때
각각 쓰입니다. 두 개를 계속 왔다
갔다 잘할 수 있어야 돼. 이거
기호가 오늘 계속 서로 꼬이면서 왔다
갔다 할 거거든. 어려워. 어려운게
맞아. 헷갈려. 지금 2학년,
3학년들 공부 잘하는 놈들 갖다 놓고
너희들 뭐 교환 결합 할 건데 이거
제대로 한번 해 봐. 표기해 봐.
그러면은 아 무슨 말인지 알아요? 할
수 있어요. 근데 제대로 쓰는 사람
하나도 없을 거야. 그만큼 표기를
정확하게 쓰는게 좀 어렵습니다.
그니까 여러분들이 이거를 완벽하게
있을 필요까지는 없지만 하는 방법
정도는 알고 있어야 돼요. 그래서
우리가 함수를 구할 수만 있어도
성공입니다. 그래서이 합성 함수를
뭐라 그러냐? 우리는 y는
g 괄호 열고 fx라고 얘기를
할게요. 그러면 아, 어떤 x를 f에
태운 다음에 보낸 다음에 그다음에
g로 한번 넣 보낸 거구나. f랑
g를 순서대로 합성했구나라고 생각하면
됩니다. 그 밑에 빈 공간에는 위에
있던 거 쓰면 돼. g합성 f에 x를
넣은 건 g 괄로 열고 fx랑 똑같다.
똑같다.
얘를 써 주세요 하는 얘기입니다.
완전히 같은 기호야. 그 말은이
왼쪽이 주어지면 그냥 오른쪽 바꾼
다음에 고민하세요. 왼쪽 주어지면
오른쪽으로 바꾸는 거야. 자동적으로
바꾸는 거예요. 그냥 괄호로 바꿔
주면 돼. 합동기 없애면서. 자,
실제로 우리 교과서 있는 예시를 한번
보면은 자,
자, f(x)가 x + 6이고 g(x)가
g(x)가
2x - 1이라고 하자.
함수는 여러 가지 종류가 주어질 수
있겠지. 근데 물어보는게 만약에
G합성 F
1을 물어봤다라고 얘기를 하면은
고민하지 말고이 합성 기호를 없애고
괄호로 바꿔 주세요라고 했습니다.
일단 괄호로 바꿔 줘.이 절대 바뀌지
않습니다. 그건 g 괄호 열고음
g 괄로 열고 f1이 되겠죠.
순서대로 하면 돼. 자, f1은 1을
집어넣으세요. 집중하세요. 1을
집어넣으면 됩니다. 집어넣으면
7이죠. 여기 가운데가 7이 되죠.
그래서 여러분들이 아,이 가운데가
7이 됐구나라는 걸 알면 돼요. 근데
g은 여러분들 구할 수 있지. 7을
이제 집어넣으면 되지. 여기
집어넣으면 14에서 1 빼면 13이
되겠죠? 답은 13이 됩니다.
그래서이 기호가 나오면은 여러분들은
고민하지 말고 바로 써 주세요.
고민하지 말고. 자, 밑에 있는 문제
1번 있죠? 문제 1번은 그러면
하느님이 한 단계씩만 다 해 볼게.
여러분들이 그 뒤에 시간 좀
드릴게요. 자, 여기서 g합성 F지.
합성 기호 나오면 고민하지 말고
괄호로 바꿔 주세요. 그러면 g 괄호
열고 F2랑 똑같아요. 자, 오른쪽도
합성 기호 나오지. 고민하지 말고
괄호로 바꿔 주세요. f 괄호 열고
g -1이에요.
자, 오른쪽 합성교 나오면 고민하지
말고 괄호로 바꿔 주세요. f 괄호
19 f1이에요.
그리고 나서 안에부터 차례대로 구해
주면 됩니다. 안쪽부터. 자, 한
1분 정도 시간 드릴게요. 한번 직접
계산까지 끝내 봅시다.이 안쪽부터
아래쪽부터 차다 보자.
f2 g -1 f1을 찾는다라고
바로 안 하지. 네. 여기서 이야.
3 게
>> 자 볼게요. 자 F2를 볼게요. 이
안에 1번 보면은 f2는 여기 2
집어넣으면 2의 제곱 +가 3이죠.
그러면 g 여기 아래가 3으로
얘네가 정확히 f2가 누가 되는지
3으로 바뀝니다.
>> 자 그리고 나서 g에다가 3을 넣으면
x에 3 넣으면 -6 + 1이죠.
다음 오른쪽. 자, g -1은
g - 1은요 3이죠. 3 집어넣으면
되지. 그럼 f3이랑 똑같죠? 여기 f3이고
f3이고
얘도 똑같이 g - 1이 3이니까이
안에만 먼저 계산입니다. 3
집어넣으면 3 3 9 - 1이죠. 9
자, 오른쪽 자, ff1인데 아까
fx가 x제 - 1이기 때문에 1을
집어넣으면 0이 되죠. 그래서 얘는
f(0)이랑 똑같고 그러면은
그러면은
자 f(0)은 0 집어넣으면 0제곱
- 1이서 0 - 1이라 -1이 됩니다.
됩니다. 됐니?
됐니? >> 네.
>> 네.
>> 여기까지 됐어 얘들아? >> 네.
>> 네.
>> 여기다가 숫자를 집어넣어서 숫자를
그냥 한 번 더 하는 거야. 바로
안에서. 한 단계 더 안 할게요.
자, 근데 우리가 언제까지이 값들을
다 숫자만 집어넣을 수 없잖아.
그래서 식 자를 찾을 거예요. 합성
함수 되면 그 함수식이 존재하겠죠.
그 식을 찾는 연습을 해보자.
방능하고 똑같은 과정인데 숫자 대신
문자가 들어갔을 뿐이에요.
48페이지를 보면은 자 실제로 우리가
합성 함수를 구해 볼게요. 자 여기서
보면은 fx gx가 존재하지. 그리고 g로
g로
탄 보면은 f를 먼저 변경한 거야.
g를 먼저 전용한 거야. F 먼저
전이라 그랬지. 오른쪽부터 읽어야
그랬어. F를 먼저 적용했어. 그래서
이렇게 나오면 고민하지 말고 괄호로
바꿔 주세요. 자, 그 됐지?
>> 바꿔졌네. 자, 그다음에 이제 원래는
이건 숫자 f1 숫자 f다. 그러면
식을 그대로 바꿔 끼면 돼.식이 -x
+ 3이죠. 그럼 fx 대신 -x +
3을 넣고. 자, 그다음이 문제야.
자, 우리 g1이라면 1 넣었지.
g2하면 2 넣었지. 지금 3이라면
3 넣었지. g - 루트 + 3이라면
여기다가 -x + 3을 넣는 거예요.
그냥 x를 떼내고 그 자리에 -x +
3을 그대로 갈아끼울 거야.
교체한다라고 생각하면 됩니다. 자,
그래서 여기서 우리는이
fx 자리에
-x + 3이 있고 그리고 -x +
3을 x 자리에 들어갔으니까 오른쪽의
식에도 집어넣어 주면 끝입니다.
집어넣어서 쓸게요.
자, 그러면 g x에다가 -x + 3
넣었으니까 3 괄로 열고 -x + 3
- 2가 됩니다.
오른쪽에 있는 x 대신에 1을
집어넣는 거예요. 그래 빨간 거.
그다음에 이거 정리만 해 주면 돼요.
3분배 분배 -2 3 분배가면 -3x
+ 9 - 2라서 -3x + 7이
됩니다. 얘는 -3x + 7이 돼요.
그럼 우리는 g합성 fx를 구한 것이
됩니다. 계속 할 거야. 오늘
익숙해져야 돼. 그렇게 어려운 거
아니야. 문자가 있어서 어려운데요.
내용이 어려운게 아니야. 계산이 많을
뿐이지. 자, 오른쪽 넘어갈게요.
자, 이번엔 f 합성 gx를 해
볼게요. 자, 얘는 g를 먼저 한
거지. 좀 f를 먼저 g를 먼저 자,
똑같이 얘는 괄호로 바꾼 다음에 어,
gx는 누구지? 3x - 6네.
그러면 f 괄로 열고 3x - 2가
되고 그 이뜻은 뭐야? fx의 x
대신 x 대신 3x - 2로 바꿔
주세요 하는 얘기입니다. 그럼 얘도 차근차근은
차근차근은
자 오른쪽에 gx 대신 3x - 2가
됐고 그 3x - 2를 x 대신 넣어
주세요 하는 얘기지.
그 자리에 그대로 갈아끼우면 어떻게
되냐? 그대로 갈아 끼우면 마이너스
괄로 열고 3x - 2 + 3이
되지. 원래 3x - 2 자리에 x가
있었잖아. 그대로 바꾼 거야. 그냥
교체. 마이너스를 분배 분배해주면 -3x
-3x
+ 2 + 3이라 -3x + 5가 돼.
그래서 합성 함수를 우리들이 직접
구할 수 있음의 함수식을. 근데
여기서 하고 싶은 얘기가 하나 더
있어. 첫 번째 두 개가 있는데 하고
싶은 얘기가 첫 번째 합성 함수를 할
수 있니? 찾을 수 있니 하는
얘기야. 다음 같은 방법으로 하면은
여러분들의 합성함수를 항상 찾을 수
있죠. 두 번째 자 g합성 fx는
-3x + 1이지. f 합성 gx는
-3x + 5지. 단이 다르니?
>> 다르지. 자, 합성의 순서가
바뀌었더니 다른식이 나왔어. 합성도
연산이라 그랬잖아. 그럼이 연산에
대해서 교환 법칙이 성립한다고 할 수 있니?
있니? 없어요.
없어요.
>> 할 수 없습니다. 하나라도 다르면은
교환 법칙 성립하지 않는 거예요.
그래서 합성 함수에 대해서는 함수의
성립하지 않습니다. 왜? 방금
봤잖아. g합성 f랑
f 합성 g랑 다르기 때문에 하나라도
다르면 교환 법칙이 성립하지 않아요.
함수가 두 개 있을 때 합성을 할
건데 f를 먼저 하는 거랑 g를 먼저
하는 거랑을 다른 함수가 나옵니다.
물론 항상은 아니지 같을 수도 있지.
간혹 근데 아닐 확률이 더 크겠지.
자, 우리 교환 법칙이 성립하지
않는다까지 됐는데 우리 교환법칙
얘기가 나오면 같이 딸려나오는 친구가
하나 있지. 누가 있니? 교환법칙.
항상 배우면 결합법칙이라는 애가
튀어나오지. 결합법칙은 뭐야? 세
개가 있을 때 덧셈에서 세 개 더할
때 앞에 두 개 먼저 더하는 거랑
뒤에 두 개 먼저 더하는 거랑
똑같아요. 결합이잖아. 합성도
똑같아. 합성을 총 한 두 번 해야.
어, 그러니까 총네 개를 합성하는
거야. 정확히 볼게요. 밑에 그림으로
살짝 볼게요. 자, 원래 우리가 x가
있고 여기서 y가 있고
그리고 y에서 오늘 z로 가는 걸 배웠죠.
배웠죠.
근데 z에서 또 가는 함수 있지?
w까지 가는 함수가 있을 수 있습니다.
있습니다.
자, 근데 순서대로 fgh라고 거꾸로
뜰게요. 왼쪽을 h, 중간을 g,
오른쪽을 f라고 할게. 뭐 이름
붙이기 나름이니까 자 이렇게 읽을
때이 x에서 z로 가는 바로 가는
것을 합성 함수라 보 또는 y에서
바로 w라고 가는 합성 함수로 존재할
수도 있겠죠. 합성 함수는 바로 가는
거야. 거치지 않고 그런 새로운
함수를 의미해요. 자, 그러면 여기서
아, x에서 z로 가는 합성 함수를
한 다음에 f를 보내는 거랑 h를
보낸 다음에 합성 함수에 채워 보내는
거랑 결과가 다를까에 대한
얘기입니다. 근데 여기서 그냥 눈으로
들어 보면은 같아 보이지? 네.
실제로 같아요. 그것에 대해서 얘기를
해 볼게요. 자, 표기가 조금
어려워. 그리고 여기서는 자이 세
개를 다 같이 한꺼번에 합성하면 어떤
일이 벌어지냐면 우리 H 아 f 먼저
쓸게요. f 합성 g 합성 h가
최종적으로 가는 합성 함수예요.
처음부터 끝까지 최종적으로 합성함
x를 집어넣었을 때 w까지 가는 왜
h 먼저 태우잖아. 오른쪽 세우면 A
세우고 그다음 채우고 F 세우 얘에
대해서 결합법칙에 대한 얘기를 해
볼게요. 자, 먼저 왼쪽에 쓸게 많아.
많아. f랑
f랑
g를 먼저 합성함수 한 다음에 h를
적용을 해 볼게.
바로 했다는 얘기는 먼저 하겠다는
얘기지. 근데 우리 이대로 두면 하기
힘들기 때문에이 함수의 x를 집어넣어
볼게요. 괄호가 많아. 표기 어려운
거 맞아요. 헷갈릴 거야. 외우라는
것도 아니고 여러분들이 시키지도
않아요. 그냥 한 번쯤은 여러분들이이
증명 과정을 보는게 좋아서 하는
겁니다. 자, 그러면 우리 합성
기호가 있으면 뭐로 바꾸라 그랬어?
고민하지 말고 합성 기호 있으면 괄호
바꾸세요. 합성기 센 다음에 괄호가
바꿀 거야. 바꿔 주면은 얘는 이렇게
바뀝니다. 기호적으로
f 합성 g가 있고 오른쪽은 괄호
바꾸면 hx가 돼요. 저 hx라는
애는 하나의 식이야. 이제 숫자지면
자, 그리고 또 합성기 있지?
고민하지 말고 괄호로 바꿔 주도
돼요라. 여기서 또 괄호로 바꿀게요.
h품고 있으면 돼요. 그럼 얘는 뭐가
되냐면 f 괄로 열고 g 괄로 열고
그래서 아 왼쪽 걸 먼저 합성하면
최종적으로 f gghx가 되는구나.
자 이번에 오른쪽 두 개를 먼저
합성해 볼게요. 똑같은 방식으로.
그러면 f 놔두고 g 합성 h를 할
거야. 근데 여기서 이대로 두면
자, 바로 먼저 풀어줄 수 없던 여기
이제 바꿔 f 합동 어쩌고이 새로운
함수 기분은 이거 합동 기호에다가
괄호로 바꿔 줄게요. 가운데 합성
기호. 그럼 이렇게 바뀝니다. 얘는
우리 G F 괄로 열고
G 합성
H X가 돼요. F 안에 걔네가 다
쏙 들어간 거야. 자, 그리고 나서
여기서이 합성기도 떼고 여기 가로로
바꿔 줄 수 있습니다. 바꿔 주면은
최종적으로 왼쪽하고 똑같은 애가
나와요. 그 얘는 f 가로 열고 g
자, 이렇게 하고 나면은 왼쪽하고
오른쪽이 완전히 같은식이 튀어나옵니다.
튀어나옵니다.
어,게 맞아. 알아. 헷갈리 것도
맞고 들 한 번 해야 돼. 그는 곧
f 합성 g 한 다음에 h를 합성한다
f에다가 g 합 h한 걸 합성하는구나
하요란 얘기입니다. 그래서 그것만 써
줄게. f 합성 g를 먼저 하고 h 합성하나?
합성하나?
F에다가 g 합성 h한 걸 합성하나
같아요. 그 말은 곧 최종적으로 누굴
먼저해도 상관없어. 결합 법칙이
이 성립해요 하는 얘기입니다. 그래서
함수의 합성 연산에 대해서는 교환
법칙은 안 돼요. 근데 결합 법칙은
됩니다. 그걸 정확하게 알고 있어야
돼. 우리가 교환 법칙이 안 되는 거
살면서 몇 개 없었어. 1학기 때
배웠는데 기억나니?
결합은 되는데 교환이 안 되는 거
하나 있었는데. 뭐 할 때 잠깐
배우고 넘어간 거.
잠깐 배우고 넘어간 거 중에 특이한
거. 내가 딱 이때 배우고 더 이상
안 나온다 그랬어. 3년 동안
있잖아. 왜 이제 딱 딱 딱 딱 있는
거. 행렬 행렬의 곱셈에 대해서 교환
법칙이 안 된다 그랬죠.데 결합법칙
된다 그랬지. 똑같아. 함수의 연산도
교환 법칙은 안 되고 결합은 돼요.
자, 그럼 그 밑으로 넘어갈게요.
오케이. 뭐 이건 됐고 우리 교환
법칙 뭐 이런 것도 사실 뭐 되고 안
되고는 나중에 문제 나무 활용하면
되지만 지금은 실제로 합성하는
연습부터 해보자. 이렇게 해 볼게요.
자 밑에 보면은 밑에 문제 2번에
1번 2번 3번 있거든요. 선생님하고
1번 같이 해 보고 시간 잠깐
드릴게요. 2번에서 3번 여러분들이
해 보세요. 자 방법은 똑같아. 자
1번 보면은 지약성 fx 자 합성기로
보면은 뭐 하나?
보네요. 고민하지 말고 하루
바돼요. 바꾸고 나서 고민하는 거야.
이대로 두어서 어떻게 하는지
모르겠어요. 하면 안 돼. 그냥
이거는 자동사야. g 괄로 열고
fx로 바꿔 주세요. 합성기호 나오면
무조건 이렇게 바꿔 주는 거야. 그
오른쪽도 똑같겠지? 오른쪽 두
문제도. 자, 그리고 나서 fx
부분지 주어졌잖아. 그대로 넣을게요.
2x + 5가 위에 주어졌죠. 그래서
g 괄호 안에
2x + 5를 집어넣었습니다.
그러면이 fx 자리에 그대로 2x +
5가 들어갔죠. 자, 아까도
얘기했지만 g 1을 물어봤다면 여기다
1 집어넣으면 2를 물어봤으면 2
집어넣으면 되지.이 이 2x + 5를
집어넣었으니까 여기 2x + 5 넣어 오른쪽
오른쪽
넣을 때 이것도 달려 있으면 바로 쳐
주세요. 그래서 이렇게 쓰면 됩니다.
얘는 곧음 이거를 여기다가 집어넣으면
- 2x + 5의제곱 + 1이
됩니다. x를 떼내고 그 자리에
그대로 2x + 5를 넣은 거야.
자, 이건 정리까지만 해 주면 돼.
이거 완전 제곱식이거든요. 완전
제곱식해서 마이너스 간 다음에 +
1까지 해 주면 됩니다. 자, 2x
+ 5의 제곱은 4x제 + 20x + 25라서
25라서
계산이야. 계산 -4x²
- 20x -25 + 1하면 -24가 됩니다.
됩니다.
이렇게까지 함수가 어떻게 바뀌든
방법은 변하지 않아요. 오른쪽 두
문제 있죠? 똑같은 방식으로 한번 해
봅시다. 오른쪽에 있는 두 문제
2번, 3번
방법 똑같기 때문에 같은 방식으로
먼저 바로로 바꾼 다음에 바라 띄우고
그다음에 또 바아 끼우기
해 봅시다. 본인이 끝까지 잘 못
하겠어도 최대한 할 수 있을만큼 해
기호를 괄호로 바꾸는 건 유치한 생도
할 수 있어. 알려주면
합성 매우 중요합니다. 여러분들 수행 평가게
평가게 있어.
있어.
여기 다음 주에 수행평가 공지 나갈
건데 합성 함수랑 역함수에 대해서
사람은 역사람하고도 비교해 보고 맞춰보고
맞춰보고
그다음서
얘가 더
자, 볼까요? 자, 보면은 고민하지
말고 2번을 3번 둘 다 괄호로 일단
바꿔 주세요.
어, 오른쪽도 괄호로 바꿔 주세요.
그리고이 안쪽에 있는 것도 바꿔 주면
되지. gx가 -x제 + 1이라 f
괄로 열고 -x제 + 1 자,
오른쪽도 2x + 5니까이 안에가
2x + 5 여기까지는 일단 바꾸고
나서 그다음에 어떻게 해야 되지를
고민해야 합니다.음
여기까지는 자동적으로 나다. 빨간
네모가 서로 같단 얘기야. 그렇게
했다는 얘기예요. 자, 이제 2번부터
볼게요. 자, gx가 -x² +
1라서 자, fx 자리에 x 대칭이
빨간 네모가 들어갔죠. 그러면 왼쪽에
주어진 fx에서도 우리는 집어넣어
주면 돼요. 여기 x에 집어넣어 주면 돼.
돼.
그대로 x 대신 들어가기 때문에 그러면
그러면
2 원래는 2가 있는데 괄로 열고
-x제 + 1이 들어갔고 뒤에 더하기
5 놓치면 안 되죠. 올라가
올라가
여기 원래는 여기 x였잖아. 근데 x
+ x로 띄었습니다. 그다음에 정리만
하면 -2x² + 2 + 5라서 2
+ 5= 7이죠. 그러면 - 2x제
+ 7이 됩니다.
자, 오른쪽 볼게요. 자, f(x)가
누구냐면 2x + 5인데 이것도
똑같이 x 자리에 그대로 넣어 주면
되지. 여기 그대로 쭉 번해서 넣어
주면 돼요. 그러면 계산해 주면이
가로 열고
2x + 5 여기 원래 x가 들어
있는데 그거 대신 2x + 5가
됐죠. 자,이 분배 분배하면은
분배 분배하면 여기 4x + 10
하면 4x
10분 남았네. 자, 밑에 볼게요.
자, 밑에 결합법칙인데 성립함을
확인하시오. 그러면 실제 함수를
이렇게 구해 본 다음에 똑같이하고
몰아보는 거야. 여러분들 시키면 완전
기조 바뀌지 증명에 가까운 거야.
면서 선생님이 쭉 쓸게요. 본인이
나중에 이거 할 수 있는지 한번
생각해 보세요. F GH가 있는데
F랑 G를 먼저 합성하고 H 합성 딱하셨고
딱하셨고
그 오른쪽은 G합성 F H 한 다음에
그다음 F에다가 합성해 주세요.
이거를 쭉 해 볼 겁니다. 좀 길
거야. 쓸게 있어요. 첫 번째
F 합성 G 한 다음에 H를 구해
보자. 자, 그러면 f 합성 g부터
구해 볼게요. 방금 했던 거대로 우리
f 합성 gx는
어떻게 생겼을까? 얘는 f괄 가로
열고 gx고 방금 했던 거야. 그러면
g(x) 넣으면 f 가르고 x제곱 +
1이에요. 위에서 했던 거랑
똑같아요. 근데 x 자리에 집어넣어
주면은 f에서 x자리 집어넣어 주면
얘는 2 괄로 열고 x제 + 1 +
1이 돼서 최종적으로 얘는 뭐가 돼?
자, 근데 물어보는게 뭐야?
물어보는게 f 합성 g 합성 hx지.
얘는 우리 괄호로 바꿔 주라 그랬어.
f 합성 g 괄로 열고 hx인데
hx는 -4x라고 되어 있죠.
-4x로 바꿔 주면 f 합성 g
- 4x가 됩니다. 자, 근데 우리
바로 이해 f합성 g x를 구했지.
근데이 x 4x가 들어갔지. 이거
새로운 함수라 그랬어. 그럼 여기
4x 넣으면 여기도 4x 넣으면
-4x -4x 넣으면 제곱하면
16x제 2 * 32x제 그래서
그래서
여기다 집어넣는 거야. 집어넣으면 32x²
32x²
+ 3이 됩니다. 이게 f랑 g를
합성한 다음에 at를 합성하면 그
순서로 합성하면 얘가 나와요. 자,
오른쪽도 똑같은 방식으로 할 거야.
똑같은 방식으로 이번엔 G랑 H를
먼저 하자. g합성. 아, F를 먼저
써야지. f 합성 G합성 H인데.
자, 괄호 안에 있는 G합성 HX를
먼저 계산해 보자.
자, 그럼 얘는 괄호로 바꿔 주고
방금 위에서 했지,
자, g - 4x는 여기 집어넣어
주면 돼. 리메에 집어넣어 주면 x
자리에 넣어 주면 제곱 + 1이네.
그러면 자, 제곱하면 16x제곱이라
1 더하면 16x제
+ 1이 됩니다. 이게 g합성 hx예요.
hx예요.
이제 이거를 f에다가 같이 합성해
버리자. 그러면 물어보는게 누구냐?
f 합성 g 합성 hx인데
여기서 이렇게 집어넣어라는 얘기지.
집어넣는데 자 괄호로 바꿔지면 f
괄호 열고 g 합성 hx가 되고
근데 우리 이거는 위에서 구했지
16x제 + 자로
그러면 결과적으로 얘는 f 16x²
+ 1이고
근데 fx가 누구였지? fx는 2x
+ 1이네. 그럼 x 자리에 집어넣어
주면 2 괄로 열고 16x제 + 1
+ 1이네요.
자, 최종 계산하면 누가 되냐? 얘는 32x²
32x²
+ 3이 됩니다.
복잡하지? 당연히 복잡해. 어려워.
식을 두명까지는 예. 근데 하나
오른쪽으로 하나 여러분들이 세
개짜리도까지 구할 수만 있으면 근데
차례대로 하면 돼. 차례대로 그냥
fx 넣고 gx 넣고 순서대로 하면은
충분히 할 수 있습니다. 그래서
결국에 결합법칙이 성립한다라는 걸
보여 주세요 하는 얘기야. 자, 밑에
볼게요. 밑에.
자, 밑에는 너희들이 쇼핑몰에서 어떤
자전거를 탄데 이거 여러분들이 가끔이
배달의 민족 이런 거 시킬 때 한
번씩 이런 경우가 있어. 쿠폰이
중복될 수 있는 경우가 있습니다.
중복되 있는 경우 그러면 이제
컨디스테 같은게 있으면 자, 쿠폰이
두 개가 있어. 5% 할인 쿠폰이
있고 5,000원에 깎아주는 쿠폰이
있어. 둘 다 쓸 수 있대. 순서는
내 맘대로 정할 수 있대. 그러면
자, 퍼센트를 깎은 다음에
5,000원 깎는게 낫니?
5,000원가 끝 다음에 얘기라니
너희들이 뭐되는
>> 당연히 전자이
>> 전자인지 허인지 그건 모르잖아 당연한
거는 모르지
>> 어 전자일까 호자일까 어느게 유리할까 >> a
>> a
>> a가 유리할 건데 퍼센트 먼저 깎는게
유리할 것 같아 그럼 그것에 대해서
실제로 증명을 해 볼 거야 우리가
함수라고 생각을 하는 거야 아 함수
f를 5% 할인이라고 생각하고 g를
오는 할인을 생각해 볼게 그리고 남은
금액을 볼게요. 함수 f g를 자밑에
좀 적을게요. 자, 함수 f를
>> 그러면 fx는 누구냐면 자, 할인하면
95% 남지? 100분의 95가
남아요. 95x가 남아요. 그리고
g를 우리는 5,000원
그러면 gx는 우리 x를 집어넣으면
할인됐으니까 x - 5,000이 됩니다.
됩니다.
자, 근데 우리 5% 할인을 먼저
변경했다는 얘기는 우리 F를 먼저
보내고 그다음 G를 합성하세요란
얘기예요. 그래서 순서대로 볼게요.
자, 우리 A 지점은 5% 먼저 했다
얘기지. 그러면 A 지점은 자, f를
먼저 하면 g 합성 f예요. 음.
음.
얘는 g 가로열고 fx고
우리 fx가 100분의
95x라고 좀 전에 얘기를 했죠.
조금 빨리 할게. 시간이 지금 몇 분
뒤에 이게 꺼져.
근데 우리 g(x) 자리에 100
90억 교체하면은 그냥 빼기
5,000이 됩니다. 그래서
100분의 95x - 5,000이
최종 가격이 돼요. A에서 샀으면.
자, B에서 볼게요. 우리 B 매장은
F를 먼저 하지.
아, G를 먼저 하지.
X를 하면은 얘는 f괄로고 GX고.
자 얘는 f가열고 x - 5000이고
여기다가 100 95로 곱하는 거 x려는는
x려는는
거 아까 똑같은 9인데에를
하면은 450이 남아요. 그래서 얘는
100분의 95x - 4,750
원이 됩니다. 그러면 최종적으로 누가
더 이득이야? a가 더 이득인 거지.
왜 더 많이 깎아졌잖아. 맞지?
내가내는 금액이 250원 더
이득이지. 그래서 최종적으로 A 매장이
매장이 매장이
매장이 250원
250원
더 유리하다.라는
것을 알 수 있습니다. A매자.
음. 좀 마지막에 빨랐지만 어차피이
순서 따라서 달라질 수 있다라는 것을
여러분들이 알면 됩니다. 오케.
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